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2012 年真题

23 题

选择题

1

曲线 $y = \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} - 1}$ 的渐近线条数为()

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正确答案：C

正确答案：C

$lim_{x \to 1} \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} - 1} = \infty$ ，所以 $x = 1$ 为垂直渐近线。

$lim_{x \to \infty} \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} - 1} = 1$ ，所以 $y = 1$ 为水平渐近线。

没有斜渐近线，故渐近线条数为 2，选 C。

2

设函数 $f (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (e^{n x} - n)$ ，其中 $n$ 为正整数，则 $f^{'} (0) =$

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正确答案：C

正确答案：C

$f^{'} (x)$ 的表达式为：

f^{'} (x) = e^{x} (e^{2 x} - 2) \dots (e^{n x} - n) + (e^{x} - 1) (2 e^{2 x}) \dots (e^{n x} - n) + \dots + (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (n e^{n x})

当 $x = 0$ 时，每一项的求值如下：

第一项： $e^{0} (e^{0} - 2) \dots (e^{0} - n) = 1 \times (- 1) \times (- 2) \dots \times (- (n - 1)) = (- 1)^{n - 1} (n - 1)!$
其余项：由于至少包含一个 $(e^{k x} - k)$ 因子，在 $x = 0$ 时均为 0。

因此，导数值为：

f^{'} (0) = (- 1)^{n - 1} n!

最终答案为 C。

3

设函数 $f (r^{2})$ 连续，则二次积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{2 c o s θ}^{2} f (r^{2}) r d r = ()

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正确答案：B

正确答案：B

极坐标下积分区域转换为直角坐标 X-型区域时，有以下转换关系：

$r = 2 cos θ$ 转换为直角坐标方程 $x^{2} + y^{2} = 2 x$ ，即 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 。
$r = 2$ 对应直角坐标方程 $x^{2} + y^{2} = 4$ 。

在第一象限内， $y$ 的范围为：

y \in [2 x - x^{2}, 4 - x^{2}]

被积函数为 $f (x^{2} + y^{2})$ ，因此排除以下选项：

含 $x^{2} + y^{2}$ 的选项 (A) 和 (C)。
含负号下限的选项 (D)。

最终选择 (B)。

4

已知级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} n sin \frac{1}{n ^{α}}$ 绝对收敛， $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2 - α}}$ 条件收敛，则 $α$ 的取值范围为()

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正确答案：D

正确答案：D

考察绝对收敛和条件收敛的定义及P级数的收敛性。

对于级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} n sin \frac{1}{n ^{α}}$ ，当 $n \cdot \frac{1}{n ^{α}} = \frac{1}{n ^{α - \frac{1}{2}}}$ 时，绝对收敛要求 $α - \frac{1}{2} > 1$ ，即 $α > \frac{3}{2}$ 。

对于级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2 - α}}$ ，条件收敛要求满足：

2 - α \leq 1 且 2 - α > 0

即：

1 \leq 2 - α < 1

解得 $α \leq 2$ 且 $α > 1$ 。

综合以上结果，得到 $\frac{3}{2} < α \leq 2$ ，故选(D)。

5

设 $α_{1} = 00 a_{1}$ , $α_{2} = 01 a_{2}$ , $α_{3} = 1 - 1 a_{3}$ , $α_{4} = - 1 1 a_{4}$ ，其中 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是()

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正确答案：C

正确答案：C

计算行列式：

∣ (α_{1}, α_{3}, α_{4}) ∣ = 00 a_{1} 1 - 1 a_{3} - 1 1 a_{4} = a_{1} 1 - 1 - 1 1 = 0

故 $α_{1}, α_{3}, α_{4}$ 线性相关，选 (C)。

6

设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 是可逆矩阵，满足

P^{- 1} A P = 112,

若 $Q = (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3})$ ，则 $Q^{- 1} A Q =$

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正确答案：B

正确答案：B

由 $Q = P 110010001$ ，得

Q^{- 1} = 1 - 1 0 010001 P^{- 1}

则

Q^{- 1} A Q = 1 - 1 0 010001 P^{- 1} A P 110010001

代入 $P^{- 1} A P = 112$ ，得

Q^{- 1} A Q = 1 - 1 0 010001 112110010001 = 112

故选 (B)。

7

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从区间 $(0, 1)$ 上的均匀分布，则 $P {X^{2} + Y^{2} \leq 1} =$

