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2022 年真题

22 题

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选择题

第 1 题

选择题

若当 $x \to 0$ 时， $α (x)$ 、 $β (x)$ 是非零无穷小量，则以下的命题中：

若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ；
若 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ；
若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ；
若 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ，

真命题的序号为()

选择题

第 2 题

选择题

若当 $x \to 0$ 时， $α (x)$ 、 $β (x)$ 是非零无穷小量，则以下的命题中：

若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ；
若 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ；
若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ；
若 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ，

真命题的序号为()

已知 $a_{n} = n n - \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），则 ${a_{n}}$ （）

选择题

第 3 题

选择题

若当 $x \to 0$ 时， $α (x)$ 、 $β (x)$ 是非零无穷小量，则以下的命题中：

若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ；
若 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ；
若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ；
若 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ，

真命题的序号为()

已知 $a_{n} = n n - \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），则 ${a_{n}}$ （）

已知 $f (t)$ 连续，令

F (x, y) = \int_{0}^{x - y} (x - y - t) f (t) d t

则( )

选择题

第 4 题

选择题

若当 $x \to 0$ 时， $α (x)$ 、 $β (x)$ 是非零无穷小量，则以下的命题中：

若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ；
若 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ；
若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ；
若 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ，

真命题的序号为()

已知 $a_{n} = n n - \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），则 ${a_{n}}$ （）

已知 $f (t)$ 连续，令

F (x, y) = \int_{0}^{x - y} (x - y - t) f (t) d t

则( )

若 $I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x}{2 ( 1 + c o s x )} d x$ ， $I_{2} = \int_{0}^{1} \frac{l n ( 1 + x )}{1 + c o s x} d x$ ， $I_{3} = \int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + s i n x} d x$ ，则（）

选择题

第 5 题

选择题

若当 $x \to 0$ 时， $α (x)$ 、 $β (x)$ 是非零无穷小量，则以下的命题中：

若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ；
若 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ；
若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ；
若 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ，

真命题的序号为()

已知 $a_{n} = n n - \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），则 ${a_{n}}$ （）

已知 $f (t)$ 连续，令

F (x, y) = \int_{0}^{x - y} (x - y - t) f (t) d t

则( )

若 $I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x}{2 ( 1 + c o s x )} d x$ ， $I_{2} = \int_{0}^{1} \frac{l n ( 1 + x )}{1 + c o s x} d x$ ， $I_{3} = \int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + s i n x} d x$ ，则（）

设 $A = 100 0 - 1 0 000$ ，则 ( )

选择题

第 6 题

选择题

若当 $x \to 0$ 时， $α (x)$ 、 $β (x)$ 是非零无穷小量，则以下的命题中：

若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ；
若 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ；
若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ；
若 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ，

真命题的序号为()

已知 $a_{n} = n n - \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），则 ${a_{n}}$ （）

已知 $f (t)$ 连续，令

F (x, y) = \int_{0}^{x - y} (x - y - t) f (t) d t

则( )

若 $I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x}{2 ( 1 + c o s x )} d x$ ， $I_{2} = \int_{0}^{1} \frac{l n ( 1 + x )}{1 + c o s x} d x$ ， $I_{3} = \int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + s i n x} d x$ ，则（）

设 $A = 100 0 - 1 0 000$ ，则 ( )

设 $A = 111 1 a b 1 a^{2} b^{2}$ ， $b = 124$ ，则线性方程组 $A x = b$ 的解的情况为()

选择题

第 7 题

选择题

若当 $x \to 0$ 时， $α (x)$ 、 $β (x)$ 是非零无穷小量，则以下的命题中：

若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ；
若 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ；
若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ；
若 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ，

真命题的序号为()

已知 $a_{n} = n n - \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），则 ${a_{n}}$ （）

已知 $f (t)$ 连续，令

F (x, y) = \int_{0}^{x - y} (x - y - t) f (t) d t

则( )

若 $I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x}{2 ( 1 + c o s x )} d x$ ， $I_{2} = \int_{0}^{1} \frac{l n ( 1 + x )}{1 + c o s x} d x$ ， $I_{3} = \int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + s i n x} d x$ ，则（）

设 $A = 100 0 - 1 0 000$ ，则 ( )

设 $A = 111 1 a b 1 a^{2} b^{2}$ ， $b = 124$ ，则线性方程组 $A x = b$ 的解的情况为()

设 $α_{1} = (λ, 1, 1)^{T}$ 、 $α_{2} = (1, λ, 1)^{T}$ 、 $α_{3} = (1, 1, λ)^{T}$ 、 $α_{4} = (1, λ, λ^{2})^{T}$ ，若 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 、 $α_{3}$ 与 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 、 $α_{4}$ 等价，则 $λ$ 的取值范围是()

