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2019 年真题

23 题

选择题

1

当 $x \to 0$ 时，若 $x - tan x$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小，则 $k =$

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正确答案：C

正确答案：C

$x - tan x = x - (x + \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3})) \sim - \frac{1}{3} x^{3}$

因此， $k = 3$ 。

2

已知方程 $x^{5} - 5 x + k = 0$ 有 3 个不同的实根，则 $k$ 的取值范围为

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正确答案：D

正确答案：D

令 $f (x) = x^{5} - 5 x + k$ ，则导数为：

f^{'} (x) = 5 x^{4} - 5 = 5 (x^{4} - 1) = 5 (x^{2} + 1) (x^{2} - 1)

分析导数符号变化：

当 $x < - 1$ 时， $f^{'} (x) > 0$ ；
当 $- 1 < x < 1$ 时， $f^{'} (x) < 0$ ；
当 $x > 1$ 时， $f^{'} (x) > 0$ 。

极限行为：

x \to + \infty lim f (x) = + \infty, x \to - \infty lim f (x) = - \infty

结合单调性可知，当 $f (- 1) > 0$ 且 $f (1) < 0$ 时，函数有三个实数根。即：

f (- 1) = - 1 + 5 + k > 0, f (1) = 1 - 5 + k < 0

解得 $k$ 的范围为：

- 4 < k < 4

3

已知微分方程 $y^{''} + a y^{'} + b y = c e^{x}$ 的通解为 $y = (C_{1} + C_{2} x) e^{- x} + e^{x}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 依次为

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正确答案：D

正确答案：D

由题干分析出 $- 1$ 为特征方程 $r^{2} + a r + b = 0$ 的二重根，即 $(r + 1)^{2} = 0$ 。

因此可得：

a = 2, b = 1

又因为 $e^{x}$ 为方程 $y^{''} + 2 y^{'} + y = c e^{x}$ 的解，代入方程后得到：

c = 4

4

若 $\sum_{n = 1}^{\infty} n u_{n}$ 绝对收敛，若 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{v _{n}}{n}$ 条件收敛，则

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正确答案：B

正确答案：B

A、C 反例：

u_{n} = \frac{1}{n ^{3}}, v_{n} = (- 1)^{n}

D 反例：

u_{n} = \frac{1}{n ^{3}}, v_{n} = (- 1)^{n} \frac{1}{ln n}

5

设 $A$ 是四阶矩阵， $A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵。若线性方程组 $A x = 0$ 的基础解系中只有 2 个向量，则 $A^{*}$ 的秩是

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正确答案：A

正确答案：A

由于 $A X = 0$ 的基础解系有只有两个解向量，则由 $4 - R (A) = 2$ 可得 $R (A) = 2 < 3$ 。

故 $R (A^{*}) = 0$ 。

6

设 $A$ 是 3 阶实对称矩阵， $E$ 是 3 阶单位矩阵。若 $A^{2} + A = 2 E$ ，且 $∣ A ∣ = 4$ ，则二次型 $x^{T} A x$ 的规范形为

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正确答案：C

正确答案：C

$∵ A^{2} + A = 2 E$ ，设 $A$ 的特征值为 $λ$ ，

则 $λ^{2} + λ = 2$ ，

即 $(λ + 2) (λ - 1) = 0$ ，

因此 $λ = - 2$ 或 $1$ 。

$∵ ∣ A ∣ = 4$ ，

所以 $A$ 的特征值为 $λ_{1} = λ_{2} = - 2$ ， $λ_{3} = 1$ 。

设 $p = 1$ ， $q = 2$ ，则 $X^{T} A X$ 的规范形为：

y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}

7

设 $A$ , $B$ 为随机事件，则 $P (A) = P (B)$ 的充分必要条件是

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正确答案：C

正确答案：C

选项 A $\Leftrightarrow P (A B) = 0$ ，因此排除 A。
选项 B $\Leftrightarrow$ A 与 B 相互独立，因此排除 B。
选项 C $\Leftrightarrow P (A) - P (A B) = P (B) - P (A B)$ ，可简化为 $P (A) = P (B)$ ，因此 C 正确。
选项 D $\Leftrightarrow P (A B) = P (\overline{A \cup B}) = 1 - P (A \cup B) = 1 - P (A) - P (B) + P (A B)$ 。这意味着 $1 = P (A) + P (B)$ ，因此排除 D。

