选择题
第 1 题
选择题
函数 的可去间断点的个数为
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正确答案：C
当 取任何整数时， 均无意义。因此， 的间断点有无穷多个。
可去间断点为极限存在的点，所以需要求解 的解。因此，可去间断点为 3 个，即 、 。
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2009 年真题
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选择题
第 2 题
选择题
函数 的可去间断点的个数为
当 时， 与 是等价无穷小，则
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正确答案：A
设 和 为等价无穷小，则有 。
利用泰勒展开：
因此：
对于 的展开：
因此：
要使极限成立：
需满足分子分母最低阶项次数相同且系数相等，故：
此时分子为：
分母为：
因此：
选择题
第 3 题
选择题
函数 的可去间断点的个数为
当 时， 与 是等价无穷小，则
使不等式 成立的 的范围是
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正确答案：A
原问题可转化为求函数 的取值范围：
由于 （因为 且 对所有 成立），当 时，积分上限 ，此时被积函数 ，因此积分值为正，即 。
综上，正确答案为 (A)。
选择题
第 4 题
选择题
函数 的可去间断点的个数为
当 时， 与 是等价无穷小，则
使不等式 成立的 的范围是
设函数 在区间 上的图形为（图形描述略），则函数 的图形为
查看答案与解析
正确答案：D
由定积分的几何意义， 表示 从 0 到 与 轴围成的面积代数和。分析各区间特征：
① 当 时， ，故 单调递减且 。
② 当 时， ，故 单调递增。
③ 当 时， ，故 为常函数。
④ 当 时， 为线性函数且 ，故 为线性递增函数（因积分是累加负面积，斜率为负但 从 -1 到 0 时积分值增大）。
⑤ 连续。
结合选项，(D) 符合上述特征。
选择题
第 5 题
选择题
函数 的可去间断点的个数为
当 时， 与 是等价无穷小，则
使不等式 成立的 的范围是
设函数 在区间 上的图形为（图形描述略），则函数 的图形为
设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵
的伴随矩阵为
查看答案与解析
正确答案：B
对于分块矩阵 ，其行列式为：
伴随矩阵 满足 ，而根据分块矩阵逆的性质：
又因为：
所以：
因此，正确答案为 (B)。
选择题
第 6 题
选择题
函数 的可去间断点的个数为
当 时， 与 是等价无穷小，则
使不等式 成立的 的范围是
设函数 在区间 上的图形为（图形描述略），则函数 的图形为
设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵
的伴随矩阵为
设 为 3 阶矩阵， 。若 ， ，则 为
查看答案与解析
正确答案：A
由 ，记 ，则：
代入 ，计算 ：
进一步计算：
故选 (A)。
选择题
第 7 题
选择题
函数 的可去间断点的个数为
当 时， 与 是等价无穷小，则
使不等式 成立的 的范围是
设函数 在区间 上的图形为（图形描述略），则函数 的图形为
设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵
的伴随矩阵为
设 为 3 阶矩阵， 。若 ， ，则 为
设事件 与事件 互不相容，则
查看答案与解析
正确答案：D
因为 互不相容，所以 。
(A)
。
但
不一定为1，故(A)错误。
(B)
当
不为0时，独立事件满足
。
但互不相容事件未必独立，故(B)错误。
(C)
仅当
为对立事件时，
。
但互不相容未必对立，故(C)错误。
(D)
，
故(D)正确。
选择题
第 8 题
选择题
函数 的可去间断点的个数为
当 时， 与 是等价无穷小，则
使不等式 成立的 的范围是
设函数 在区间 上的图形为（图形描述略），则函数 的图形为
设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵
的伴随矩阵为
设 为 3 阶矩阵， 。若 ， ，则 为
设事件 与事件 互不相容，则
设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为 。记 为随机变量 的分布函数，则函数 的间断点个数为
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正确答案：B
由全概率公式，
其中 为标准正态分布函数。
当 时， ，故
当 时， ，故
在 处，左极限为
右极限为
左右极限存在但不相等，故 为唯一间断点，选(B)。
选择题
1
函数 的可去间断点的个数为
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正确答案：C
正确答案：C当 取任何整数时， 均无意义。因此， 的间断点有无穷多个。
可去间断点为极限存在的点，所以需要求解 的解。因此，可去间断点为 3 个，即 、 。
2
当 时， 与 是等价无穷小，则
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正确答案：A
正确答案：A设 和 为等价无穷小，则有 。
利用泰勒展开：
因此：
对于 的展开：
因此：
要使极限成立：
需满足分子分母最低阶项次数相同且系数相等，故：
此时分子为：
分母为：
因此：
3
使不等式 成立的 的范围是
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正确答案：A
正确答案：A原问题可转化为求函数 的取值范围：
由于 （因为 且 对所有 成立），当 时，积分上限 ，此时被积函数 ，因此积分值为正，即 。
综上，正确答案为 (A)。
4
设函数 在区间 上的图形为（图形描述略），则函数 的图形为
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正确答案：D
正确答案：D由定积分的几何意义， 表示 从 0 到 与 轴围成的面积代数和。分析各区间特征：
① 当 时， ，故 单调递减且 。
② 当 时， ，故 单调递增。
③ 当 时， ，故 为常函数。
④ 当 时， 为线性函数且 ，故 为线性递增函数（因积分是累加负面积，斜率为负但 从 -1 到 0 时积分值增大）。
⑤ 连续。
结合选项，(D) 符合上述特征。
5
设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵
的伴随矩阵为
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正确答案：B
正确答案：B对于分块矩阵 ，其行列式为：
伴随矩阵 满足 ，而根据分块矩阵逆的性质：
又因为：
所以：
因此，正确答案为 (B)。
6
设 为 3 阶矩阵， 。若 ， ，则 为
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正确答案：A
正确答案：A由 ，记 ，则：
代入 ，计算 ：
进一步计算：
故选 (A)。
7
设事件 与事件 互不相容，则