查看答案与解析

正确答案：C

分析本题主要考查向量组等价。

向量组 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{3}$ 与 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{4}$ 等价的充分必要条件是：

r (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = r (α_{1}, α_{2}, α_{4}) = r (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

由这一条件出发，可以考虑对矩阵 $(α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})$ 作初等行变换并讨论秩来得到 $λ$ 的取值。

另一方面，也可以通过计算 $∣ α_{1}, α_{2}, α_{3} ∣$ 和 $∣ α_{1}, α_{2}, α_{4} ∣$ 来讨论 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{3}$ 和 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{4}$ 的秩。当它们均不为0时，这两个向量组都是3维向量组的极大无关组，从而是等价的。此外，还需讨论行列式均为0时两个向量组是否等价。

解

当 $λ = 1$ 时， $α_{1} = α_{2} = α_{3} = α_{4} = (1, 1, 1)^{T}$ ，故 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{3}$ 与 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{4}$ 等价。

当 $λ \neq = 1$ 时，考虑矩阵 $A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})$ ：

A = λ 11 1 λ 1 11 λ 1 λ λ^{2} \to 11 λ λ 11 1 λ 1 λ λ^{2} 1 r_{2} - r_{1} r_{3} - λ r_{1} 100 λ 1 - λ 1 - λ^{2} 1 λ - 1 1 - λ λ λ^{2} - λ 1 - λ^{2} r_{2}^{*} \times \frac{1}{1 - λ} r_{3}^{*} \times \frac{1}{1 - λ} 100 λ 1 1 + λ 1 - 1 1 λ - λ 1 + λ r_{3}^{**} - (1 + λ) r_{2}^{**} 100 λ 10 1 - 1 λ + 2 λ - λ (λ + 1)^{2}

（ $r_{i}^{*}$ 表示对第 $i$ 行作初等行变换后所得新的第 $i$ 行，每作一次初等行变换，加一个*）

由 $A$ 有2阶非零子式 $λ 1 1 λ$ ，故 $r (A) \geq 2$ 。另一方面，因为不存在 $λ$ 满足 $λ + 2 = (λ + 1)^{2} = 0$ ，所以 $r (A) = 3$ 。

$r (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = 3$ 当且仅当 $λ \neq = - 2$ ， $r (α_{1}, α_{2}, α_{4}) = 3$ 当且仅当 $λ \neq = - 1$ 。

因此，当 $λ \neq = 1$ 时：

r (A) = r (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) = r (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = r (α_{1}, α_{2}, α_{4})

当且仅当 $λ \neq = - 2$ 且 $λ \neq = - 1$ 。

注意到 $λ = 1$ 也包含在条件 $λ \neq = - 2$ 且 $λ \neq = - 1$ 中，故：

r (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = r (α_{1}, α_{2}, α_{4})

当且仅当 $λ \neq = - 2$ 且 $λ \neq = - 1$ 。

综上所述，应选C。

（法二）

分别计算 $∣ α_{1}, α_{2}, α_{3} ∣$ ， $∣ α_{1}, α_{2}, α_{4} ∣$ 。

∣ α_{1}, α_{2}, α_{3} ∣ = λ 11 1 λ 1 11 λ = (1 - λ)^{2} (λ + 2)

∣ α_{1}, α_{2}, α_{4} ∣ = λ 11 1 λ 1 1 λ λ^{2} = (1 - λ)^{2} (1 + λ)^{2}

当 $λ \neq = 1, - 2, - 1$ 时， $∣ α_{1}, α_{2}, α_{3} ∣$ 与 $∣ α_{1}, α_{2}, α_{4} ∣$ 均不为0。此时， $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 和 $α_{1}, α_{2}, α_{4}$ 均为3维列向量组的极大无关组，从而等价。

当 $λ = - 2$ 或 $λ = - 1$ 时， $∣ α_{1}, α_{2}, α_{3} ∣$ 与 $∣ α_{1}, α_{2}, α_{4} ∣$ 中一个为0，另一个不为0，说明两向量组的秩不相等，从而不等价。

综上所述， $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{3}$ 与 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{4}$ 等价当且仅当 $λ \neq = - 2$ 且 $λ \neq = - 1$ 。应选C。

选择题

第 8 题

选择题

若当 $x \to 0$ 时， $α (x)$ 、 $β (x)$ 是非零无穷小量，则以下的命题中：

若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ；
若 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ；
若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ；
若 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ，