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正确答案：D

正确答案：D

$X$ 与 $Y$ 独立且服从 $(0, 1)$ 均匀分布，联合概率密度 $f (x, y) = 1$ （ $0 < x < 1$ ， $0 < y < 1$ ）。

定义 $Z = X + Y$ ，则 $Z$ 的取值范围为 $(0, 2)$ 。对于 $0 < z < 1$ ，有：

f_{Z} (z) = \int_{0}^{z} f (x, z - x) d x = \int_{0}^{z} 1 d x = z

对于 $1 \leq z < 2$ ，有：

f_{Z} (z) = \int_{z - 1}^{1} f (x, z - x) d x = \int_{z - 1}^{1} 1 d x = 2 - z

综上， $Z$ 的概率密度函数为：

f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ z, 2 - z, 0, 0 < z < 1 1 \leq z < 2 其他

8

设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 为来自总体 $N (1, σ^{2})$ $(σ > 0)$ 的简单随机样本，则统计量

\frac{X _{1} - X _{2}}{∣ X _{3} + X _{4} - 2∣}

的分布为()

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正确答案：B

正确答案：B

令 $U = \frac{X _{1} - X _{2}}{2 σ} \sim N (0, 1)$ ， $V = \frac{X _{3} + X _{4} - 2}{2 σ} \sim N (0, 1)$ ，且 $U$ 与 $V$ 独立。

则有：

\frac{U}{∣ V ∣/ 1} \sim t (1)

即统计量：

\frac{X _{1} - X _{2}}{∣ X _{3} + X _{4} - 2∣} = \frac{U}{∣ V ∣} \sim t (1)

故选 (B)。

填空题

9

（填空题）

x \to \frac{π}{4} lim (tan x)^{\frac{1}{c o s x - s i n x}}

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【答案】 $e^{- 2}$

【解析】

x \to \frac{π}{4} lim (tan x)^{\frac{1}{c o s x - s i n x}} = e^{l i m [(t a n x - 1) \frac{1}{c o s x - s i n x}]}

x \to \frac{π}{4} lim [(tan x - 1) \frac{1}{cos x - sin x}] = x \to \frac{π}{4} lim \frac{tan x - tan \frac{π}{4}}{cos x - sin x} = x \to \frac{π}{4} lim \frac{tan ( x - \frac{π}{4} ) ( 1 + tan x tan \frac{π}{4} )}{2 sin ( \frac{π}{4} - x )} = x \to \frac{π}{4} lim \frac{( x - \frac{π}{4} ) ( 1 + tan x tan \frac{π}{4} )}{2 ( - ( x - \frac{π}{4} ) )} = \frac{1 + 1}{- 2} = - 2

所以

x \to \frac{π}{4} lim (tan x)^{\frac{1}{c o s x - s i n x}} = e^{\frac{1}{c o s x - s i n x}} = e^{- 2}

10

（填空题）设函数

f (x) = {ln x, 2 x - 1, x \geq 1 x < 1

$y = f (f (x))$ ，求 $\frac{d y}{d x}_{x = 0}$ 。

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【答案】 4

【解析】

\frac{d y}{d x}_{x = 0} = f^{'} (f (x)) f^{'} (x) ∣_{x = 0} = f^{'} (f (0)) f^{'} (0) = f^{'} (- 1) f^{'} (0)

由 $f (x)$ 的表达式知，当 $x < 1$ 时， $f^{'} (x) = 2$ ，所以 $f^{'} (0) = f^{'} (- 1) = 2$ 。

因此，

\frac{d y}{d x}_{x = 0} = 2 \times 2 = 4

11

（填空题）设 $z = f (x, y)$ 满足

x \to 0 y \to 1 lim \frac{f ( x , y ) - 2 x + y - 2}{x ^{2} + ( y - 1 ) ^{2}} = 0,

则 $d z ∣_{(0, 1)} =$

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【答案】

d z ∣_{(0, 1)} = 2 d x - d y

【解析】
由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即 $f (x, y) = 2 x - y + 2 + o (x^{2} + (y - 1)^{2})$ 。

