2017 年真题

正确答案：A

正确答案：A

详解

当 $x\to 0^{+}$ 时，有：

因此，极限可表示为：

在 $x\to 0^{+}$ 时，分母趋近于 $b$ 。为了使极限存在且函数在 $x=0$ 处连续，分子分母必须为同阶无穷小，即 $b=0$ 。此时：

由左极限和连续性条件：

可知 $\frac{1}{2a}=0$ 不成立，说明原解析中题目可能存在排版问题。

推测题目应为：

此时：

函数在 $x=0$ 处连续必须满足：

因此，应选 (A)。

正确答案：D

正确答案：D

详解

首先计算偏导数：

二阶偏导数为：

令偏导数为零，求解驻点：

在点 $(1,1)$ 处计算判别式：

判别式结果为：

且 $A=C=-2<0$ ，因此 $(1,1)$ 为函数的极大值点。所以应该选 (D)。

正确答案：C

正确答案：C

设 $g(x)=(f(x){)}^2$ ，则导数为：

这表明 $(f(x){)}^2$ 是单调递增函数。因此，可以得到：

所以正确答案是 (C)。

正确答案：C

正确答案：C

当 $n\to \infty$ 时，有以下等价关系：

因此，表达式可以展开为：

进一步化简为：

级数收敛的条件是一般项为 $\frac{1}{n}$ 的高阶无穷小，即 $1+k=0$ ，解得 $k=-1$ 。此时，一般项为 $\frac{1}{n^2}$ 的无穷小，级数收敛。因此，正确答案为 (C)。

正确答案：A

正确答案：A

矩阵 $\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^T$ 的特征值为 $1$ 和 $n-1$ 个 $0$ 。由此可得：

• 矩阵 $E-\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^T$ 的特征值为 $1-1=0$ 和 $n-1$ 个 $1$ 。
• 矩阵 $E+\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^T$ 的特征值为 $1+1=2$ 和 $n-1$ 个 $1$ 。
• 矩阵 $E+2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^T$ 的特征值为 $1+2=3$ 和 $n-1$ 个 $1$ 。
• 矩阵 $E-2\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^T$ 的特征值为 $1-2=-1$ 和 $n-1$ 个 $1$ 。

显然，只有 $E-\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^T$ 存在零特征值，因此不可逆，应选 (A)。

正确答案：B

正确答案：B

矩阵 $A$ 和 $B$ 的特征值都是 ${\lambda }_1={\lambda }_2=2$ ， ${\lambda }_3=1$ 。判断它们是否可对角化，只需考察 $\lambda =2$ 的情况。

对于矩阵 $A$ ，有：

其秩为 $1$ ，因此对应 $\lambda =2$ 有 $3-1=2$ 个线性无关的特征向量。故 $A$ 可对角化，且与 $C$ 相似。

对于矩阵 $B$ ，有：

其秩为 $2$ ，因此对应 $\lambda =2$ 只有 $3-2=1$ 个线性无关的特征向量。故 $B$ 不可对角化，且与 $C$ 不相似。

综上所述，正确答案为 (B)。

正确答案：C

正确答案：C

详解

首先计算 $P((A\cup B)C)$ ：

接着计算 $P(A\cup B)P(C)$ ：

比较两式可知， $A\cup B$ 与 $C$ 相互独立的充分必要条件是：

即 $AB$ 与 $C$ 相互独立。因此，正确答案为 (C)。

正确答案：B

正确答案：B

详解

(A): 因为 $(X_i-\mu )\sim N(0,1)$ ，所以 $(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(1)$ ，且相互独立。因此， ${\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$ 服从 ${\chi }^2(n)$ 分布，结论正确。

(B): $(X_n-X_1)\sim N(0,2)$ ，则 $\frac{X_n-X_1}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$ ，所以 $\frac{1}{2}(X_n-X_1{)}^2\sim {\chi }^2(1)$ 。然而， $2(X_n-X_1{)}^2$ 不服从 ${\chi }^2$ 分布，结论错误。

(C): ${\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2=(n-1)S^2$ ，其中 $S^2$ 为样本方差，且 $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$ 。这里 ${\sigma }^2=1$ ，所以 ${\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$ 服从 ${\chi }^2(n-1)$ 分布，结论正确。

(D): $\bar{X}\sim N(\mu ,\frac{1}{n})$ ，则 $\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )\sim N(0,1)$ ，所以 $n(\bar{X}-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(1)$ ，结论正确。

综上所述，不正确的是 (B)，应该选择 (B)。