8

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P {∣ X - Y ∣ < 1}$ 。

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正确答案：A

正确答案：A

X 和 Y 独立且服从正态分布，则 $Z = X - Y \sim N (0, 2 σ^{2})$ 。

计算概率：

P (∣ X - Y ∣ < 1) = P (- 1 < Z < 1)

进一步展开：

P (∣ X - Y ∣ < 1) = Φ (\frac{1}{2 σ}) - Φ (\frac{- 1}{2 σ})

其中， $Φ$ 为标准正态分布的累积分布函数。

填空题

9

（填空题）求极限：

n \to \infty lim [\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n ( n + 1 )}]

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【答案】 $e^{- 1}$

【解析】
原式可表示为：

n \to \infty lim (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})^{n}

进一步化简为：

n \to \infty lim (1 - \frac{1}{n + 1})^{n} = e^{- 1}

10

（填空题）曲线 $y = x sin x + 2 cos x (- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2})$ 的拐点坐标为______

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【答案】 $(π, - 2)$

【解析】
导数和二阶导数计算如下：

y^{'} = sin x + x cos x - 2 sin x = x cos x - sin x

y^{''} = cos x - x sin x - cos x = - x sin x

令 $y^{''} = 0$ ，解得 $x = 0$ 或 $x = π$ 。

当 $x > π$ 时， $y^{''} > 0$ ；当 $x < π$ 时， $y^{''} < 0$ 。因此，点 $(π, - 2)$ 为拐点。

11

（填空题）已知 $f (x) = \int_{1}^{x} 1 + t^{4} d t$ ，则 $\int_{0}^{1} x^{2} f (x) d x =$ ______

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【答案】 $\frac{1 - 2 2}{18}$

【解析】

\int_{0}^{1} x^{2} f (x) d x = \frac{x ^{3}}{3} f (x)_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x ^{3}}{3} f^{'} (x) d x = 0 - \int_{0}^{1} \frac{x ^{3}}{3} 1 + x^{4} d x = - \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \int_{0}^{1} 1 + x^{4} d (1 + x^{4}) = - \frac{1}{12} \cdot \frac{2}{3} (1 + x^{4})^{\frac{3}{2}}_{0}^{1} = - \frac{2 2 - 1}{18} = \frac{1 - 2 2}{18}

12

（填空题）商品 A、B 的价格分别为 $P_{A}$ 、 $P_{B}$ ，需求函数为

Q_{A} = 500 - P_{A}^{2} - P_{A} P_{B} + 2 P_{B}^{2}

已知 $P_{A} = 10$ ， $P_{B} = 20$ ，求商品 A 对自身价格的需求弹性 $η_{AA}$ （ $η > 0$ ）：______

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【答案】 $\frac{2}{5}$

【解析】
解析
当 $P_{B} = 20$ 时，需求函数为：

Q_{A} = 500 - P_{A}^{2} - 20 P_{A} + 800

需求价格弹性公式为：

η = \frac{d Q _{A}}{d P _{A}} \cdot \frac{P _{A}}{Q _{A}} = (- 2 P_{A} - 20) \cdot \frac{P _{A}}{1300 - P _{A}^{2} - 20 P _{A}}

当 $P_{A} = 10$ 时，弹性值为：

η = \frac{2}{5}

13

（填空题）设矩阵 $A = 110011 - 1 - 1 a^{2} - 1$ ，向量 $b = 01 a$ 。若线性方程组 $AX = b$ 有无穷多解，则 $a =$ ______。

