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选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。
曲线 （ ）
正确答案：C
【解析】
函数定义域为
。
对于水平渐近线，考虑 和 ：
因此无水平渐近线。
对于铅直渐近线，考虑 ：
由于在 处有一侧极限为无穷，故 为铅直渐近线。
综上，曲线无水平渐近线，有一条铅直渐近线 。
选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。
曲线 （ ）
设 时刻某证券的交易单价为 ，某机构持有该证券的份额为 ，若该机构在 持续购入一定份额该证券，则这些证券的平均购入价格为 ( )
正确答案：D
【解析】 平均购入价格定义为总购买金额除以总购买份额。在连续购买过程中，时刻 的购买单价为 ，购买份额的微元为 ，因此购买金额的微元为 。总购买金额为积分 ，总购买份额为区间 内份额的增量 。故平均购入价格为
对应选项4。其他选项中，选项1和2未考虑购买份额的权重，选项3除以时间 而非总份额，均不符合平均购入价格的定义。
选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。
曲线 （ ）
设 时刻某证券的交易单价为 ，某机构持有该证券的份额为 ，若该机构在 持续购入一定份额该证券，则这些证券的平均购入价格为 ( )
设 为 3 阶非零矩阵， 为 的伴随矩阵。若 ，则 （ ）
正确答案：D
【解析】 由伴随矩阵性质，
。将
代入得
故
对
两边取行列式，有
对于 3 阶矩阵，
，且
，因此
即
因
非零且由选项知
非零，故
，解得
代入
得
即对角矩阵
对应选项 D。
选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。
曲线 （ ）
设 时刻某证券的交易单价为 ，某机构持有该证券的份额为 ，若该机构在 持续购入一定份额该证券，则这些证券的平均购入价格为 ( )
设 为 3 阶非零矩阵， 为 的伴随矩阵。若 ，则 （ ）
设随机变量
和
独立同分布，
概率密度为
则
（ ）
正确答案：B
【解析】
由于
与
独立同分布，其联合概率密度函数为
计算概率
先对 积分：对固定的 ，当 时，
再对 积分：
因此所求概率为 ，对应选项 B。
选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。
曲线 （ ）
设 时刻某证券的交易单价为 ，某机构持有该证券的份额为 ，若该机构在 持续购入一定份额该证券，则这些证券的平均购入价格为 ( )
设 为 3 阶非零矩阵， 为 的伴随矩阵。若 ，则 （ ）
设随机变量
和
独立同分布，
概率密度为
则
（ ）
设随机变量 ，随机变量 ，且 与 独立，则 与 的相关系数为（ ）
正确答案：C
【解析】 首先，由 得 ， ；由 得 ， ，且 与 独立。相关系数
计算协方差：
由于 ， ，故
计算方差：
因此，
选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。
曲线 （ ）
正确答案：C
正确答案：C【解析】
函数定义域为
。
对于水平渐近线，考虑 和 ：
因此无水平渐近线。
对于铅直渐近线，考虑 ：
由于在 处有一侧极限为无穷，故 为铅直渐近线。
综上，曲线无水平渐近线，有一条铅直渐近线 。
设 时刻某证券的交易单价为 ，某机构持有该证券的份额为 ，若该机构在 持续购入一定份额该证券，则这些证券的平均购入价格为 ( )
正确答案：D
正确答案：D【解析】 平均购入价格定义为总购买金额除以总购买份额。在连续购买过程中，时刻 的购买单价为 ，购买份额的微元为 ，因此购买金额的微元为 。总购买金额为积分 ，总购买份额为区间 内份额的增量 。故平均购入价格为
对应选项4。其他选项中，选项1和2未考虑购买份额的权重，选项3除以时间 而非总份额，均不符合平均购入价格的定义。
设 为 3 阶非零矩阵， 为 的伴随矩阵。若 ，则 （ ）
正确答案：D
正确答案：D【解析】 由伴随矩阵性质，
。将
代入得
故
对
两边取行列式，有
对于 3 阶矩阵，
，且
，因此
即
因
非零且由选项知
非零，故
，解得
代入
得
即对角矩阵
对应选项 D。
设随机变量
和
独立同分布，
概率密度为
则
（ ）
正确答案：B
正确答案：B【解析】
由于
与
独立同分布，其联合概率密度函数为
计算概率
先对 积分：对固定的 ，当 时，
再对 积分：
因此所求概率为 ，对应选项 B。
设随机变量 ，随机变量 ，且 与 独立，则 与 的相关系数为（ ）
正确答案：C
正确答案：C【解析】 首先，由 得 ， ；由 得 ， ，且 与 独立。相关系数
计算协方差：
由于 ， ，故
计算方差：
因此，
11～16 小题，每小题 5 分，共 30 分。
_________________________.
【答案】
【解析】
首先，将被积函数展开为多项式：
然后计算定积分：
代入上下限：
因此，积分结果为：
_________________________.
【答案】 1
【解析】 首先化简原式：由 得 ，于是
当 时，分子和分母均趋于0，为 型极限，可用泰勒展开或洛必达法则求解。
方法一（泰勒展开）： 在 处展开，
代入得
因此，
方法二（洛必达法则）： 对分子分母分别求导：
所以
此极限仍为 型，可再次使用洛必达法则，或直接化简。将分子分母同除以 ：
故原极限值为1。
微分方程 满足条件 的解为 _________________________.
【答案】
【解析】
首先求解齐次方程
。特征方程为
，解得
或
，齐次解为
。
对于非齐次项 ，由于 不是齐次解的一部分，设特解为 。代入原方程得
即
解得 ，特解为 。
通解为
应用初始条件
和
。
由
得
；
由
和
得
，代入得
。
因此特解为
17～22 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（本题满分 10 分）
已知函数
满足
将
展开成
的幂级数。
【答案】
【解析】
设
，则原方程化为
。两边在
上积分得
计算积分：
代入得
，解得
。于是
将
展开为幂级数。注意到
利用已知展开式
（
），令
得
因此，
代入
得
当
时，常数项为
，与减去的
相消，故
该幂级数的收敛半径为 。
（本题满分 12 分）
设平面区域
，计算二重积分
【答案】
【解析】
计算二重积分
其中积分区域 。
化为累次积分
首先计算内层积分。对固定的
，
令 ，利用积分公式
得到
于是内层积分为
代入外积分得到
令代换 ，则 ， ，且 。 积分限变化： 时 ， 时 。于是
将被积函数分解为部分分式
所以
因此
此即为所求积分的结果。