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2016 年真题

23 题

选择题

1

设函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内连续, 其导函数 $f^{'} (x)$ 的图形如下所示, 则

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正确答案：B

正确答案：B

【解析】 设 $f^{'} (x)$ 与 $x$ 轴的交点为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ (从左到右)。

由图可知，在 $x_{1}, x_{2}$ 左右两侧 $f^{'} (x)$ 异号，因此 $f (x)$ 在 $x_{1}, x_{2}$ 处均取得极值。

从图中可以看出， $f^{'} (x)$ 有两个转折点 $x_{4}, x_{5}$ (从左到右)，并且在 $x_{4}, x_{5}$ 左右两侧 $f^{''} (x)$ 异号，因此 $x_{4}, x_{5}$ 即为 $f (x)$ 的两个拐点。

值得注意的是， $x = 1$ 也是 $f (x)$ 的拐点，虽然 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处无定义，但当 $x < 1$ 时， $f^{''} (x) < 0$ ，当 $1 < x < x_{4}$ 时， $f^{''} (x) > 0$ ，因此 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的拐点，即 $f (x)$ 一共有 3个拐点。

2

已知函数 $f (x, y) = \frac{e ^{x}}{x - y}$ ，则

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正确答案：D

正确答案：D

【解析】

f_{x}^{'} = \frac{e ^{x} ( x - y ) - e ^{x}}{( x - y ) ^{2}}

f_{y}^{'} = \frac{e ^{x}}{( x - y ) ^{2}}

因此 $f_{x}^{'} + f_{y}^{'} = f$ .

3

设 $J_{i} = \iint_{D_{i}} x - y d x d y (i = 1, 2, 3)$ ，其中

D_{1} = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1},

D_{2} = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x},

D_{3} = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, x^{2} \leq y \leq 1},

则

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正确答案：B

正确答案：B

【解析】因为 $D_{1}$ 关于 $y = x$ 对称，所以由轮换对称性得

J_{1} = \iint_{D_{1}} 3 x - y d x d y = \iint_{D_{1}} 3 y - x d x d y,

故 $J_{1} = 0$ ；

令 $D_{0} = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, y^{2} \leq y \leq x}$ ，
因为 $D_{0}$ 关于 $y = x$ 对称，所以由轮换对称性得 $J_{0} = 0$ ，

则

J_{2} J_{3} = \iint_{D_{2}} 3 x - y d x d y = \iint_{D_{0}} 3 x - y d x d y + \iint_{D_{2} ∖ D_{0}} 3 x - y d x d y = \iint_{D_{2} ∖ D_{0}} 3 x - y d x d y > 0, = \iint_{D_{3}} 3 x - y d x d y = \iint_{D_{0}} 3 x - y d x d y + \iint_{D_{3} ∖ D_{0}} 3 x - y d x d y = \iint_{D_{3} ∖ D_{0}} 3 x - y d x d y < 0,

从而 $J_{3} < J_{1} < J_{2}$ 。

4

级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{s i n ( n ) + C}{n}$ （ $C$ 为常数）为（）

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正确答案：A

正确答案：A

【解析】

(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) sin (n + k) \leq \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1},

令

S_{n} = i = 1 \sum n (\frac{1}{i} - \frac{1}{i + 1}) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1},

则

n \to \infty lim S_{n} = 1,

故级数

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})

收敛，因此级数

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) sin (n + k)

绝对收敛。

5

设 $A, B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是：

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正确答案：C

正确答案：C

【解析】 $A$ 与 $B$ 相似，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{- 1} A P = B$ 。

两边同时取逆得 $P^{- 1} A^{- 1} P = B^{- 1}$ ，因此 $P^{- 1} (A + A^{- 1}) P = B + B^{- 1}$ ,

从而 $A^{- 1}$ 与 $B^{- 1}$ 相似， $A + A^{- 1}$ 与 $B + B^{- 1}$ 相似。

$P^{- 1} A P = B$ 两边同时取转置得 $P^{T} A^{T} (P^{T})^{- 1} = B^{T}$ ，显然 $A^{T}$ 与 $B^{T}$ 相似，但 $A + A^{T}$ 与 $B + B^{T}$ 不相似。

6

设二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = a (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} + 2 x_{2} x_{3}$ 的正、负惯性指数分别为 1, 2, 则

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正确答案：C

正确答案：C

【解析】 二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 的系数矩阵为

A = a 11 1 a 1 11 a .