真命题的序号为()

已知 $a_{n} = n n - \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），则 ${a_{n}}$ （）

已知 $f (t)$ 连续，令

F (x, y) = \int_{0}^{x - y} (x - y - t) f (t) d t

则( )

若 $I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x}{2 ( 1 + c o s x )} d x$ ， $I_{2} = \int_{0}^{1} \frac{l n ( 1 + x )}{1 + c o s x} d x$ ， $I_{3} = \int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + s i n x} d x$ ，则（）

设 $A = 100 0 - 1 0 000$ ，则 ( )

设 $A = 111 1 a b 1 a^{2} b^{2}$ ， $b = 124$ ，则线性方程组 $A x = b$ 的解的情况为()

设随机变量 $X \sim N (0, 4)$ ，随机变量 $Y \sim B (3, \frac{1}{3})$ ，且 $X$ 与 $Y$ 不相关，则 $D (X - 3 Y + 1) =$ ()

选择题

第 9 题

选择题

若当 $x \to 0$ 时， $α (x)$ 、 $β (x)$ 是非零无穷小量，则以下的命题中：

若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ；
若 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ；
若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ；
若 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ，

真命题的序号为()

已知 $a_{n} = n n - \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），则 ${a_{n}}$ （）

已知 $f (t)$ 连续，令

F (x, y) = \int_{0}^{x - y} (x - y - t) f (t) d t

则( )

若 $I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x}{2 ( 1 + c o s x )} d x$ ， $I_{2} = \int_{0}^{1} \frac{l n ( 1 + x )}{1 + c o s x} d x$ ， $I_{3} = \int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + s i n x} d x$ ，则（）

设 $A = 100 0 - 1 0 000$ ，则 ( )

设 $A = 111 1 a b 1 a^{2} b^{2}$ ， $b = 124$ ，则线性方程组 $A x = b$ 的解的情况为()

设随机变量 $X \sim N (0, 4)$ ，随机变量 $Y \sim B (3, \frac{1}{3})$ ，且 $X$ 与 $Y$ 不相关，则 $D (X - 3 Y + 1) =$ ()

设随机变量序列 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}, \dots$ 独立同分布，且 $X_{1}$ 的概率密度为

f (x) = {1 - ∣ x ∣, 0, ∣ x ∣ < 1 其他

则当 $n \to \infty$ 时， $\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}$ 依概率收敛于()

选择题

第 10 题

选择题

若当 $x \to 0$ 时， $α (x)$ 、 $β (x)$ 是非零无穷小量，则以下的命题中：

若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ；
若 $α^{2} (x) \sim β^{2} (x)$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ；
若 $α (x) \sim β (x)$ ，则 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ；
若 $α (x) - β (x) = o (α (x))$ ，则 $α (x) \sim β (x)$ ，

真命题的序号为()

已知 $a_{n} = n n - \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），则 ${a_{n}}$ （）

已知 $f (t)$ 连续，令

F (x, y) = \int_{0}^{x - y} (x - y - t) f (t) d t

则( )

若 $I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x}{2 ( 1 + c o s x )} d x$ ， $I_{2} = \int_{0}^{1} \frac{l n ( 1 + x )}{1 + c o s x} d x$ ， $I_{3} = \int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + s i n x} d x$ ，则（）

设 $A = 100 0 - 1 0 000$ ，则 ( )

设 $A = 111 1 a b 1 a^{2} b^{2}$ ， $b = 124$ ，则线性方程组 $A x = b$ 的解的情况为()

设随机变量 $X \sim N (0, 4)$ ，随机变量 $Y \sim B (3, \frac{1}{3})$ ，且 $X$ 与 $Y$ 不相关，则 $D (X - 3 Y + 1) =$ ()

设随机变量序列 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}, \dots$ 独立同分布，且 $X_{1}$ 的概率密度为

f (x) = {1 - ∣ x ∣, 0, ∣ x ∣ < 1 其他

则当 $n \to \infty$ 时， $\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}$ 依概率收敛于()

设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为

X / Y - 1 1 0 0.1 a 1 0.1 0.1 2 b 0.1

若事件 ${max {X, Y} = 2}$ 与事件 ${min {X, Y} = 1}$ 相互独立，则 $Cov (X, Y) =$ （）

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第 1 题

选择题

第 2 题

选择题

第 3 题

选择题

第 4 题

选择题

第 5 题

选择题

第 6 题

选择题

第 7 题

选择题

第 8 题

选择题

第 9 题

选择题

第 10 题

选择题

选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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填空题

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解答题

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