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【答案】 a = 1

【解析】
对于线性方程组 $AX = b$ 有无穷多解的情况，需要满足秩条件：

R (A, b) = R (A) \leq 2

因此，行列式必须为零：

∣ A ∣ = a^{2} - 1 = 0

解得：

a = \pm 1

进一步验证：

当 $a = 1$ 时， $R (A, b) = R (A) = 2$ ，满足条件。
当 $a = - 1$ 时， $R (A, b) > R (A)$ ，不满足条件。

综上，唯一解为：

a = 1

14

（填空题）变量 $X$ 的概率密度为

f (x) = {\frac{x}{2}, 0, 0 < x < 2 其他

$F (x)$ 为 $X$ 的分布函数， $E (X)$ 为 $X$ 的数学期望，则

P {F (X) > E (X) - 1} =

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【答案】 $\frac{2}{3}$

【解析】
概率密度函数为：

f (x) = {\frac{x}{2}, 0, 0 < x < 2 其他

期望值计算：

E (x) = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x = \int_{0}^{2} \frac{x ^{2}}{2} d x = \frac{1}{6} x^{3}_{0}^{2} = \frac{4}{3}

累积分布函数：

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \int_{0}^{x} \frac{t}{2} d t, 1, x < 0 0 \leq x < 2 x \geq 2

求解概率：

P (F (x) > E (x) - 1) = P (F (x) > \frac{1}{3}) = P (\frac{x ^{2}}{4} > \frac{1}{3}) = P (x > \frac{2}{3}) = \int_{\frac{2}{3}}^{2} \frac{x}{2} d x = \frac{2}{3}

解答题

15

（本题满分 10 分）

已知函数

f (x) = {x^{2 x}, x e^{x} + 1, x > 0, x \leq 0,

求 $f^{'} (x)$ 并讨论 $f (x)$ 的极值情况。

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【答案】
$f^{'} (x) = {x^{2 x} (2 ln x + 2), e^{x} (1 + x), x > 0 x < 0$ 且 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极大值，极大值为 $f (0) = 1$ 。

【解析】
当 $x > 0$ 时，导数为：

f^{'} (x) = (e^{2 x l n x})^{'} = e^{2 x l n x} (2 ln x + 2) = x^{2 x} (2 ln x + 2)

当 $x < 0$ 时，导数为：

f^{'} (x) = (x e^{x})^{'} = e^{x} + x e^{x}

左导数和右导数的计算如下：

f_{-}^{'} (0) = x \to 0^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = x \to 0^{-} lim \frac{x e ^{x} + 1 - 1}{x} = 1

f_{+}^{'} (0) = x \to 0^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = x \to 0^{+} lim \frac{x ^{2 x} - 1}{x} = x \to 0^{+} lim \frac{2 x ln x}{x} = - \infty

综上，导函数为：

f^{'} (x) = {x^{2 x} (2 ln x + 2), e^{x} (1 + x), x > 0 x < 0

在 $x = 0$ 附近的分析：

当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) < 0$ ， $f (x)$ 单调递减；
当 $x < 0$ 时， $f^{'} (x) > 0$ ， $f (x)$ 单调递增。

因此， $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极大值，极大值为 $f (0) = 1$ 。

16

（本题满分 10 分）

已知 $f (u, v)$ 具有2阶连续偏导数，且

g (x, y) = x y - f (x + y, x - y),

求

\frac{\partial ^{2} g}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial x \partial y} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial y ^{2}} .

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【答案】 $1 - 3 f_{11}^{''} - f_{22}^{''}$

【解析】 给定函数关系式：

g (x, y) = x y - f (x + y, x - y)

计算一阶偏导数：

\frac{\partial g}{\partial x} = y - f_{1}^{'} - f_{2}^{'}

\frac{\partial g}{\partial y} = x - f_{1}^{'} + f_{2}^{'}

计算二阶偏导数：

\frac{\partial ^{2} g}{\partial x ^{2}} = - f_{11}^{''} - f_{12}^{''} - f_{21}^{''} - f_{22}^{''} = - f_{11}^{''} - 2 f_{12}^{''} - f_{22}^{''}