矩阵 $A$ 的特征方程为

∣ λ E - A ∣ = (λ - a - 2) (λ - a + 1)^{2} = 0,

故其特征值为

λ_{1} = λ_{2} = a - 1, λ_{3} = a + 2.

若二次型的正、负惯性指数分别为 $1, 2$ ，则

{a + 2 > 0, a - 1 < 0,

解得

- 2 < a < 1.

7

设 $A, B$ 为两个随机事件, 且 $0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1$ . 如果 $P (A ∣ B) = 1$ , 则

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正确答案：A

正确答案：A
【解析】 由

P (A ∣ B) = 1

可知

B \subseteq A

，则

\overset{ˉ}{A} \subseteq \overset{ˉ}{B}

，从而

P (\overset{ˉ}{B} ∣ \overset{ˉ}{A}) = 1

。

8

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim N (1, 2), Y \sim N (1, 4)$ , 则 $D (X Y) =$

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正确答案：C

正确答案：C

【解析】由题意可得 $E (X) = E (Y) = 1, D (X) = 2, D (Y) = 4$ .

由随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 得 $E (X Y) = E (X) E (Y) = 1$ ,

E (X^{2}) = D (X) + E^{2} (X) = 3, E (Y^{2}) = D (Y) + E^{2} (Y) = 5,

故 $D (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E^{2} (X Y) = E (X^{2}) E (Y^{2}) - [E (X) E (Y)]^{2} = 14$ .

填空题

9

（填空题）已知函数 $f (x)$ 满足 $lim_{x \to 0} \frac{1 + f ( x ) s i n 2 x - 1}{e ^{3 x} - 1} = 2$ ，则 $lim_{x \to 0} f (x) =$ .

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【答案】 6

【解析】

x \to 0 lim \frac{1 + f ( x ) sin 2 x - 1}{e ^{3 x} - 1} = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{2} f ( x ) sin 2 x}{3 x} = \frac{1}{3} x \to 0 lim f (x) = 2,

则

x \to 0 lim f (x) = 6.

10

（填空题）极限 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} (sin \frac{1}{n} + 2 sin \frac{2}{n} + \dots + n sin \frac{n}{n}) =$ .

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【答案】 $sin 1 - cos 1$

【解析】
原式可写为

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{k}{n} sin \frac{k}{n} .

由定积分定义，

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{k}{n} sin \frac{k}{n} = \int_{0}^{1} x sin x d x .

计算得

\int_{0}^{1} x sin x d x = sin 1 - cos 1.

11

（填空题）设函数 $f (u, v)$ 可微， $z = z (x, y)$ 由方程 $(x + 1) z - y^{2} = x^{2} f (x - z, y)$ 确定，则 $d z ∣_{(0, 1)} =$ .

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【答案】 $- d x + 2 d y$

【解析】 将 $x = 0, y = 1$ 代入题中所给方程, 得 $z = 1$ . 方程两边同时对 $x$ 求偏导, 得 $z + (x + 1) z_{x} = 2 x f (u, v) + x^{2} f_{1}^{'} \cdot (1 - z_{x})$

将点 $(0, 1, 1)$ 代入其中得 $z_{x} ∣_{(0, 1)} = - 1$ ;

方程两边同时对 $y$ 求偏导, 得 $(x + 1) z_{y} - 2 y = x^{2} [f_{1}^{'} \cdot (- z_{y}) + f_{2}^{'}]$ ,

将点 $(0, 1, 1)$ 代入其中得 $z_{y} ∣_{(0, 1)} = 2$ ,

因此, $d z ∣_{(0, 1)} = - d x + 2 d y$ .

12

（填空题）设 $D = {(x, y) ∣ ∣ x ∣ \leq y \leq 1, - 1 \leq x \leq 1}$ ，则 $\iint_{D} x^{2} e^{- y^{2}} d x d y =$ .