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正确答案：D
正确答案：D因为 互不相容，所以 。
(A)
。
但
不一定为1，故(A)错误。
(B)
当
不为0时，独立事件满足
。
但互不相容事件未必独立，故(B)错误。
(C)
仅当
为对立事件时，
。
但互不相容未必对立，故(C)错误。
(D)
，
故(D)正确。
8
设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为 。记 为随机变量 的分布函数，则函数 的间断点个数为
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正确答案：B
正确答案：B由全概率公式，
其中 为标准正态分布函数。
当 时， ，故
当 时， ，故
在 处，左极限为
右极限为
左右极限存在但不相等，故 为唯一间断点，选(B)。
填空题
9
（填空题）
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【答案】
【解析】 计算过程如下：
10
（填空题）设 ，则
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【答案】
【解析】 由 ，故 。
代入 得，
11
（填空题）幂级数 的收敛半径为
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【答案】
【解析】 数列 对所有 均为正。
考虑相邻项的比值：
简化表达式：
因此，该幂级数的收敛半径为 。
12
（填空题）设某产品的需求函数为 ，其对应价格 的弹性 ，则当需求量为 件时，价格增加 元会使产品收益增加
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【答案】 8000
【解析】 所求即为 ，因为 ，所以 。
因此：
将 代入得：
13
（填空题）设 ， ，若 的特征值为 ，则 ______
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【答案】 2
【解析】 的特征值为 3, 0, 0，而 为矩阵 的对角元素之和，即：
因此：
14
（填空题）设 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别为样本均值和样本方差，记统计量 ，则 __________
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【答案】
【解析】 由
解答题
15
（本题满分9分）
求二元函数 的极值。
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【答案】 函数在点 处取得极小值 。
【解析】
偏导数为：
由此得到临界点：
二阶偏导数为：
在临界点 处取值：
由于：
函数在 处取得局部极小值。
16
（本题满分10分）
计算不定积分
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【答案】
【解析】 令 ，可得：
原积分变换为：
分部积分后得到：
进一步分解积分项：
计算得：
因此，原积分为：
代回变量 得最终结果：
17
（本题满分10分）
计算二重积分
其中积分区域
定义为
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【答案】
【解析】
则 (D) 的极坐标表示是
于是
18
（本题满分11分）
(I)
证明拉格朗日中值定理：
若函数
在
上连续，在
上可导，则
，使得
(II)
证明：
若函数
在
处连续，在
（
）内可导，且
则
存在，且
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【答案】 见解析
【解析】
(I) 作辅助函数
易验证 满足：
- 在闭区间 上连续
- 在开区间 内可导，且
根据罗尔定理，可得在 内至少有一点 ，使 ，即
(II) 任取 ，则函数 满足：
- 在闭区间 上连续
- 在开区间 内可导
从而由拉格朗日中值定理可得：存在 ，使得
又由于 ，对上式（ 式）两边取 时的极限可得：
故 存在，且 。
19
（满分 10 分）
设曲线 ，其中 是可导函数，且 。已知曲线 与直线 、 及 （ ）所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 倍。求该曲线的方程。
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【答案】
【解析】 旋转体的体积为
曲边梯形的面积为
由题可知
两边对 求导可得
继续求导可得
化简后（过程略），最终曲线方程为
20
（本题满分 11 分）
(I)
求满足
，
的所有向量
、
，其中
(II)
对 (I) 中的任意向量 、 ，证明 、 、 线性无关。
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【答案】
(I)
，其中
为任意常数。
，其中
为任意常数。
(II) 见解析。
【解析】
(I) 解方程
。
已知 ，故有一个自由变量。令 ，由 解得 ， 。
求特解时，令 ，得 。因此，
其中 为任意常数。
解方程 ，首先计算 ：
增广矩阵为：
有两个自由变量。令 ， ，由 得 ；令 ， ，得 。
求得特解 ，因此，
其中 为任意常数。
(II) 证明线性无关性：
计算行列式：
故 ， ， 线性无关。
21
（本题满分 11 分）
设二次型
(I) 求二次型 的矩阵的所有特征值。
(II) 若二次型 的规范形为 ，求 的值。
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【答案】
(I)
,
,
(II)
【解析】
(I) 二次型矩阵为
其特征多项式为
因此，特征值为
(II) 规范形为 ，说明有两个正特征值，一个零特征值。
若 ，则 ， ，不符合条件。
若 ，即 ，则 ， ，符合条件。
若 ，即 ，则 ， ，不符合条件。
综上， 。
22
（本题满分 11 分）
设二维随机变量 的概率密度为
(I) 求条件概率密度 。
(II) 求条件概率 。
查看答案与解析
【答案】
(I) 条件概率密度
(II) 条件概率
【解析】
(I) 由
得边缘密度
故条件概率密度
(II) 计算条件概率
先求联合概率
边缘密度
计算
最终结果
23
（本题满分 11 分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回地从袋中取两次，每次取一个。以 、 、 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。
(I) 求 ；
(II) 求二维随机变量 的概率分布。
查看答案与解析
【答案】
(I)
(II) 二维随机变量
的概率分布为：
【解析】
(I) 在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有 1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球：
(II) 和 的取值范围为 0, 1, 2，因此联合概率分布为：
联合概率分布表：