选择题
1
若
limx→0(ex+ax2+bx)x21=1
，则
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正确答案：B
正确答案：B1=x→0lim(ex+ax2+bx)x21=elimx→0x2ln(ex+ax2+bx)=elimx→02x(ex+ax2+bx)ex+2ax+b=elimx→02xex+2ax+b⇒x→0lim2xex+2ax+b=0⇒⎩⎨⎧x→02xex+2ax+b=0⇒{x→0a=−21
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2
下列函数在
x=0
处不可导的是
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正确答案：D
正确答案：DA
可导：
f−′(0)=limx→0−x∣x∣sin(∣x∣)=limx→0−xx⋅sinx=0
，
f+′(0)=limx→0+x∣x∣sin(∣x∣)=limx→0+xx⋅sinx=0
。
B
可导：
f−′(0)=limx→0−x∣x∣sin∣x∣=limx→0−x−x⋅sin−x=0
，
f+′(0)=limx→0+x∣x∣sin∣x∣=limx→0+xx⋅sinx=0
。
C
可导：
f−′(0)=limx→0−xcos∣x∣−1=limx→0−x−21x2=0
，
f+′(0)=limx→0+xcos∣x∣−1=limx→0+x−21x2=0
。
D
不可导：
f−′(0)=limx→0−xcos∣x∣−1=limx→0−x−21(−x)=21
，
f+′(0)=limx→0+xcos∣x∣−1=limx→0+x−21x=−21
。
f+′(0)=f−′(0)
。
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3
设
f(x)={−1,1,x<0x≥0
，
g(x)=⎩⎨⎧2+ax,x,x−b,x≤−1−1<x<0x≥0
，
若
f(x)+g(x)
在
R
上连续，则
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正确答案：D
正确答案：D当
x→0−
时，有：
x→0−lim[f(x)+g(x)]=x→0−limf(x)+x→0−limg(x)=−1+0=−1
当
x→0+
时，有：
x→0+lim[f(x)+g(x)]=x→0+limf(x)+x→0+limg(x)=1+(0−b)=1−b
由左右极限相等得：
−1=1−b⇒b=2
当
x→−1−
时，有：
x→−1−lim[f(x)+g(x)]=x→−1−limf(x)+x→−1−limg(x)=−1+[2+a×(−1)]=1−a
当
x→−1+
时，有：
x→−1+lim[f(x)+g(x)]=x→−1+limf(x)+x→−1+limg(x)=−1+(−1)=−2
由左右极限相等得：
−2=1−a⇒a=−3
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4
设函数
f(x)
在
[0,1]
上二阶可导，且
∫01f(x)dx=0
，则
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正确答案：D
正确答案：DB 错误：取函数
f(x)=−x2+31
，则有
∫01f(x)dx=∫01(−x2+31)dx=0,
同时
f′′(x)=−2<0
，而
f(21)=−41+31=121>0.
C 错误：取函数
f(x)=x−21
，则有
∫01f(x)dx=∫01(x−21)dx=0,
同时
f′(x)=1>0
，而
f(21)=0.
D 正确：（解析过程结合凸函数性质，当
f′′(x)>0
时函数下凸，由积分值为
0
可推导出中点函数值小于
0
，具体过程略）
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5
设
M=∫−2π2π1+x2(1+x)2dx
，
N=∫−2π2πex1+xdx
，
K=∫−2π2π(1+cosx)dx
，则
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正确答案：C
正确答案：CM=∫−2π2π(1+1+x22x)dx=∫−2π2π1dx
（奇函数部分积分为
0
），故
M=π
。
当
x∈[−2π,2π]
时，
1+cosx≥1
，所以
K=∫−2π2π(1+cosx)dx>∫−2π2π1dx=M 令
f(x)=ex1+x
，则
f(x)=(1+x)e−x
，
f′(x)=−xe−x
。
在
[0,2π]
上
f′(x)≤0
，在
[−2π,0]
上
f′(x)≥0
，且
f(x)
为偶函数，
f(x)≤f(0)=1
，故
N=∫−2π2πf(x)dx<∫−2π2π1dx=M
综上，
K>M>N
。
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6
∫−10dx∫−x2−x2(1−xy)dy+∫01dx∫x2−x2(1−xy)dy=
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正确答案：A
正确答案：A【解析】从原积分的两个积分区域可以看出，这是两个关于
y
轴对称的区域。
设
D={(x,y)∣−1≤x≤1,∣x∣≤y≤2−x2}
，则原式
=∬D(1−xy)dxdy
，而
xy
是关于
x
的奇函数，因此
∬D(1−xy)dxdy=∬Ddxdy=2∫01dx∫x2−x2dy=2∫01(2−x2−x)dx=37
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7
设矩阵
J
是三阶 Jordan 矩阵，若矩阵
Q
与
J
相似，则
r(E−Q)=
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正确答案：A
正确答案：A若矩阵
Q
与
J
相似，则矩阵
E−Q
与
E−J
相似，从而
r(E−Q)=r(E−J)
。
计算各选项中
E−矩阵
的秩：
根据相似矩阵秩相等及题目条件，故选 A。
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8
设
A
，
B
为
n
阶矩阵，记
r(X)
为矩阵
X
的秩，
(X,Y)
表示分块矩阵，则
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正确答案：A
正确答案：A因为
r(E,B)=n
（
E
为单位矩阵），所以
r(A,AB)=r[A(E,B)]=r(A),
故选 A。
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填空题
9
（填空题）
limx→+∞x2[arctan(x+1)−arctanx]=
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【答案】 1
【解析】 当
x→+∞
时，利用拉格朗日中值定理，存在
ε∈(x,x+1)
，使得
arctan(x+1)−arctanx=1+ε21.