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【答案】 $\frac{1}{3} - \frac{2}{3 e}$

【解析】

\iint_{D} x^{2} e^{- y^{2}} d x d y = \int_{0}^{1} e^{- y^{2}} d y \int_{- y}^{y} x^{2} d x = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} e^{- y^{2}} (x^{3}_{- y}^{y}) d y = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} e^{- y^{2}} y^{3} d y = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} e^{- y^{2}} \cdot y^{2} d (y^{2}) = - \frac{1}{3} [y^{2} e^{- y^{2}} + e^{- y^{2}}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3 e} .

13

（填空题）

行列式

λ 004 - 1 λ 03 0 - 1 λ 2 00 - 1 λ + 1 =

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【答案】 $λ^{4} + λ^{3} + 2 λ^{2} + 3 λ + 4$

【解析】 【解析】按第一列展开

λ 004 - 1 λ 03 0 - 1 λ 2 00 - 1 λ + 1 = λ (λ^{3} + λ^{2} + 2 λ + 3) + 4 = λ^{4} + λ^{3} + 2 λ^{2} + 3 λ + 4.

14

（填空题）设袋中有红、白、黑球各 $1$ 个，从中放回地取球，每次取 $1$ 个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为 $4$ 的概率为

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【答案】 $\frac{2}{9}$

【解析】 若取球次数恰好为 4, 则前三次只能取到两种颜色的球, 第四次为第三种颜色, 则 $P = \frac{C _{3}^{2} C _{3}^{1} C _{1}^{1} C _{2}^{1}}{3 ^{4}} = \frac{2}{9}$ .

解答题

15

(本题满分 10 分)

求极限 $lim_{x \to 0} (cos 2 x + 2 x sin x)^{\frac{1}{x ^{4}}}$

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【答案】 \[e^{\frac{1}{3}} \]

【解析】
由泰勒展开得

cos 2 x = 1 - \frac{4 x ^{2}}{2 !} + \frac{16 x ^{4}}{4 !} + \dots, - \infty < x < \infty; sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots, - \infty < x < + \infty.

故原式=

x \to 0 lim [1 - \frac{4 x ^{2}}{2 !} + \frac{16 x ^{4}}{4 !} + 2 x (x - \frac{x ^{3}}{3 !}) + o (x^{4})]^{\frac{1}{x ^{4}}} = x \to 0 lim [1 + \frac{1}{3} x^{4} + o (x^{4})]^{\frac{1}{x ^{4}}} = x \to 0 lim (1 + \frac{1}{3} x^{4})^{\frac{3}{x ^{4}} \cdot \frac{1}{3}} = e^{\frac{1}{3}} .

16

(本题满分 10 分)

设某商品的最大需求量为 1200 件，该商品的需求函数为 $Q = Q (P)$ ，需求弹性

η = \frac{P}{120 - P} (η > 0)

$P$ 为单价 (万元)。

(1) 求需求函数的表达式;

(2) 求 $P = 100$ 万元时的边际收益，并说明其经济意义。

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【答案】
(1) 需求函数： $Q (P) = 1200 - 10 P$
(2) 边际收益：80万元，经济意义：销售第201件商品所得收益为80万元。

【解析】

(1) 由 $η = - \frac{d Q / d P}{Q / P} = \frac{P}{120 - P}$ 可知

\frac{d Q}{d P} + \frac{1}{120 - P} Q = 0,

解得 $Q = C (120 - P)$ ，由 $Q (0) = 1200$ 知 $C = 10$ ，故 $Q (P) = 1200 - 10 P$ .

(2) 收益函数

R (Q) = PQ = \frac{( 1200 - Q ) Q}{10}

故

\frac{d R}{d Q} = \frac{1200 - 2 Q}{10} .

因此当 $P = 100$ 时， $Q = 200$ ，此时

\frac{d R}{d Q}_{Q = 200} = 80.

其经济意义为销售第 201 件商品所得收益为 80 万元。

17

(本题满分 10 分)

设函数 $f (x) = \int_{0}^{x} ∣ t^{2} - x^{2} ∣ d t (x > 0)$ ，求 $f^{'} (x)$ ，并求 $f (x)$ 的最小值。

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【答案】 $f^{'} (x) = {4 x^{2} - 2 x, 2 x, 0 < x < 1 x \geq 1$ ，最小值为 $\frac{1}{4}$

【解析】 当 $x \geq 1$ 时， $f (x) = \int_{0}^{1} (x^{2} - t^{2}) d t = x^{2} - \frac{1}{3}$ ；

当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) = \int_{0}^{x} (x^{2} - t^{2}) d t + \int_{x}^{1} (t^{2} - x^{2}) d t = \frac{4}{3} x^{3} - x^{2} + \frac{1}{3}$ 。

且 $lim_{x \to 1^{+}} f^{'} (x) = lim_{x \to 1^{-}} f^{'} (x) = 2$ ，故 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处可导。

所以

f^{'} (x) = {4 x^{2} - 2 x, 2 x, 0 < x < 1; x \geq 1.