\frac{\partial ^{2} g}{\partial x \partial y} = 1 - f_{11}^{''} - f_{12}^{''} (- 1) - f_{21}^{''} - f_{22}^{''} (- 1) = 1 - f_{11}^{''} + f_{22}^{''}

\frac{\partial ^{2} g}{\partial y ^{2}} = - f_{11}^{''} + f_{12}^{''} + f_{21}^{''} + f_{22}^{''} (- 1) = - f_{11}^{''} + 2 f_{12}^{''} - f_{22}^{''}

最终组合结果：

\frac{\partial ^{2} g}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial x \partial y} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial y ^{2}} = 1 - 3 f_{11}^{''} - f_{22}^{''}

17

（本题满分 10 分），已知 $y (x)$ 满足微分方程

y^{'} - x y = \frac{1}{2 x} e^{\frac{x ^{2}}{2}},

且有 $y (e) = e$ 。

求 $y (x)$ ；
设 $D = {(x, y) ∣ 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq y (x)}$ ，求平面区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转成的旋转体积。

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【答案】

$y (x) = x e^{\frac{x ^{2}}{2}}$
平面区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转成的旋转体积为 $\frac{π}{2} (e^{4} - e)$

【解析】
(1) 解微分方程：

y = e^{- \int (- x) d x} (\int \frac{1}{2 x} e^{\frac{x ^{2}}{2}} e^{\int (- x) d x} d x + C)

化简得：

y = e^{\frac{x ^{2}}{2}} (\int \frac{1}{2 x} d x + C) = e^{\frac{x ^{2}}{2}} (x + C)

由初始条件 $y (e) = e$ 可得 $C = 0$ ，故解为：

y = x e^{\frac{x ^{2}}{2}}

(2) 计算旋转体体积：

V = \int_{1}^{2} π y^{2} d x = \int_{1}^{2} π x e^{x^{2}} d x = \frac{π}{2} (e^{4} - e)

18

（本题满分 10 分）

求曲线 $y = e^{- x} sin x$ （ $x \geq 0$ ）与 $x$ 轴之间图形的面积。

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【答案】 $A = \frac{1}{2} + \frac{1}{e ^{π} - 1}$

【解析】
所求面积为：

A = \int_{0}^{+ \infty} ∣ e^{- x} sin x ∣ d x

计算过程如下：

\int_{0}^{+ \infty} ∣ e^{- x} sin x ∣ d x = n \to \infty lim k = 0 \sum n (- 1)^{k} \int_{kπ}^{(k + 1) π} e^{- x} sin x d x = n \to \infty lim k = 0 \sum n (- 1)^{k} [- \frac{1}{2} e^{- x} (cos x + sin x)]_{kπ}^{(k + 1) π} = \frac{1}{2} n \to \infty lim k = 0 \sum n (- 1)^{k + 1} [e^{- (k + 1) π} (- 1)^{k + 1} - e^{- kπ} (- 1)^{k}] = \frac{1}{2} n \to \infty lim k = 0 \sum n [e^{- (k + 1) π} + e^{- kπ}] = \frac{1}{2} n \to \infty lim [1 + 2 k = 1 \sum n e^{- kπ} + e^{- (n + 1) π}] = \frac{1}{2} [1 + \frac{2}{e ^{π} - 1}] = \frac{1}{2} + \frac{1}{e ^{π} - 1}

最终结果为：

A = \frac{1}{2} + \frac{1}{e ^{π} - 1}

19

（本题满分 10 分）

设 $a_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} 1 - x^{2} d x (n = 0, 1, 2, \dots)$ 。

证明：
- ${a_{n}}$ 单调递减；
- 且 $a_{n} = \frac{n - 1}{n + 2} a_{n - 2} (n = 2, 3, \dots)$ ；
求 $lim_{n \to \infty} \frac{a _{n}}{a _{n - 1}}$ 。

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【答案】
(1) 见解析
(2) 当 $n$ 为偶数时， $lim_{n \to \infty} \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{π}{2}$ ；当 $n$ 为奇数时， $lim_{n \to \infty} \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{2}{π}$