因此：

\frac{\partial z}{\partial x}_{(0, 1)} = 2

\frac{\partial z}{\partial y}_{(0, 1)} = - 1

故：

d z ∣_{(0, 1)} = 2 d x - d y

12

（填空题）由曲线 $y = \frac{4}{x}$ 和直线 $y = x$ 及 $y = 4 x$ 在第一象限中所围图形的面积为？

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【答案】 4 \ln 2

【解析】 用被积函数为1的二重积分来求，图形在第一象限的交点为：

$y = x$ 与 $y = \frac{4}{x}$ 交于 $(2, 2)$ ，

$y = 4 x$ 与 $y = \frac{4}{x}$ 交于 $(1, 4)$ 。

将区域分为两部分：

当 $0 < y \leq 2$ 时， $x$ 的范围是 $\frac{y}{4}$ 到 $y$ 。
当 $2 < y \leq 4$ 时， $x$ 的范围是 $\frac{y}{4}$ 到 $\frac{4}{y}$ 。

所以面积 $S$ 为：

S = \int_{0}^{2} d y \int_{\frac{y}{4}}^{y} d x + \int_{2}^{4} d y \int_{\frac{y}{4}}^{\frac{4}{y}} d x

计算第一个积分：

\int_{0}^{2} (y - \frac{y}{4}) d y = \int_{0}^{2} \frac{3 y}{4} d y = \frac{3}{8} y^{2}_{0}^{2} = \frac{3}{2}

计算第二个积分：

\int_{2}^{4} (\frac{4}{y} - \frac{y}{4}) d y = (4 ln y - \frac{y ^{2}}{8})_{2}^{4}

代入上下限：

4 ln 4 - 2 - (4 ln 2 - 0.5) = 4 ln 2 - 1.5

最终面积为：

S = \frac{3}{2} + 4 ln 2 - 1.5 = 4 ln 2

13

（填空题）设 $A$ 为 3 阶矩阵， $∣ A ∣ = 3$ ， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。若交换 $A$ 的第一行与第二行得到矩阵 $B$ ，则 $∣ B A^{*} ∣ =$

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【答案】 -27

【解析】 由于交换 $A$ 的第一行与第二行得到矩阵 $B$ ，即 $B = E_{12} A$ （其中 $E_{12}$ 为交换单位矩阵第一、二行的初等矩阵），则

B A^{*} = E_{12} A \cdot A^{*}

因为 $A A^{*} = ∣ A ∣ E = 3 E$ ，所以

B A^{*} = E_{12} \cdot 3 E = 3 E_{12}

行列式

∣3 E_{12} ∣ = 3^{3} ∣ E_{12} ∣ = 27 \times (- 1) = - 27

（因为交换两行的初等矩阵行列式为 $- 1$ ）。

14

（填空题）设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为随机事件， $A$ 与 $C$ 互不相容， $P (A B) = \frac{1}{2}$ ， $P (C) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (A B ∣ \overline{C}) =$

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【答案】 $\frac{3}{4}$

【解析】 根据条件概率公式：

P (A B ∣ \overline{C}) = \frac{P ( A B C )}{P ( C )}

已知：

P (\overline{C}) = 1 - P (C) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

由于事件 $A$ 与 $C$ 互不相容，即 $A C = \emptyset$ ，因此：

A BC \subseteq A C = \emptyset ⟹ P (A BC) = 0

进一步分解 $A B$ ：

A B = A B \overline{C} \cup A BC

其中 $A B \overline{C}$ 与 $A BC$ 互斥，故：

P (A B) = P (A B \overline{C}) + P (A BC)

代入已知条件：

P (A B \overline{C}) = P (A B) - P (A BC) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}

最终计算条件概率：

P (A B ∣ \overline{C}) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{4}

解答题

15

（本题满分 10 分）

计算

x \to 0 lim \frac{e ^{x^{2}} - e ^{2 - 2 c o s x}}{x ^{4}}

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【答案】 $\frac{1}{6}$

【解析】

x \to 0 lim \frac{e ^{x^{2}} - e ^{2 - 2 c o s x}}{x ^{4}} = x \to 0 lim e^{2 - 2 c o s x} \frac{e ^{x^{2} - 2 + 2 c o s x} - 1}{x ^{4}} = x \to 0 lim \frac{x ^{2} - 2 + 2 cos x}{x ^{4}} (等价无穷小替换) = x \to 0 lim \frac{x ^{2} - 2 + 2 ( 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{12} + o ( x ^{4} ) )}{x ^{4}} = x \to 0 lim \frac{\frac{x ^{4}}{6} + o ( x ^{4} )}{x ^{4}} = \frac{1}{6}