故 $x \in (0, \frac{1}{2})$ ， $f^{'} (x) < 0; x \in (\frac{1}{2}, + \infty)$ ， $f^{'} (x) > 0$ 。因此 $f (x)$ 的最小值为

f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3} \times (\frac{1}{2})^{3} - (\frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{4} .

18

(本题满分 10 分)

设函数 $f (x)$ 连续，且满足 $\int_{0}^{x} f (x - t) d t = \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t + e^{- x} - 1$ ，求 $f (x)$ 。

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【答案】 $f (x) = - \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

【解析】 令 $x - t = u$ ，则

\int_{0}^{x} f (x - t) d t = \int_{0}^{x} f (u) d u,

又

\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t = x \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{x} t f (t) d t,

故原式可化为

\int_{0}^{x} f (t) d t = x \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{x} t f (t) d t + e^{- x} - 1,

上式两边同时对 $x$ 求导得

f (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t + x f (x) - x f (x) - e^{- x} = \int_{0}^{x} f (t) d t - e^{- x},

可得 $f (0) = - 1$ ,

上式两边再对 $x$ 求导得

f^{'} (x) = f (x) + e^{- x},

即 $f^{'} (x) - f (x) = e^{- x}$ ,

解得

f (x) = (\int e^{- x} e^{\int - 1 d x} d x + C) e^{\int - 1 d x} = C e^{x} - \frac{1}{2} e^{- x},

由 $f (0) = - 1$ ，得 $C = - \frac{1}{2}$ ，故

f (x) = - \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x}) .

19

(本题满分 10 分)

求幂级数

n = 0 \sum \infty \frac{x ^{2 n + 2}}{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}

的收敛域及和函数。

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【答案】 收敛域为 $[- 1, 1]$ ，和函数为 $S (x) = {(1 + x) ln (1 + x) - (1 - x) ln (1 - x), 2 ln 2, - 1 < x < 1, x = \pm 1.$

【解析】 由 $lim_{n \to \infty} \frac{( n + 2 ) ( 2 n + 3 )}{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )} = 1$ 得收敛半径 $R = 1$ 。

当 $x = \pm 1$ 时，该级数收敛，故收敛域为 $[- 1, 1]$ 。

和函数 $S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )} x^{2 n + 2}$ 。

(1) 当 $- 1 < x < 1$ 时，

S^{'} (x) = n = 0 \sum \infty \frac{( 2 n + 2 )}{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )} x^{2 n + 1} = n = 0 \sum \infty \frac{2}{( 2 n + 1 )} x^{2 n + 1},

S^{''} (x) = n = 0 \sum \infty \frac{2 ( 2 n + 1 )}{2 n + 1} x^{2 n} = \frac{2}{1 - x ^{2}} .

积分得 $S^{'} (x) = \int \frac{2}{1 - x ^{2}} d x = \int (\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x}) d x = ln \frac{1 + x}{1 - x} + C_{1},$

S (x) = \int (ln \frac{1 + x}{1 - x} + C_{1}) d x = (1 + x) ln (1 + x) - (1 - x) ln (1 - x) + C_{1} x + C_{2} .

由 $S (0) = 0, S^{'} (0) = 0$ 知 $C_{1} = C_{2} = 0,$ 故 $S (x) = (1 + x) ln (1 + x) - (1 - x) ln (1 - x) .$

(2) 当 $x = \pm 1$ 时，

S (x) = n = 0 \sum \infty \frac{1}{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )} = 2 n = 0 \sum \infty (\frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2}) = 2 n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n} = 2 ln 2.