于是，
x→+∞limx2⋅1+ε21=1.
10
（填空题）曲线
y=x2+2lnx
过拐点处的切线方程为 ______。
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【答案】
y=4x−3
【解析】 曲线
y=x2+2lnx
的定义域为
{x∣x>0}
。
其一阶导数为
y′=2x+x2
，二阶导数为
y′′=2−x22
。
令
y′′=0
，解得
x0=±1
。由于
x>0
，故取
x0=1
，此时拐点为
(1,1)
。
在
x0=1
处，
y′(x0)=4
，则过拐点
(1,1)
的切线方程为
y−1=4(x−1)
，即
y=4x−3
。
11
（填空题）
∫5+∞x2−4x+31dx=
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【答案】
21ln2
【解析】 首先，将原式拆分为部分分式：
∫5+∞x2−4x+31dx=∫5+∞(x−3)(x−1)1dx
=∫5+∞21(x−31−x−11)dx
然后逐项积分：
计算上限：
x→+∞limlnx−1x−3=ln1=0
计算下限：
21lnx−1x−3x=5=21ln42=21ln21 因此：
∫5+∞x2−4x+31dx=0−(−21ln2)=21ln2
最终结果为：
21ln2
12
（填空题）曲线
{x=cos3t,y=sin3t
在
t=4π
处的曲率为（ ）。
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【答案】
32
【解析】
首先求一阶导数：
y′=dxdy=dtdxdtdy=−3cos2tsint3sin2tcost=−tant,
则
y′∣t=4π=−1.
再求二阶导数：
y′′=dxd(y′)=dtdxdtd(y′)=−3cos2tsint−sec2t=3cos4tsint1,
代入
t=4π
得：
y′′∣t=4π=3(22)4⋅221=3×164×221=342. 曲率为：
k=(1+y′2)23∣y′′∣=(1+1)23342=22342=32. 13
（填空题）设
z=z(x,y)
由方程
lnz+ez−1=xy
确定，则
∂x∂z(2,21)=
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【答案】
41
【解析】 令
F(x,y,z)=lnz+ez−1−xy
，则
∂x∂F=−y,∂z∂F=z1+ez−1.
当
x=2
，
y=21
时，代入方程可得
lnz+ez−1=2×21=1,
解得
z=1
。
因此，
∂x∂z=−∂z∂F∂x∂F=−z1+ez−1−y=z1+ez−1y
将
z=1
，
y=21
代入得
11+e021=1+121=41
14
（填空题）设
A
为
3
阶矩阵，
α1,α2,α3
为线性无关的向量组。若
Aα1=2α1+α2+α3
，
Aα2=α2+2α3
，
Aα3=−α2+α3
，则
A
的实特征值为（ ）。
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【答案】 2
【解析】
(Aα1,Aα2,Aα3)=A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)2110120−11 由于
α1,α2,α3
线性无关，因此
P=(α1,α2,α3)
可逆。
于是有：
因此
A
与
B
相似，特征值相等。
计算特征多项式：
∣λE−B∣=(λ−2)(λ2−2λ+3)=0
解得实特征值
λ=2
。
解答题
15
（本题满分
10
分）求不定积分
∫arctanex−1dx
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【答案】
21(e2xarctanex−1−31(ex−1)23−ex−1)+C
【解析】
原式=21∫arctanex−1de2x=21(e2xarctanex−1−∫e2x⋅1+ex−11⋅2ex−1exdx)=21(e2xarctanex−1−∫2ex−1e2xdx)=21(e2xarctanex−1−∫2ex−1exdex)=21(e2xarctanex−1−31(ex−1)23−ex−1)+C 对于
∫2ex−1exdex
，令
ex−1=t
，则
ex=t2+1
，
x=ln(t2+1)
。
∫2ex−1exdex=∫2t(t2+1)2⋅t2+12tdt=∫(t2+1)dt=31t3+t+C=31(ex−1)23+ex−1+C 16
（本题满分 10 分）已知连续函数
f(x)
满足
∫0xf(t)dt+∫0xtf(x−t)dt=ax2.
