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2008 年真题

23 题

选择题

1

设函数 $f (x) = x^{2} (x - 1) (x - 2)$ ，求 $f^{'} (x)$ 的零点个数为

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正确答案：D

正确答案：D

命题目的
考查求导的运算能力。

详细解答
函数 $f (x) = 2 x (x - 1) (x - 2) + x^{2} (x - 2) + x^{2} (x - 1)$ 。
整理得 $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 x$ 。
求导得 $f^{'} (x) = 12 x^{2} - 18 x + 4$ 。
令 $f^{'} (x) = 0$ ，即解方程 $12 x^{2} - 18 x + 4 = 0$ 。
判别式 $Δ = (- 18)^{2} - 4 \times 12 \times 4 = 324 - 192 = 132 > 0$ ，
故该方程有两个不同实根，因此 $f^{'} (x)$ 的零点个数为 2。

易错辨析
对于二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，当 $b^{2} - 4 a c > 0$ 时，方程有两个不同实根。

延伸拓展
n 次方程在复数范围内有 n 个根（包括重根）。

2

如图，曲线段的方程为 $y = f (x)$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[0, a]$ 上有连续的导数，则定积分 $\int_{0}^{a} x f^{'} (x) d x$ 等于（）

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正确答案：C

正确答案：C

命题目的
考查定积分的分部积分法及定积分的几何意义。

详细解答

\int_{0}^{a} x f^{'} (x) d x = \int_{0}^{a} x df (x) = a f (a) - \int_{0}^{a} f (x) d x

其中 $a f (a)$ 表示矩形面积， $\int_{0}^{a} f (x) d x$ 表示曲边梯形的面积，因此 $\int_{0}^{a} x f^{'} (x) d x$ 表示曲边三角形的面积。

易错辨析
若 $f (x) \leq 0$ ，则曲边梯形的面积为：

- \int_{0}^{a} f (x) d x

延伸拓展
必须熟练掌握定积分的分部积分法及变量替换法。

3

在下列微分方程中，以 $y = C_{1} e^{x} + C_{2} cos 2 x + C_{3} sin 2 x$ （ $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 、 $C_{3}$ 为任意常数）为通解的是（　）

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正确答案：D

正确答案：D

【命题目的】
考查高阶齐次常系数微分方程的解法。

【详细解答】
由 $y = C_{1} e^{x} + C_{2} cos 2 x + C_{3} sin 2 x$ 可知其特征根为

λ_{1} = 1, λ_{2, 3} = \pm 2 i

特征方程为：

(λ - 1) (λ + 2 i) (λ - 2 i) = (λ - 1) (λ^{2} + 4)

即

λ^{3} - λ^{2} + 4 λ - 4 = 0

所以所求微分方程为：

y^{'''} - y^{''} + 4 y^{'} - 4 y = 0

故选 (D)。

【易错辨析】
$C_{2} cos 2 x + C_{3} sin 2 x$ 对应的特征方程为

(λ + 2 i) (λ - 2 i) = λ^{2} + 4

【延伸拓展】
高阶齐次常系数微分方程的解法见同济大学《高等数学》第五版下册。

4

设函数 $f (x) = \frac{l n ∣ x ∣}{∣ x - 1∣} sin x$ ，则 $f (x)$ 有（

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正确答案：A

正确答案：A

命题目的
考查函数间断点及其类型。

详细解答
函数 $f (x)$ 的间断点为 $x = 0$ 和 $x = 1$ 。
计算极限得：

x \to 0^{+} lim f (x) = 0

因此 $x = 0$ 是可去间断点。
又：

x \to 1^{+} lim f (x) = sin 1, x \to 1^{-} lim f (x) = - sin 1

左右极限存在但不相等，因此 $x = 1$ 是跳跃间断点。
故应选 (A)。

延伸拓展
在点 $x$ 处可导一定连续，但连续不一定可导。

5

设函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内单调有界， ${x_{n}}$ 为数列，下列命题正确的是（　　）

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正确答案：B

正确答案：B

命题目的
考查定理：单调有界数列一定有极限。

详细解答
若 $x_{n}$ 单调，则由 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内单调有界，可知 $f (x_{n})$ 单调有界，因此 $f (x_{n})$ 收敛，故应选 (B)。