16

（本题满分 10 分）

计算 $\iint_{D} e^{x} x y d x d y$ ，其中 $D$ 由 $y = x$ 与 $y = \frac{1}{x}$ 所围区域。

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【答案】 $\frac{1}{2}$

【解析】 由题意知，区域 $D = {(x, y) ∣ 0 < x \leq 1, x < y < \frac{1}{x}}$ ，则有

\iint_{D} e^{x} x y d x d y = \int_{0}^{1} d x \int_{x}^{\frac{1}{x}} e^{x} x y d y = \int_{0}^{1} e^{x} x [\frac{1}{2} y^{2}]_{x}^{\frac{1}{x}} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{x} x (\frac{1}{x} - x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{x} (1 - x^{2}) d x = \frac{1}{2} [\int_{0}^{1} e^{x} d x - \int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x] = \frac{1}{2} [e^{x}_{0}^{1} - (x^{2} e^{x}_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x e^{x} d x)] = \frac{1}{2} [(e - 1) - (e - 2 (x e^{x}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x))] = \frac{1}{2} [(e - 1) - (e - 2 (e - (e - 1)))] = \frac{1}{2}

17

（本题满分 10 分）

某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为 $10000$ 万元，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 $x$ (件) 和 $y$ (件)，且两种产品的边际成本分别为 $20 + \frac{x}{2}$ (万元/件) 与 $6 + y$ (万元/件)。

求生产甲、乙两种产品的总成本函数 $C (x, y)$ (万元)。
当总产量为 $50$ 件时，甲、乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。
求总产量为 $50$ 件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。

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【答案】

总成本函数为 $C (x, y) = 20 x + \frac{x ^{2}}{4} + 6 y + \frac{1}{2} y^{2} + 10000$ 。
当总产量为50件时，甲产品产量为24件，乙产品产量为26件时总成本最小，最小成本为11118万元。
总产量为50件且总成本最小时，甲产品的边际成本为32万元/件，其经济意义为：在要求总产量为50件时，当甲产品为24件，这时改变一个单位的甲产品产量，成本会发生32万元的改变。

【解析】

设成本函数为 $C (x, y)$ ，由题意有：
$C_{x}^{'} (x, y) = 20 + \frac{x}{2}$
对 $x$ 积分得：
$C (x, y) = 20 x + \frac{x ^{2}}{4} + D (y)$
再对 $y$ 求导有：
$C_{y}^{'} (x, y) = D^{'} (y) = 6 + y$
再对 $y$ 积分有：
$D (y) = 6 y + \frac{1}{2} y^{2} + c$
所以：
$C (x, y) = 20 x + \frac{x ^{2}}{4} + 6 y + \frac{1}{2} y^{2} + c$
又 $C (0, 0) = 10000$ ，故 $c = 10000$ ，所以：
$C (x, y) = 20 x + \frac{x ^{2}}{4} + 6 y + \frac{1}{2} y^{2} + 10000$
若 $x + y = 50$ ，则 $y = 50 - x$ （ $0 \leq x \leq 50$ ），代入到成本函数中，有：
$C (x) = 20 x + \frac{x ^{2}}{4} + 6 (50 - x) + \frac{1}{2} (50 - x)^{2} + 10000 = \frac{3}{4} x^{2} - 36 x + 11550$
令 $C^{'} (x) = \frac{3}{2} x - 36 = 0$ ，得 $x = 24$ ， $y = 26$ 。此时总成本最小：
$C (24, 26) = 11118$
总产量为50件且总成本最小时，甲产品的边际成本为：
$C_{x}^{'} (24, 26) = 20 + \frac{24}{2} = 32$
表示在要求总产量为50件时，当甲产品为24件，这时改变一个单位的甲产品产量，成本会发生32万元的改变。

18

（本题满分 10 分）

证明：

x ln \frac{1 + x}{1 - x} + cos x \geq 1 + \frac{x ^{2}}{2}, - 1 < x < 1

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【答案】 见解析

【解析】 令 $f (x) = x ln \frac{1 + x}{1 - x} + cos x - 1 - \frac{x ^{2}}{2}$ ，可得导数为：

f^{'} (x) = ln \frac{1 + x}{1 - x} + x \cdot \frac{2}{( 1 + x ) ( 1 - x )} - sin x - x = ln \frac{1 + x}{1 - x} + \frac{2 x}{1 - x ^{2}} - sin x - x = ln \frac{1 + x}{1 - x} + x (\frac{2}{1 - x ^{2}} - 1) - sin x = ln \frac{1 + x}{1 - x} + x \cdot \frac{1 + x ^{2}}{1 - x ^{2}} - sin x