【解析】
(1) 令 $x = sin t$ ，则

a_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} t cos^{2} t d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} t (1 - sin^{2} t) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} t d t - \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n + 2} t d t

由奇偶性分析可得 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} < 1$ ，故 ${a_{n}}$ 单调递减。且对奇数或偶数 $n$ 均有

\frac{a _{n}}{a _{n - 2}} = \frac{n - 1}{n + 2} \Rightarrow a_{n} = \frac{n - 1}{n + 2} a_{n - 2}, n \geq 2

(2) 按奇偶性讨论极限：

若 $n$ 为偶数，
$n \to \infty lim \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{π}{2}$
若 $n$ 为奇数，
$n \to \infty lim \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{2}{π}$

20

（本题满分 11 分）

已知向量组

(I) α_{1} = 114, α_{2} = 104, α_{3} = 12 a^{2} + 3,

(II) β_{1} = 11 a + 3, β_{2} = 02 1 - a, β_{3} = 13 a^{2} + 3 .

若向量组 (I) 和向量组 (II) 等价，求 $a$ 的取值，并将 $β_{3}$ 用 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 、 $α_{3}$ 线性表示。

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【答案】
$a = 1$ ，且 $β_{3} = (- k - 1) α_{1} + k α_{2} + 2 α_{3}$ ，其中 $k$ 为任意实数。

【解析】

114104 12 a^{2} + 3 \to 100 1 - 1 0 11 a^{2} - 1

11 a + 3 02 1 - a 13 a^{2} + 3 \to 100 02 1 - a 12 a^{2} - a

所以 $a = 1$ 。

114104124 ⋮ ⋮ ⋮ 134 \to 100100110 ⋮ ⋮ ⋮ - 1 20

所以 $β_{3} = k - 1 10 + - 1 02, k \in R$ 。

因此， $β_{3} = (- k - 1) α_{1} + k α_{2} + 2 α_{3}, k \in R$ 。

21

（本题满分11分）已知矩阵 $A = - 2 20 - 2 x 0 1 - 2 - 2$ 与 $B = 200 1 - 1 0 00 y$ 相似，

（1）求 $x$ 与 $y$ 的值；

（2）求可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{- 1} A P = B$ ；

查看答案与解析

【答案】 （1） $x = 3$ , $y = - 2$ ；（2） $P = - 1 20 - 1 10 - 1 24$ 。

【解析】 （1）由 $A \sim B$ 可得：

{tr A = tr B ∣ A ∣ = ∣ B ∣ \Rightarrow {2 x + y = 4 x - y = 5

解得 $x = 3$ ， $y = - 2$ 。

（2）由 $∣ λ E - A ∣ = ∣ λ E - B ∣ = 0$ 得 $A$ 和 $B$ 的特征值为 $λ_{1} = 2$ ， $λ_{2} = - 1$ ， $λ_{3} = - 2$ 。

对于 $λ_{1} = 2$ ，解 $(2 E - A) x = 0$ 和 $(2 E - B) x = 0$ ，得到 $A$ 和 $B$ 的线性无关特征向量分别为：

α_{1} = (- 1, 2, 0)^{T}, β_{1} = (1, 0, 0)^{T}

对于 $λ_{2} = - 1$ ，解 $(- E - A) x = 0$ 和 $(- E - B) x = 0$ ，得到：

α_{2} = (- 2, 1, 0)^{T}, β_{2} = (- 1, 3, 0)^{T}

对于 $λ_{3} = - 2$ ，解 $(- 2 E - A) x = 0$ 和 $(- 2 E - B) x = 0$ ，得到：

α_{3} = (- 1, 2, 0)^{T}, β_{3} = (0, 0, 1)^{T}

设 $P_{1} = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ ， $P_{2} = (β_{1}, β_{2}, β_{3})$ ，则：