延伸拓展
“单调有界数列一定有极限”具体表述为：

单增有上界数列一定有极限；
单减有下界数列一定有极限。

6

设函数 $F (u, v) = \iint_{D_{uv}} \frac{f ( x ^{2} + y ^{2} )}{x ^{2} + y ^{2}} d x d y$ ，其中区域 $D_{uv}$ 为如图中阴影部分，则 $\frac{\partial F}{\partial u} = ()$ 。

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正确答案：A

正确答案：A

[命题目的]考查二重积分的极坐标变换及求偏导数和对定积分上限变量求导。

[详细解答]用极坐标得

F (u, v) = \int_{0}^{v} d θ \int_{1}^{u} \frac{f ( r ^{2} )}{r} \cdot r d r = v \int_{1}^{u} f (r^{2}) d r,

因此

\frac{\partial F}{\partial u} = v f (u^{2}) .

7

设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $A^{3} = O$ ，则（）

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正确答案：C

正确答案：C

命题目的
考查逆矩阵的概念。

详细解答
方法一
由已知 $A^{3} = 0$ ，可得

(E - A) (E + A + A^{2}) = E - A^{3} = E,

(E + A) (E - A + A^{2}) = E + A^{3} = E .

因此 $E - A$ 与 $E + A$ 均可逆。

方法二
设 $A$ 的特征值为 $λ$ ，由 $A^{3} = 0$ 可得 $λ^{3} = 0$ ，从而 $λ = 0$ 。
于是 $E - A$ 与 $E + A$ 的特征值均为 1，因此

∣ E - A ∣ = 1, ∣ E + A ∣ = 1,

故 $E - A$ 与 $E + A$ 均可逆。

易错辨析
由 $A^{3} = 0$ 不能推出 $A = 0$ 。

延伸拓展

矩阵 $A$ 可逆的充要条件：

存在矩阵 $B$ 满足 $A B = B A = E$ ；
存在矩阵 $B$ 满足 $A B = E$ 或 $B A = E$ ；
$∣ A ∣ \neq = 0$ ；
$A$ 的所有特征值不等于 0；
$r (A) = n$ 。

设 $A$ 的特征值为 $λ$ ，则多项式 $P_{n} (A)$ 的特征值为 $P_{n} (λ)$ 。

8

设 $A = (1221)$ ，则在实数域上与 $A$ 合同的矩阵为（）

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正确答案：D

正确答案：D

【命题目的】考查两个矩阵合同的概念。

【详细解答】

方法一：计算特征值。

∣ λ E - A ∣ = λ - 1 - 2 - 2 λ - 1 = (λ - 1)^{2} - 4 = λ^{2} - 2 λ - 3 = (λ + 1) (λ - 3) = 0

因此 $λ_{1} = - 1$ ， $λ_{2} = 3$ 。

记 $D = (1 - 2 - 2 1)$ ，则

∣ λ E - D ∣ = λ - 1 2 2 λ - 1 = (λ - 1)^{2} - 4 = λ^{2} - 2 λ - 3 = (λ + 1) (λ - 3) = 0

因此 $λ_{1} = - 1$ ， $λ_{2} = 3$ 。

方法二：利用行列式与特征值的关系。

∣ A ∣ = 1221 = - 3 = λ_{1} λ_{2}

说明 $A$ 的特征值一正一负。

对于 $D$ ：

∣ D ∣ = 1 - 2 - 2 1 = - 3

说明 $D$ 的特征值也为一正一负。 $A$ 与 $D$ 的正负惯性指数相同，因此应选 (D)。

【易错辨析】方法二仅适用于本题（读者可自行思考原因）。

【延伸拓展】两个矩阵的等价、相似、合同概念存在不同之处。

填空题

9

（填空题）已知函数 $f (x)$ 连续，且

x \to 0 lim \frac{1 - cos [ x f ( x ) ]}{( e ^{x^{2}} - 1 ) f ( x )} = 1,

则 $f (0) =$

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【答案】 2

【解析】 本题旨在考查 $\frac{0}{0}$ 型未定式的极限计算。

已知极限

x \to 0 lim \frac{\frac{1}{2} x ^{2} f ^{2} ( x )}{x ^{2} f ( x )} = 1

化简可得

x \to 0 lim \frac{\frac{1}{2} f ^{2} ( x )}{f ( x )} = 1

由于 $f (x)$ 在 $x \to 0$ 时非零，可约去 $f (x)$ ，得

x \to 0 lim \frac{1}{2} f (x) = 1

因此

\frac{1}{2} f (0) = 1

解得

f (0) = 2

易错辨析：在极限运算中，对于加减项不能随意使用等价无穷小代换，否则可能导致结果错误。

10

（填空题）微分方程 $(y + x^{2} e^{- x}) d x - x d y = 0$ 的通解是 $y =$

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【答案】 $y = - x e^{- x} + C x$