(I) 求
f(x)
；
(II) 若
f(x)
在区间
[0,1]
上的平均值为
1
，求
a
的值。
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【答案】
(I)
f(x)=e−x(2aex−2a)
(II)
a=2e
【解析】
（I）
考虑积分
∫0xtf(x−t)dt
，令
x−t=u
，则
dt=−du
，当
t=0
时
u=x
，当
t=x
时
u=0
，于是
∫0xtf(x−t)dt=∫x0(x−u)f(u)(−du)=∫0x(x−u)f(u)du=x∫0xf(u)du−∫0xuf(u)du.
原等式为
∫0xf(t)dt+x∫0xf(u)du−∫0xuf(u)du=ax2.
两边对
x
求导得
f(x)+∫0xf(u)du=2ax.
再求导得
f′(x)+f(x)=2a,
解得
f(x)=e−x(2aex+C).
当
x=0
时，
f(0)=0
，代入得
C=−2a
，综上
f(x)=e−x(2aex−2a).
（II）
由
∫01f(x)dx=1
，得
∫01e−x(2aex−2a)dx=1.
计算积分：
∫012adx−∫012ae−xdx=2a−2a(1−e−1)=2ae−1.
于是
2ae−1=1⇒a=2e.
17
（本题满分 10 分）
令
x=t−sint(0≤t≤2π)
，求
∬D(x+2y)dxdy
查看答案与解析
【答案】
3π2+5π
【解析】
∬D(x+2y)dxdy=∫02πdx∫0y(x)(x+2y)dy=∫02π[(xy+y2)0y(x)]dx=∫02π[xy(x)+(y(x))2]dx 令
x=t−sint
，则
y(x)=1−cost
。
=∫02π[(t−sint)(1−cost)2+(1−cost)3]dt=3π2+5π
18
（本题满分
10
分）已知常数
k≥ln2−1
，证明：
(x−1)(x−ln2x+2klnx−1)≥0
查看答案与解析
【答案】 见解析
【解析】 当
0<x<2
时，
g′(x)<0
；
当
x>2
时，
g′(x)>0
。
故
g(x)
在
x=2
处取最小值
g(2)=2−2ln2+2k≥2−2ln2+2(ln2−1)=0,
从而
f′(x)≥0
，
f(x)
单调递增，
f(x)≥f(1)=0,
得证。
19
（本题满分
10
分）
将长为
2m
的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
查看答案与解析
【答案】 最小值为
π+4+331
【解析】
设圆半径为
x
，正方形边长为
y
，正三角形边长为
z
，则约束条件为：
2πx+4y+3z=2(x,y,z≥0)
目标函数为面积之和：
构造拉格朗日函数：
L(x,y,z,λ)=πx2+y2+43z2+λ(2πx+4y+3z−2) 求偏导并令其为零：
⎩⎨⎧∂x∂L=2πx+2πλ=0∂y∂L=2y+4λ=0∂z∂L=23z+3λ=02πx+4y+3z=2 解得驻点：
x=π+4+331,y=π+4+332,z=π+4+3323 代入计算最小值：
Smin=π(π+4+331)2+(π+4+332)2+43(π+4+3323)2=π+4+331 故存在最小值，最小值为
π+4+331
。
20
（本题满分 10 分）已知曲线
L:y=94x2(x≥0)
，点
O(0,0)
，点
A(0,1)
，设
P
是
L
上的动点，
S
是直线
OA
与直线
AP
及曲线
L
所围成图形的面积。若
P
运动到点
(3,4)
时沿
x
轴正向的速度是
4
，求此时
S
关于时间
t
的变化率。
查看答案与解析
【答案】 10
【解析】 不妨设点
P(a,94a2),a=0,a=a(t)
, 则直线
AP
的方程为
y=(94a−a1)x+1,
故
S=∫0a∫94x2(94a−a1)x+1dydx=∫0a[(94a−a1)x+1−94x2]dx
=(94a−a1)2a2+a−94×3a3
=92a3−2a+a−274a3=272a3+2a,
当
P
在点
(0,0)
处，显然
S=0
。
综上，
S=272a3+2a
。
由题
dtda(t)(3,4)=4
，故
dtdS(3,4)=(272⋅3a2+21)dtda(t)(3,4)=(92×9+21)×4=10
。
21
（本题满分 11 分）
设数列
{xn}
满足：
x1>0
，
xnexn+1=exn−1(n=1,2,⋯)
，证明
{xn}
收敛，并求
n→∞limxn
。
查看答案与解析
【答案】 0
【解析】
(1) 由
xnexn+1=exn−1
，有
exn+1=xnexn−1⇒xn+1=lnxnexn−1.