当 $0 < x < 1$ 时， $ln \frac{1 + x}{1 - x} \geq 0$ ，且 $\frac{1 + x ^{2}}{1 - x ^{2}} > 1$ 。因此：

\frac{1 + x ^{2}}{1 - x ^{2}} x - sin x \geq x - sin x \geq 0

因为 $x \geq sin x$ 在 $x \geq 0$ 时成立，故 $f^{'} (x) \geq 0$ 。又因为 $f (0) = 0$ ，所以当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) \geq 0$ ，即：

x ln \frac{1 + x}{1 - x} + cos x \geq 1 + \frac{x ^{2}}{2}

当 $- 1 < x < 0$ 时，令 $t = - x$ ，则 $0 < t < 1$ 。此时：

f (x) = - t ln \frac{1 - t}{1 + t} + cos (- t) - 1 - \frac{t ^{2}}{2} = t ln \frac{1 + t}{1 - t} + cos t - 1 - \frac{t ^{2}}{2}

由上述 $0 < t < 1$ 时的结论可知 $f (x) \geq 0$ ，即：

x ln \frac{1 + x}{1 - x} + cos x \geq 1 + \frac{x ^{2}}{2}

综上，不等式：

x ln \frac{1 + x}{1 - x} + cos x \geq 1 + \frac{x ^{2}}{2}

在 $- 1 < x < 1$ 时成立。

19

（本题满分 10 分）

已知函数 $f (x)$ 满足方程 $f^{''} (x) + f^{'} (x) - 2 f (x) = 0$ 及 $f^{'} (x) + f (x) = 2 e^{x}$ 。

求表达式 $f (x)$ ；
求曲线 $y = f (x^{2}) \int_{0}^{x} f (- t^{2}) d t$ 的拐点。

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【答案】

$f (x) = e^{x}$
拐点为 $(0, 0)$

【解析】

特征方程为 $r^{2} + r - 2 = 0$ ，特征根为 $r_{1} = 1$ ， $r_{2} = - 2$ 。齐次微分方程 $f^{''} (x) + f^{'} (x) - 2 f (x) = 0$ 的通解为 $f (x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- 2 x}$ 。

由 $f^{'} (x) + f (x) = 2 e^{x}$ 得：

(C_{1} e^{x} - 2 C_{2} e^{- 2 x}) + (C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- 2 x}) = 2 e^{x}

即：

2 C_{1} e^{x} - C_{2} e^{- 2 x} = 2 e^{x}

所以 $C_{1} = 1$ ， $C_{2} = 0$ ，故 $f (x) = e^{x}$ 。

曲线方程为 $y = e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t$ ，则：

y^{'} = 2 x e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t + e^{x^{2}} \cdot e^{- x^{2}} = 2 x e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t + 1

y^{''} = 2 e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t + 4 x^{2} e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t + 2 x = 2 (1 + 2 x^{2}) e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t + 2 x

令 $y^{''} = 0$ ：

当 $x = 0$ 时， $y^{''} = 0$ 。
当 $x > 0$ 时， $2 x > 0$ ，且 $2 (1 + 2 x^{2}) e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t > 0$ ，故 $y^{''} > 0$ 。
当 $x < 0$ 时， $2 x < 0$ ，且 $\int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t = - \int_{x}^{0} e^{- t^{2}} d t < 0$ ，故 $2 (1 + 2 x^{2}) e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t < 0$ ，因此 $y^{''} < 0$ 。

因此， $x = 0$ 左右两边 $y^{''}$ 符号改变，曲线在 $(0, 0)$ 点左右凹凸性相反，所以曲线的拐点为 $(0, 0)$ 。

20

（本题满分 10 分）

设

A = 100 a a 100 0 a 10 00 a 1, b = 1 - 1 00

(I) 求 $∣ A ∣$

(II) 已知线性方程组 $A x = b$ 有无穷多解，求 $a$ ，并求 $A x = b$ 的通解。

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【答案】
(I) $∣ A ∣ = 1 - a^{4}$
(II) $a = - 1$ ，通解为 $x = k 1111 + 0 - 1 00$ ，其中 $k$ 为任意常数。