【解析】 ## 题目（填空题）微分方程 $(y + x^{2} e^{- x}) d x - x d y = 0$ 的通解是 $y =$

解析

命题目的考查求解一阶线性微分方程。

详细解答将方程整理为
$y^{'} - \frac{y}{x} = x e^{- x}$ ，
其中 $P = - \frac{1}{x}$ ， $Q = x e^{- x}$ 。

利用一阶线性微分方程通解公式：

y = e^{\int \frac{1}{x} d x} (\int x e^{- x} e^{\int \frac{1}{x} d x} d x + C) = x (\int e^{- x} d x + C) = - x e^{- x} + C x

延伸拓展：

也可用常数变易法求解一阶线性微分方程；
一阶线性微分方程通解 = 齐次方程通解 + 非齐次方程特解。

11

（填空题）曲线 $sin (x y) + ln (y - x) = x$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程是

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【答案】 $y = x + 1$

【解析】 命题目的：考查隐函数求导及导数的几何意义。

详细解答

方法一：设

F (x, y) = sin (x y) + ln (y - x) - x,

计算

k = - \frac{F _{x}}{F _{y}} = - \frac{y cos ( x y ) + \frac{- 1}{y - x} - 1}{x cos ( x y ) + \frac{1}{y - x}} .

代入 $x = 0$ ， $y = 1$ ，得 $k = 1$ ，切线方程为 $y = x + 1$ 。

方法二：方程两边对 $x$ 求导，

cos (x y) \cdot (y + x y^{'}) + \frac{y ^{'} - 1}{y - x} = 1,

令 $x = 0$ ， $y = 1$ ，得 $k = y^{'} (0) = 1$ ，切线方程为 $y = x + 1$ 。

易错辨析： $sin (x y)$ 对 $x$ 求导时， $y$ 是中间变量。计算时不必求出 $y^{'}$ 的表达式，直接代入 $x = 0$ ， $y = 1$ 即可得出 $k = 1$ 。

延伸拓展：只要不对自变量 $x$ 求导，都要按照复合函数求导。

12

（填空题）曲线 $y = (x - 5) x^{\frac{2}{3}}$ 的拐点坐标为 ______

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【答案】 $(- 1, - 6)$

【解析】 命题目的考查拐点的概念。

详细解答计算 $f^{'} (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 5) \cdot \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} = \frac{5}{3} (x - 2) x^{- \frac{1}{3}}$ ，再求二阶导数 $f^{''} (x) = \frac{10}{9} x^{- \frac{4}{3}} (x + 1)$ ，令其为零得 $x = - 1$ 。

当 $x = - 1$ 时， $f^{''} (x)$ 左右两边符号改变，故拐点坐标为 $(- 1, - 6)$ 。

当 $x = 0$ 时，二阶导数不存在，且 $f^{''} (x)$ 左右两边符号不变，故 $(0, 0)$ 不是拐点。

易错辨析

如果在 $(0, 0)$ 两侧 $f^{''} (x)$ 符号改变，则 $(0, 0)$ 也是拐点；
拐点应表示为 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 。

延伸拓展

如果在 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 两侧 $f^{''} (x)$ 符号改变，则 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 是拐点。

13

（填空题）设 $z = (\frac{y}{x})^{\frac{x}{y}}$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}_{(1, 2)} =$

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【答案】 $\frac{2}{2} (ln 2 - 1)$

【解析】 命题目的考查多元函数的复合函数求导。

详细解答

方法一：令 $u = \frac{y}{x}$ ， $v = \frac{x}{y}$ ，则 $z = u^{v}$ 。取对数后对 $x$ 求导，可得：

\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{y} ln \frac{y}{x} - \frac{1}{y}

代入点 $(1, 2)$ 得：

\frac{\partial z}{\partial x}_{(1, 2)} = \frac{2}{2} (ln 2 - 1)

方法二：直接取对数后对 $x$ 求导，代入 $(1, 2, 2)$ 得：

\frac{\partial z}{\partial x}_{(1, 2)} = \frac{2}{2} (ln 2 - 1)