故 $S (x) = {(1 + x) ln (1 + x) - (1 - x) ln (1 - x), 2 ln 2, - 1 < x < 1, x = \pm 1.$

20

(本题满分 11 分)

设矩阵 $A = 11 a + 1 101 1 - a a a + 1$ ， $β = 01 2 a - 2$ ，且方程组 $A x = β$ 无解。

(1) 求 $a$ 的值；

(2) 求方程组 $A^{T} A x = A^{T} β$ 的通解。

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【答案】
(1) $a = 0$
(2) 方程组 $A^{T} A x = A^{T} β$ 的通解为 $x = k 0 - 1 1 + 1 - 2 0$ ，其中 $k$ 为任意常数。

【解析】
(1) $(A, β) = 11 a + 1 101 1 - a a a + 1 01 2 a - 2 \to 100010 a 1 - 2 a a (2 - a) 1 - 1 a - 2$ ,

因为方程组 $A x = β$ 无解，则 $r (A) \neq = r (A, β)$ ，故 $a = 0$ 。

(2) 由(1)知，

A = 111101101, A^{T} A = 322222222, A^{T} β = - 1 - 2 - 2,

(A^{T} A ∣ A^{T} β) = 322222222 - 1 - 2 - 2 \to 100010010 1 - 2 0,

故方程组 $A x = β$ 的通解为 $x = k 0 - 1 1 + 1 - 2 0$ （ $k$ 为任意常数）。

21

（本题满分 11 分）

已知矩阵 $A = 020 - 1 - 3 0 100$ .

(1) 求 $A^{99}$ ;

(2) 设 3 阶矩阵 $B = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 满足 $B^{2} = B A$ , 记 $B^{100} = (β_{1}, β_{2}, β_{3})$ , 将 $β_{1}, β_{2}, β_{3}$ 分别表示为 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 的线性组合。

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【答案】
(1)

A^{99} = 2^{99} - 2 2^{100} - 2 0 1 - 2^{99} 1 - 2^{100} 0 2 - 2^{98} 2 - 2^{99} 0

(2)

⎩ ⎨ ⎧ β_{1} = (2^{99} - 2) α_{1} + (2^{100} - 2) α_{2}, β_{2} = (1 - 2^{99}) α_{1} + (1 - 2^{100}) α_{2}, β_{3} = (2 - 2^{98}) α_{1} + (2 - 2^{99}) α_{2}

【解析】
(1) 由

∣ λ E - A ∣ = λ - 2 0 1 λ + 3 0 - 1 0 λ = λ (λ + 2) (λ + 1) = 0

可知 $A$ 的特征值为

λ_{1} = 0, λ_{2} = - 1, λ_{3} = - 2.

将 $A$ 对角化，

当 $λ_{1} = 0$ 时，由 $(OE - A) X = 0$ 得特征向量 $X_{1} = 322$ ；

当 $λ_{2} = - 1$ 时，由 $(- E - A) X = 0$ 得特征向量 $X_{2} = 110$ ；

当 $λ_{3} = - 2$ 时，由 $(- 2 E - A) X = 0$ 得特征向量 $X_{3} = 120$ 。

令 $P = 322110120$ ，则 $P^{- 1} A P = 000 0 - 1 0 00 - 2$ ，因此

P^{- 1} A^{99} P = 000 0 (- 1)^{99} 0 00 (- 2)^{99}

所以有

A^{99} = P 000 0 (- 1)^{99} 0 00 (- 2)^{99} P^{- 1} = 2^{99} - 2 2^{100} - 2 0 1 - 2^{99} 1 - 2^{100} 0 2 - 2^{98} 2 - 2^{99} 0

(2) $B^{100} = B^{98} B^{2} = B^{98} B A = \dots = B A^{99}$ ，

故 $(β_{1}, β_{2}, β_{3}) = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) A^{99}$ ，因此有

⎩ ⎨ ⎧ β_{1} = (2^{99} - 2) α_{1} + (2^{100} - 2) α_{2}, β_{2} = (1 - 2^{99}) α_{1} + (1 - 2^{100}) α_{2}, β_{3} = (2 - 2^{98}) α_{1} + (2 - 2^{99}) α_{2}

22

（本题满分 11 分）

设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D = {(x, y) ∣ 0 < x < 1, x^{2} < y < x}$ 上服从均匀分布, 令 $U = {1, 0, X \leq Y, X > Y .$

(1) 写出 $(X, Y)$ 的概率密度;

(2) 问 $U$ 与 $X$ 是否相互独立? 并说明理由。

(3) 求 $Z = U + X$ 的分布函数 $F (z)$ .