【解析】
(I)

100 a a 100 0 a 10 00 a 1 = 1 \times 100 a 10 0 a 1 + a \times (- 1)^{4 + 1} a 10 0 a 1 00 a = 1 - a^{4}

(II)

100 a a 100 0 a 10 00 a 1 1 - 1 00 \to 1000 a 10 - a^{2} 0 a 10 00 a 1 1 - 1 0 - a \to 1000 a 100 0 a 1 a^{3} 00 a 1 1 - 1 0 - a - a^{2} \to 1000 a 100 0 a 10 00 a 1 - a^{4} 1 - 1 0 - a - a^{2}

当原线性方程组有无穷多解时，需满足 $1 - a^{4} = 0$ 且 $- a - a^{2} = 0$ ，解得 $a = - 1$ 。

当 $a = - 1$ 时，增广矩阵的初等行变换为：

1000 - 1 100 0 - 1 10 00 - 1 0 1 - 1 00 \to 100001000010 - 1 - 1 - 1 0 0 - 1 00

方程组的通解为：

x = k 1111 + 0 - 1 00, k \in R .

21

（本题满分 10 分）

设矩阵 $A = λ 01 1 λ - 1 1 10 λ$ ，线性方程组 $A x = b$ 存在2个不同的解。

求 $λ$ 的值；
求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。

查看答案与解析

【答案】

$λ = - 1$
二次型矩阵为 $202022224$ ，标准型为 $2 y_{2}^{2} + 6 y_{3}^{2}$ ，正交变换过程见解析。

【解析】

由线性方程组 $A x = b$ 存在 2 个不同的解，可知方程组有无穷多解，故 $r (A) = r (\overline{A}) < 3$ ，且 $∣ A ∣ = 0$ 。

计算行列式：

∣ A ∣ = λ 01 1 λ - 1 1 10 λ = (λ - 1)^{2} (λ + 1) = 0

解得 $λ = 1$ 或 $λ = - 1$ 。

当 $λ = 1$ 时：

A = 101101101

此时 $r (A) = 1$ ，增广矩阵 $\overline{A}$ 的秩可能为 2，不满足 $r (A) = r (\overline{A})$ ，舍去。

当 $λ = - 1$ 时，题目中可能存在笔误。结合后续二次型部分，推测此处应与矩阵：

A = 10 - 1 010 11 a

相关。由 $r (A^{⊤} A) = r (A) = 2$ 可得：

10 - 1 010 11 a = a + 1 = 0 \Rightarrow a = - 1

二次型：

f = x^{⊤} A^{⊤} A x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) 202022224 x_{1} x_{2} x_{3} = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 4 x_{3}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 4 x_{2} x_{3}

对应的二次型矩阵为：

B = 202022224

计算特征值：

∣ λ E - B ∣ = λ - 2 0 - 2 0 λ - 2 - 2 - 2 - 2 λ - 4 = λ (λ - 2) (λ - 6) = 0

解得特征值为 $λ_{1} = 0$ ， $λ_{2} = 2$ ， $λ_{3} = 6$ 。

对于 $λ_{1} = 0$ ，解 $(λ_{1} E - B) X = 0$ 得特征向量：

η_{1} = 11 - 1

对于 $λ_{2} = 2$ ，解 $(λ_{2} E - B) X = 0$ 得特征向量：

η_{2} = 1 - 1 0

对于 $λ_{3} = 6$ ，解 $(λ_{3} E - B) X = 0$ 得特征向量：

η_{3} = 112

将特征向量单位化：

α_{1} = \frac{1}{3} 11 - 1, α_{2} = \frac{1}{2} 1 - 1 0, α_{3} = \frac{1}{6} 112

令正交矩阵 $Q = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ ，则经正交变换 $x = Q y$ ，二次型化为标准型：

f = 0 y_{1}^{2} + 2 y_{2}^{2} + 6 y_{3}^{2} = 2 y_{2}^{2} + 6 y_{3}^{2}

22

（本题满分 10 分）

已知随机变量 $X$ , $Y$ 以及 $X Y$ 的分布律如下表所示：

X P 0 \frac{1}{2} 1 \frac{1}{3} 2 \frac{1}{6}

Y P 0 \frac{1}{3} 1 \frac{1}{3} 2 \frac{1}{3}

X Y P 0 \frac{7}{12} 1 \frac{1}{12} 2 \frac{1}{6} 4 \frac{1}{12}

求：

$P (X = 2 Y)$
$COV (X - Y, Y)$
$ρ_{X Y}$

查看答案与解析

【答案】

$P (X = 2 Y) = \frac{1}{4}$
$COV (X - Y, Y) = - \frac{2}{3}$
$ρ_{X Y} = 0$

【解析】
（1）概率 $P (X = 2 Y)$ 的计算如下：

P (X = 2 Y) = P (X = 0, Y = 0) + P (X = 2, Y = 1)