易错辨析：方法二比方法一运算量小，不易出错。

延伸拓展：本题也可求全微分：

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y

14

（填空题）设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $2$ 、 $3$ 、 $λ$ 。若行列式 $∣2 A ∣ = - 48$ ，则 $λ =$

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【答案】 $λ = - 1$

【解析】 命题目的考查 $∣ A ∣ = λ_{1} λ_{2} \dots λ_{n}$ 与 $∣ k A ∣ = k^{n} ∣ A ∣$ 。

详细解答如下：由 $∣2 A ∣ = 2^{3} ∣ A ∣ = - 48$ ，得 $∣ A ∣ = - 6$ 。又因为 $∣ A ∣ = 2 \times 3 \times λ = - 6$ ，故 $λ = - 1$ 。

易错辨析：常见错误是误以为 $∣2 A ∣ = 2∣ A ∣ = - 48$ ，正确应为 $∣2 A ∣ = 2^{3} ∣ A ∣$ 。

延伸拓展：假设 $A$ 的特征值为 $λ$ ，则 $A$ 的多项式 $P_{n} (A)$ 的特征值为 $P_{n} (λ)$ 。

解答题

15

（本题满分 10 分）求极限

x \to 0 lim \frac{[ sin x - sin ( sin x )] sin x}{x ^{4}}

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【答案】 $\frac{1}{6}$

【解析】

x \to 0 lim \frac{[ sin x - sin ( sin x )] sin x}{x ^{4}} = x \to 0 lim \frac{sin x - sin ( sin x )}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{cos x - cos ( sin x ) \cdot cos x}{3 x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{cos x [ 1 - cos ( sin x )]}{3 x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{2} sin ^{2} x \cdot cos x}{3 x ^{2}} = \frac{1}{6} .

[命题目的] 考查 $\frac{0}{0}$ 型极限的计算。

[思路点拨] 先使用等价无穷小代换，然后使用洛必达法则。

[易错辨析] 对于加、减项不能使用等价无穷小代换。

[延伸拓展] “ $\frac{0}{0}$ ”、“ $1^{\infty}$ ”等其他不定型的极限的求法。

16

（本题满分 10 分）设函数 $y = y (x)$ 由参数方程

{x = x (t), y = \int_{0}^{t^{2}} ln (1 + u) d u

确定，其中 $x (t)$ 满足微分方程

\frac{d x}{d t} - 2 t e^{- x} = 0

且 $x ∣_{t = 0} = 0$ ，求 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 。

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【答案】 \[\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = (1 + t^{2})\left[\ln(1 + t^{2}) + 1\right] \]

【解析】
[详细解答]

已知 $e^{x} d x = 2 t d t$ ，积分得 $e^{x} = t^{2} + C$ 。由 $x ∣_{t = 0} = 0$ 得 $C = 1$ ，故 $x = ln (1 + t^{2})$ 。

\frac{d y}{d x} = \frac{y _{t}^{'}}{x _{t}^{'}} = \frac{2 t ln ( 1 + t ^{2} )}{\frac{2 t}{1 + t ^{2}}} = (1 + t^{2}) ln (1 + t^{2})

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{[ ( 1 + t ^{2} ) ln ( 1 + t ^{2} ) ] ^{'}}{x _{t}^{'}} = \frac{2 t ln ( 1 + t ^{2} ) + 2 t}{\frac{2 t}{1 + t ^{2}}} = (1 + t^{2}) [ln (1 + t^{2}) + 1]

[命题目的]
考查求微分方程特解和参数方程求导。

[思路点拨]

对 $x$ 和 $t$ ，为可分离变量方程；
求导过程中， $t$ 是中间变量。

[延伸拓展]
可用相同方法求三阶导数。

17

（本题满分 10 分）计算

\int_{0}^{1} \frac{x ^{2} arcsin x}{1 - x ^{2}} d x

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【答案】 $\frac{1}{4} + \frac{π ^{2}}{16}$

【解析】
命题目的
考查定积分的变量替换。

思路点拨
对含 $a^{2} - x^{2}$ 类型的积分，令 $x = a sin t$ 。

详细解答
令 $x = sin t$ ，则

\int_{0}^{1} \frac{x ^{2} arcsin x}{1 - x ^{2}} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{sin ^{2} t \cdot t}{cos t} cos t d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} t sin^{2} t d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} t d t - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} t cos 2 t d t = \frac{1}{4} + \frac{π ^{2}}{16}

易错辨析
定积分变量替换一定要改变上下限。

延伸拓展
对含 $a^{2} + x^{2}$ 类型的积分，令 $x = a tan t$ 。

18

（本题满分 10 分）
计算

\iint_{D} max {x y, 1} d x d y,

其中

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 2} .