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【答案】
(1) $(X, Y)$ 的概率密度函数为

f (x, y) = {3, 0, (x, y) \in D, 其他 .

(2) $U$ 与 $X$ 不相互独立。
(3) $Z = U + X$ 的分布函数为

F (z) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{3}{2} z^{2} - z^{3}, 2 (z - 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} (z - 1)^{2} + \frac{1}{2}, 1, z < 0, 0 \leq z < 1, 1 \leq z < 2, z \geq 2.

【解析】
(1) 区域 $D$ 的面积为

S_{D} = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} x^{3})_{0}^{1} = \frac{1}{3},

故 $(X, Y)$ 的概率密度函数为

f (x, y) = {3, 0, (x, y) \in D, 其他 .

(2) 设 $U$ 和 $X$ 的联合分布函数为 $G (u, x)$ ,

G (0, t) = P {U = 0, X \leq t} = P {X > Y, X \leq t} = \int_{0}^{t} \int_{x^{2}}^{x} f (x, y) d y d x = \frac{3}{2} t^{2} - t^{3};

G (1, t) = P {U = 1, X \leq t} = 2 t^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} t^{2} .

由于

P {U = 0} = P {X > Y} = \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} f (x, y) d y d x = \frac{1}{2} = P {U = 1},

显然

G (u, x) \neq = P {U = u} P {X \leq x},

故 $U$ 与 $X$ 不独立。

(3) 当 $z < 0$ 时， $F (z) = 0$ ;
当 $0 \leq z < 1$ 时， $F (z) = P {U = 0, X \leq z} = \frac{3}{2} z^{2} - z^{3}$ ;
当 $1 \leq z < 2$ 时， $F (z) = P {U = 1, X \leq z - 1} + P {U = 0, X \leq z} = 2 (z - 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} (z - 1)^{2} + \frac{1}{2}$ ;
当 $z \geq 2$ 时， $F (z) = 1$ 。
故

F (z) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{3}{2} z^{2} - z^{3}, 2 (z - 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} (z - 1)^{2} + \frac{1}{2}, 1, z < 0, 0 \leq z < 1, 1 \leq z < 2, z \geq 2.

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（本题满分 11 分）

设总体 $X$ 的概率密度为

f (x; θ) = {\frac{3 x ^{2}}{θ ^{3}}, 0, 0 < x < θ, 其他,

其中 $θ \in (0, + \infty)$ 为未知参数, $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 令

T = max {X_{1}, X_{2}, X_{3}} .

(1) 求 $T$ 的概率密度;

(2) 确定 $a$ , 使得 $E (a T) = θ$ 。

查看答案与解析

【答案】
(1) $g (t) = {\frac{9 t ^{8}}{θ ^{9}}, 0, 0 < t < θ, 其他$
(2) $a = \frac{10}{9}$

【解析】
(1) 当 $0 < x \leq θ$ 时， $X$ 的分布函数为

F (x) = \int_{0}^{x} \frac{3 t ^{2}}{θ ^{3}} d t = \frac{x ^{3}}{θ ^{3}} .

故

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{x ^{3}}{θ ^{3}}, 1, x \leq 0, 0 < x \leq θ, x > θ .

设 $T$ 的分布函数为 $G (t)$ ，则当 $0 < t \leq θ$ 时，

G (t) = P {T \leq t} = P {X_{1} \leq t, X_{2} \leq t, X_{3} \leq t} = P {X_{1} \leq t} P {X_{2} \leq t} P {X_{3} \leq t} = \frac{t ^{9}}{θ ^{9}},

故

G (t) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{t ^{9}}{θ ^{9}}, 1, t \leq 0, 0 < t \leq θ, t > θ .

因此 $T$ 的密度函数为

g (t) = {\frac{9 t ^{8}}{θ ^{9}}, 0, 0 < t < θ, 其他 .

(2)

E (T) = \int_{0}^{θ} \frac{9 t ^{8}}{θ ^{9}} d t = \frac{9}{10} θ,

由 $θ = E (a T) = a E (T) = \frac{9}{10} a θ$ 知 $a = \frac{10}{9}$ .