根据联合分布：

$P (X = 0, Y = 0) = P (X = 0) P (Y = 0) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ （因为 $X$ 与 $Y$ 独立）。但联合分布需满足 $P (X Y = 0) = \frac{7}{12}$ ，即：

P (X = 0, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) + P (X = 0, Y = 2) P (X = 1, Y = 0) + P (X = 2, Y = 0) = \frac{7}{12}

经分析，正确计算为：

P (X = 2 Y) = P (X = 0, Y = 0) + P (X = 2, Y = 1)

其中：

P (X = 2, Y = 1) = P (X = 2) P (Y = 1) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{18}

但题目所给解为 $\frac{1}{4}$ ，可能存在数据不一致的情况。

（2）协方差 $co v (X - Y, Y)$ 的计算如下：

co v (X - Y, Y) = co v (X, Y) - co v (Y, Y)

首先计算期望：

EX = 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3}

E Y = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{3} = 1

EX Y = 0 \times \frac{7}{12} + 1 \times \frac{1}{12} + 2 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{12} = \frac{2}{3}

接着计算协方差：

co v (X, Y) = EX Y - EXE Y = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \times 1 = 0

cov (Y, Y) = D Y = E Y^{2} - (E Y)^{2} = (0^{2} \times \frac{1}{3} + 1^{2} \times \frac{1}{3} + 2^{2} \times \frac{1}{3}) - 1^{2} = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}

因此：

co v (X - Y, Y) = 0 - \frac{2}{3} = - \frac{2}{3}

（3）相关系数 $ρ_{X Y}$ 的计算如下：

ρ_{X Y} = \frac{co v ( X , Y )}{D X D Y} = \frac{0}{\frac{5}{9} \times \frac{2}{3}} = 0

23

（本题满分 10 分）

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且均服从参数为 $1$ 的指数分布，定义 $V = min (X, Y)$ ， $U = max (X, Y)$ 。

求：

随机变量 $V$ 的概率密度；
$E (U + V)$ 。

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【答案】

随机变量 $V$ 的概率密度为
$f_{V} (v) = {2 e^{- 2 v}, 0, v > 0 otherwise$
$E (U + V) = 2$

【解析】
(1) 随机变量 $X$ 和 $Y$ 的概率密度函数为：

f (x) = {e^{- x}, 0, x > 0 其他

分布函数为：

F (x) = {1 - e^{- x}, 0, x > 0 其他

定义 $V = min (X, Y)$ ，其分布函数为：

F_{V} (v) = P {V \leq v} = 1 - P {X > v, Y > v} = 1 - [1 - F (v)]^{2} = {1 - e^{- 2 v}, 0, v > 0 otherwise

概率密度函数为：

f_{V} (v) = F_{V}^{'} (v) = {2 e^{- 2 v}, 0, v > 0 其他

(2) 定义 $U = max (X, Y)$ ，其分布函数为：

F_{U} (u) = P {U \leq u} = P {X \leq u, Y \leq u} = [F (u)]^{2} = {(1 - e^{- u})^{2}, 0, u > 0 其他

概率密度函数为：

f_{U} (u) = 2 (1 - e^{- u}) e^{- u}, u > 0

计算期望：

E U = \int_{0}^{+ \infty} u \cdot 2 (1 - e^{- u}) e^{- u} d u = \int_{0}^{+ \infty} 2 u (e^{- u} - e^{- 2 u}) d u

= 2 [\int_{0}^{+ \infty} u e^{- u} d u - \int_{0}^{+ \infty} u e^{- 2 u} d u] = 2 (1 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{2}

E V = \int_{0}^{+ \infty} v \cdot 2 e^{- 2 v} d v = \frac{1}{2}

因此：

E (U + V) = E U + E V = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2