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【答案】 $\frac{19}{4} + ln 2$

【解析】
曲线 $x y = 1$ 将区域分成三个区域 $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ ：

从而所求的积分

\iint_{D} max (x y, 1) d x d y = \iint_{D_{1}} x y d x d y + \iint_{D_{2}} 1 d x d y + \iint_{D_{3}} 1 d x d y = \int_{0}^{\frac{1}{2}} d x \int_{0}^{2} 1 d y + \int_{\frac{1}{2}}^{2} d x \int_{0}^{\frac{1}{x}} 1 d y \int_{\frac{1}{2}}^{2} d x \int_{\frac{1}{x}}^{2} x y d y = 1 + 2 ln 2 + \frac{15}{4} - ln 2 = \frac{19}{4} + ln 2.

19

（本题满分 10 分）设 $f (x)$ 是区间 $[0, + \infty)$ 上具有连续导数的单调增加函数，且 $f (0) = 1$ 。对任意的 $t \in [0, + \infty)$ ，直线 $x = 0$ ， $x = t$ ，曲线 $y = f (x)$ 以及 $x$ 轴所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周生成一旋转体。若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 $f (x)$ 的表达式。

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【答案】 $f (x) = cosh x$

【解析】 ## 解析旋转体的体积公式为：

V (t) = π \int_{0}^{t} [f (x)]^{2} d x

旋转体的侧面积公式为：

S (t) = 2 π \int_{0}^{t} f (x) 1 + [f^{'} (x)]^{2} d x

由题意可知 $S (t) = 2 V (t)$ ，即：

2 π \int_{0}^{t} f (x) 1 + [f^{'} (x)]^{2} d x = 2 π \int_{0}^{t} [f (x)]^{2} d x

两边对 $t$ 求导，得到：

f (t) 1 + [f^{'} (t)]^{2} = [f (t)]^{2}

化简得：

1 + [f^{'} (t)]^{2} = f (t)

两边平方得：

1 + [f^{'} (t)]^{2} = [f (t)]^{2}

整理得：

[f^{'} (t)]^{2} = [f (t)]^{2} - 1

由于 $f (x)$ 单调增加，因此：

f^{'} (t) = [f (t)]^{2} - 1

分离变量得：

\frac{df}{f ^{2} - 1} = d t

积分得：

ln (f + f^{2} - 1) = t + C

由初始条件 $f (0) = 1$ ，代入得 $C = 0$ ，因此：

ln (f + f^{2} - 1) = t

解得：

f (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = cosh x

[命题目的] 考查旋转体侧面积、体积计算及微分方程的综合应用。

[思路点拨] 由 $\frac{S ( t )}{V ( t )} = 2$ 对上限变量求导得到微分方程。

20

（本题满分 11 分）

(I) 证明积分中值定理：若函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则至少存在一点 $η \in [a, b]$ ，使得

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (η) (b - a)

(II) 若函数 $φ (x)$ 具有二阶导数，且满足 $φ (2) > φ (1)$ 及 $φ (2) > \int_{2}^{3} φ (x) d x$ ，则至少存在一点 $ξ \in (1, 3)$ ，使得

φ^{''} (ξ) < 0

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【答案】 见解析

【解析】 设 $M$ 及 $m$ 分别是函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最大值及最小值，则

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)

将不等式两边除以 $b - a$ ，得

m \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M

根据闭区间上连续函数的介值定理，在 $[a, b]$ 上至少存在一点 $η$ ，使得

f (η) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

即

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (η) (b - a)

由积分中值定理，存在 $c \in (2, 3)$ ，使得

\int_{2}^{3} φ (x) d x = φ (c)

由题设 $φ (2) > φ (1)$ 且 $φ (2) > φ (c)$ 。

对 $φ (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 和 $[2, c]$ 上分别应用拉格朗日中值定理，得

φ^{'} (ξ_{1}) = \frac{φ ( 2 ) - φ ( 1 )}{2 - 1} > 0, ξ_{1} \in (1, 2)