则
x2=lnx1ex1−1.
设
f(x)=ex−1−x
，
∵f′(x)=ex−1>0(x>0),
且
f(0)=0
，
∴f(x) f(x)>0,
即
ex−1>x(x>0)
。
因此
x1ex1−1
在
x1
时大于 1，而
x2=lnx1ex1−1>0.
用数学归纳法可证：对
∀n
，
xn>0
。
考虑
xn+1−xn=lnxnexn−1−xn=lnxnexn−1−lnexn=lnxnexnexn−1.
设
g(x)=ex−1−xex
，
∵g′(x)=−xex,
显然当
x>0
时，
g′(x)<0
，则
g(x)
单调递减。
又
∵g(0)=0
，
∴g(x)<g(0)=0,∴ex−1<xex⇒xexex−1<1.
因此
xn+1−xn=lnxnexnexn−1<0,n=1,2,3,⋯,
故
{xn}
单调递减。
综上，
{xn}
单调递减且存在下界，
∴n→∞limxn
存在。
(2) 设
n→∞limxn=a
，由原式得
aea=ea−1,
解得
a=0
。
22
（本题满分 11 分）设实二次型
f(x1,x2,x3)=(x1−x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2
，其中
a
是参数。
(1) 求
f(x1,x2,x3)=0
的解；
(2) 求
f(x1,x2,x3)
的规范形。
查看答案与解析
【答案】
(1) 当
a=2
时，解为
x1=x2=x3=0
；当
a=2
时，解为
x=k21−1
，其中
k∈R
。
(2) 当
a=2
时，规范形为
y12+y22+y32
；当
a=2
时，规范形为
y12+y22
。
【解析】
(1) 由
f(x1,x2,x3)=0
得方程组：
⎩⎨⎧x1−x2+x3=0x2+x3=0x1+ax3=0 系数矩阵为
A=101−11011a→100−11011a−2. 当
a=2
时，
r(A)=3
，唯一解为
x1=x2=x3=0
。
当
a=2
时，
r(A)=2
，通解为
x=k21−1
，其中
k∈R
。
(2) - 当
a=2
时，二次型正定，规范形为
y12+y22+y32
。
特征值为
λ1=0
，
λ2,3=5±7
，规范形为
y12+y22
。
23
（本题满分
11
分）
已知矩阵
A=112237a0−a,B=10−1a11211. （1）求
a
使得存在可逆矩阵
P
满足
AP=B
；
（2）求所有满足
AP=B
的可逆矩阵
P
。
查看答案与解析
【答案】
(1)
a=2
(2) 所有满足
AP=B
的可逆矩阵
P
为
P=−6k1+32k1−1k1−6k2+42k2−1k2−6k3+42k3−1k3, 其中
k2=k3
，且
k1,k2,k3∈R
.
【解析】
(1) 矩阵
A
经过初等列变换得到矩阵
B
，矩阵
A
、
B
等价，故
r(A)=r(B)
。
矩阵
A=112237a0−a→110230a00, 矩阵
B=10−1a11211→100a10212−a. 所以
2−a=0
，解得
a=2
。
(2) 对
(A,B)=112237a0−a10−1a11211 进行初等行变换。
当
a=2
时，
(A,B)→1000106−203−104−104−10. 可得
P
的列向量表达式为
X=−6k1+32k1−1k1,Y=−6k2+42k2−1k2,Z=−6k3+42k3−1k3, 其中
k1,k2,k3∈R
。
因为
P
可逆，所以其列向量线性无关。由
P
的行列式可知需
k2=k3
，
故所有满足条件的可逆矩阵为
P=−6k1+32k1−1k1−6k2+42k2−1k2−6k3+42k3−1k3, 其中
k2=k3
，且
k1,k2,k3∈R
。