P_{1}^{- 1} A P_{1} = P_{2}^{- 1} B P_{2} = 2 - 1 - 2

从而 $P_{2} P_{1}^{- 1} A P_{1} P_{2}^{- 1} = B$ 。

令 $P = P_{1} P_{2}^{- 1}$ ，即：

P = - 1 20 - 1 10 - 1 24

满足 $P^{- 1} A P = B$ 。

22

（本题满分11分）设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立， $X$ 服从参数为1的指数分布， $Y$ 的概率分布为 $P {Y = - 1} = p$ ， $P {Y = 1} = 1 - p$ 。令 $Z = X Y$ 。

(1) 求 $Z$ 的概率密度；

(2) $p$ 为何值时， $X$ 与 $Z$ 不相关；

(3) $X$ 与 $Z$ 是否相互独立；

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【答案】
(1) $Z$ 的概率密度为：

f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ (1 - p) e^{- z}, p e^{z}, 0, z > 0 z < 0 其他

(2) 当 $p = \frac{1}{2}$ 时， $X$ 与 $Z$ 不相关。
(3) $X$ 与 $Z$ 不相互独立。

【解析】
（1）首先计算 $F_{Z} (z)$ ：

F_{Z} (z) = P (X Y \leq z) = P (X Y \leq z, Y = - 1) + P (X Y \leq z, Y = 1) = P (- X \leq z) P (Y = - 1) + P (X \leq z) P (Y = 1) = pP (X \geq - z) + (1 - p) P (X \leq z) = p (1 - F_{X} (- z)) + (1 - p) F_{X} (z)

已知 $f_{X} (z)$ 的表达式为：

f_{X} (z) = {e^{- z}, 0, z > 0 其他

f_{X} (- z) = {e^{z}, 0, z < 0 其他

因此， $f_{Z} (z)$ 的表达式为：

f_{Z} (z) = p f_{X} (- z) + (1 - p) f_{X} (z)

f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ (1 - p) e^{- z}, p e^{z}, 0, z > 0 z < 0 其他

（2）计算协方差 $cov (X, Z)$ ：

cov (X, Z) = 0

cov (X, X Y) = 0

进一步展开：

cov (X, X Y) = E (X^{2} Y) - E (X) E (X Y) = E (X^{2}) E (Y) - (E (X))^{2} E (Y) = E (Y) D (X)

代入具体值：

cov (X, X Y) = 1 - 2 p

当 $1 - 2 p = 0$ 时， $X$ 与 $Z$ 不相关，解得：

p = \frac{1}{2}

（3） $X$ 与 $Z$ 不独立。

23

（本题满分11分）设总体 $X$ 的概率密度为

f (x, σ^{2}) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{A}{σ} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}, 0, x \geq μ x < μ

其中 $μ$ 是已知参数， $σ > 0$ 是未知参数， $A$ 是常数， $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本。

（1）求 $A$ ；

（2）求 $σ^{2}$ 的最大似然估计量；

查看答案与解析

【答案】
(1) $A = \frac{2}{π}$
(2) $\overset{σ}{^}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - μ)^{2}$

【解析】
(1) 根据概率密度归一性，有

\int_{μ}^{+ \infty} \frac{A}{σ} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}} d x = 1

设 $\frac{x - μ}{σ} = t$ ，则

\int_{μ}^{+ \infty} \frac{A}{σ} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}} d x = \int_{0}^{+ \infty} A e^{- \frac{t ^{2}}{2}} d t = \frac{2 π}{2} A = 1

解得 $A = \frac{2}{π}$ 。

(2) 似然函数为

L (σ) = \frac{A ^{n}}{σ ^{n}} e^{- \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

取对数得

ln (L (σ)) = n ln A - \frac{n}{2} ln σ^{2} - \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}

对 $σ^{2}$ 求导，有

\frac{d ( ln ( L ( σ )))}{d ( σ ^{2} )} = - \frac{n}{2 σ ^{2}} + \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - μ ) ^{2}}{2 ( σ ^{2} ) ^{2}} = 0

解得

σ^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - μ)^{2}

因此， $σ^{2}$ 的最大似然估计量为

\overset{σ}{^}^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - μ)^{2}