φ^{'} (ξ_{2}) = \frac{φ ( c ) - φ ( 2 )}{c - 2} < 0, ξ_{2} \in (2, c)

再对 $φ^{'} (x)$ 在区间 $[ξ_{1}, ξ_{2}]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在

ξ \in (ξ_{1}, ξ_{2}) \subset (1, 3)

使得

φ^{''} (ξ) = \frac{φ ^{'} ( ξ _{2} ) - φ ^{'} ( ξ _{1} )}{ξ _{2} - ξ _{1}} < 0

[命题目的] 考查积分中值定理证明及导数应用。

[思路点拨] 第一问的结果是解答第二问的关键。

[易错辨析] 连续函数的介值定理中 $η$ 在闭区间 $[a, b]$ 上。

[延伸拓展] 改进后的积分中值定理中 $ξ$ 可在开区间 $(a, b)$ 上。

21

（本题满分 11 分）求函数 $u = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 在约束条件 $z = x^{2} + y^{2}$ 和 $x + y + z = 4$ 下的最大值与最小值。

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【答案】 最大值 72，最小值 6

【解析】
命题目的
考查条件极值的拉格朗日乘数法。

思路点拨
求解具有两个约束条件的条件极值，方法与单一约束条件的情形相同。

详细解答
设

F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + λ_{1} (x^{2} + y^{2} - z) + λ_{2} (x + y + z - 4)

得到方程组

⎩ ⎨ ⎧ F_{x} = 0 F_{y} = 0 F_{z} = 0 x^{2} + y^{2} - z = 0 x + y + z - 4 = 0

即

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 2 x λ_{1} + λ_{2} = 0 2 y + 2 y λ_{1} + λ_{2} = 0 2 z - λ_{1} + λ_{2} = 0 x^{2} + y^{2} - z = 0 x + y + z - 4 = 0

解得

⎩ ⎨ ⎧ x = - 2 y = - 2 z = 8 或 ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 y = 1 z = 2

于是

U_{m a x} = (- 2)^{2} + (- 2)^{2} + 8^{2} = 72

U_{m i n} = 1^{2} + 1^{2} + 2^{2} = 6

易错辨析
求解方程组是最容易出错的地方，计算时应仔细。

延伸拓展
可进一步探讨具有更多约束条件的最值问题。

22

（本题满分 11 分）设 $n$ 元线性方程组 $A x = b$ ，其中

A = 2 a a^{2} 1 2 a a^{2} 1 2 a ⋱ 1 ⋱ a^{2} ⋱ 2 a a^{2} 1 2 a_{n \times n}, x = x_{1} x_{2} ⋮ x_{n}, b = 10 ⋮ 0

（I）证明行列式 $∣ A ∣ = (n + 1) a^{n}$

（II）当 $a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $x_{1}$

（III）当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。

查看答案与解析

【答案】
(I) 见解析
(II) 当 $a \neq = 0$ 时，方程组有唯一解，且 $x_{1} = \frac{n}{( n + 1 ) a}$
(III) 当 $a = 0$ 时，方程组有无穷多解，且通解为 $x = k 100 ⋮ 0 + 010 ⋮ 0$ ，其中 $k$ 为任意常数。

【解析】
命题目的
计算 n 阶三对角线行列式、求解非齐次方程组。

思路点拨
非齐次方程组的通解 = 齐次方程组的通解 + 非齐次方程组的特解。

详细解答

(I)

∣ A ∣ = 2 a a^{2} 1 2 a ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ a^{2} 1 2 a = (n + 1) a^{n} .

另一种方法（递推法）：

D_{n} = ∣ A ∣ = 2 a a^{2} 1 2 a a^{2} 1 2 a ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ a^{2} 1 2 a = 2 a D_{n - 1} - a^{2} D_{n - 2} .

直接计算得：
$D_{1} = 2 a = (1 + 1) a^{1}$ ，
$D_{2} = 3 a^{2} = (2 + 1) a^{2}$ ，
假设 $D_{n - 1} = n a^{n - 1}$ ，则

D_{n} = 2 a D_{n - 1} - a^{2} D_{n - 2} = 2 a \cdot n a^{n - 1} - a^{2} \cdot (n - 1) a^{n - 2} = (2 n - n + 1) a^{n} = (n + 1) a^{n} .

(II)
方程组有唯一解时，由 $A x = B$ 知 $∣ A ∣ \neq = 0$ ，又 $∣ A ∣ = (n + 1) a^{n}$ ，故 $a \neq = 0$ 。

记 $A = A_{n \times n}$ ，由克莱姆法则知，

x_{1} = \frac{∣ A _{1} ∣}{∣ A ∣},

其中 $A_{1}$ 是将 $A$ 的第一列替换为 $b$ 后的行列式。经计算可得

x_{1} = \frac{n a ^{n - 1}}{( n + 1 ) a ^{n}} = \frac{n}{( n + 1 ) a} .

(III)
方程组有无穷多解时， $∣ A ∣ = 0$ ，即 $a = 0$ 。此时

(A ∣ B) = 00 ⋮ 0 10 ⋮ 0 01 ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots 10 ⋮ 0 .

对应的齐次方程组 $A x = 0$ 的基础解系为

ξ = (1, 0, 0, \dots, 0)^{T},

非齐次方程组的一个特解为

η = (0, 1, 0, \dots, 0)^{T},

故通解为

x = k (1, 0, 0, \dots, 0)^{T} + (0, 1, 0, \dots, 0)^{T},

其中 $k$ 为任意常数。

易错辨析
用递推法计算 $∣ A ∣$ 的值比使用行列式性质计算，运算量要小得多。

23

（本题满分 11 分）设 $A$ 为 3 阶矩阵， $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 为 $A$ 的分别属于特征值 $- 1$ 、 $1$ 的特征向量，向量 $α_{3}$ 满足 $A α_{3} = α_{2} + α_{3}$ 。

(I) 证明 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 、 $α_{3}$ 线性无关；

(II) 令 $P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ ，求 $P^{- 1} A P$ 。

查看答案与解析

【答案】
(I) 见解析
(II) $- 1 00 010011$

【解析】
命题目的
考查向量的线性相关性。

思路点拨
使用线性相关和线性无关的定义进行证明。

详细解答

(I) 方法一
假设 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性相关。因为 $α_{1}, α_{2}$ 是不同特征值的特征向量，所以线性无关，则 $α_{3}$ 可由 $α_{1}, α_{2}$ 线性表出。不妨设 $α_{3} = l_{1} α_{1} + l_{2} α_{2}$ ，其中 $l_{1}, l_{2}$ 不全为零（若 $l_{1}, l_{2}$ 同时为 0，则 $α_{3} = 0$ ，由 $A α_{3} = α_{2} + α_{3}$ 可知 $α_{2} = 0$ ）。

由于 $A α_{1} = - α_{1}$ ， $A α_{2} = α_{2}$ ，可得

A α_{3} = α_{2} + α_{3} = α_{2} + l_{1} α_{1} + l_{2} α_{2},

又

A α_{3} = A (l_{1} α_{1} + l_{2} α_{2}) = - l_{1} α_{1} + l_{2} α_{2}, - l_{1} α_{1} + l_{2} α_{2} = α_{2} + l_{1} α_{1} + l_{2} α_{2}, 2 l_{1} α_{1} + α_{2} = 0 .

则 $α_{1}, α_{2}$ 线性相关，矛盾（因为 $α_{1}, α_{2}$ 分别属于不同特征值的特征向量，故线性无关）。所以 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性无关。

方法二
因为 $α_{1}, α_{2}$ 是不同特征值的特征向量，所以线性无关。假设

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3} = 0 (1), k_{1} A α_{1} + k_{2} A α_{2} + k_{3} A α_{3} = 0, - k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} (α_{2} + α_{3}) = 0 (2) .

(1) − (2) 得

2 k_{1} α_{1} - k_{3} α_{2} = 0,

所以 $k_{1} = k_{3} = 0$ ，代入 (1) 得 $k_{2} α_{2} = 0$ ，故 $k_{2} = 0$ 。因此 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性无关。

(II)
记 $P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ ，则 $P$ 可逆。

A (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = (A α_{1}, A α_{2}, A α_{3}) = (- α_{1}, α_{2}, α_{2} + α_{3}) = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

- 1 00 010011,

即

A P = P - 1 00 010011,

所以

P^{- 1} A P = - 1 00 010011 .

易辨析
以下说法是错误的：线性相关，则任一向量可用其他向量线性表示。
正确说法是： $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 线性相关，则其中某一向量可用其他向量线性表示。