选择题
1
下列函数中，在
x=0
处不可导的是（ ）
查看答案与解析
正确答案：D
正确答案：D【解】 方法一 对
f(x)=cos∣x∣
,
x→0limxf(x)−f(0)=x→0limxcos∣x∣−1=−21x→0limx∣x∣
不存在，即
f(x)=cos∣x∣
在
x=0
处不可导，应选(D).
方法二
当
f(x)=∣x∣sin∣x∣
时，
f(x)−f(0)∼x2
,
f(x)
在
x=0
处可导且导数为 0,不选(A);
当
f(x)=∣x∣sin∣x∣
时，
f(x)−f(0)∼∣x∣23
,
f(x)
在
x=0
处可导且导数为 0,不选(B);
当
f(x)=cos∣x∣
时，
f(x)−f(0)∼−21x2
,
f(x)
在
x=0
处可导且导数为 0,不选(C),
应选(D).
收藏
2
过点
(1,0,0)
、
(0,1,0)
，且与曲面
z=x2+y2
相切的平面为（ ）
查看答案与解析
正确答案：B
正确答案：B【解】 设切点为
(x0,y0,z0)
，则
⎩⎨⎧z0=x02+y02,(2x0,2y0,−1)⋅(1,−1,0)=0,(2x0,2y0,−1)⋅(x0−1,y0,z0)=0, 解之得
或
故所求切平面为
z=0
或
2x+2y−z=2
应选(B)
收藏
3
∑n=0∞(−1)n(2n+1)!2n+3=()
查看答案与解析
正确答案：B
正确答案：B【解】
n=0∑∞(−1)n(2n+1)!2n+3=n=0∑∞(−1)n(2n)!1+2n=0∑∞(−1)n(2n+1)!1
=cos1+2sin1
，
应选(B).
收藏
4
设
M=∫−2π2π1+x2(1+x)2dx
，
N=∫−2π2πex1+xdx
，
K=∫−2π2π(1+cosx)dx
，则（ ）
查看答案与解析
正确答案：C
正确答案：C【解】
M=∫−2π2π1+x2(1+x)2dx=∫−2π2π(1+1+x22x)dx=∫−2π2π1dx=π
，
当
−2π≤x≤2π
时，
1+cosx>1>ex1+x
，
∫−2π2π(1+cosx)dx>∫−2π2π1dx>∫−2π2πex1+xdx
，即
K>M>N
应选(C).
收藏
5
下列矩阵中，与矩阵
100110011
相似的为（ ）
查看答案与解析
正确答案：A
正确答案：A【解】 方法一
令
M=100110011
，
A=100110−111
，
B=100010−111
，
C=100110−101
，
D=100010−101
，
显然矩阵
A
，
B
，
C
，
D
的特征值都是
λ1=λ2=λ3=1
，
E−M=000−1000−10
，
E−A=000−1001−10
，
E−B=0000001−10
，
E−C=000−100100
，
E−D=000000100
，
因为
r(E−M)=r(E−A)=2
，所以应选（A）.
方法二
取
P=100−110001
，则
P−1=100110001
，因为
P−1100110−111P=100110011
，所以
100110011
与
100110−111
相似，应选（A）.
收藏
6
设
A,B
为
n
阶矩阵，记
r(X)
为矩阵
X
的秩，
(X,Y)
表示分块矩阵，则（ ）
查看答案与解析
正确答案：A
正确答案：A【解】
(A,AB)=A(E,B)
，
显然
r(A,AB)=r[A(E,B)]≤r(A)
，
又
r(A,AB)≥r(A)
，
于是
r(A,AB)=r(A)
，应选(A).
收藏
7
设随机变量
X
的概率密度
f(x)
满足
f(1+x)=f(1−x)
，且
∫02f(x)dx=0.6
，则
P{X<0}=
查看答案与解析
正确答案：A
正确答案：A【解】
∫01f(x)dx=∫12f(x)dx=21∫02f(x)dx=0.3
，
P(X<0)=∫−∞0f(x)dx=∫−∞1f(x)dx−∫01f(x)dx=0.5−0.3=0.2
，应选(A)。
收藏
8
设总体
X
服从正态分布
N(μ,σ2)
。
X1,X2,⋯,Xn
是来自总体
X
的简单随机样本，据此样本检验假设：
H0:μ=μ0,H1:μ=μ0
，则（ ）
查看答案与解析
正确答案：D
正确答案：D【解】 若
σ2
已知，则假设
H0
的接受域：
∣u∣<u2α
，其中
u2α
为正态分布的
2α
（上）分位数。
若
σ2
未知，则假设
H0
的接受域：
∣t∣<t2α(n−1)
，其中
t2α(n−1)
为自由度是
n−1
的
t
分布的
2α
（上）分位数。显然检验水平
α
变小，接受域都变大。应选(D)。
收藏
填空题
9
（填空题）若
x→0lim(1+tanx1−tanx)sinkx1=e
，则
k=
______．
查看答案与解析
【答案】
−2
【解析】 因为
x0limsinkx1⋅(1+tanx1−tanx−1)=x0limsinkx1⋅1+tanx−2tanx=x0limkx1⋅1+tanx−2x=k−2
，
故
x0lim(1+tanx1−tanx)sinkx1=ek−2=e
，即
k=−2
．
10
（填空题）设函数
f(x)
具有
2
阶连续导数。若曲线
y=f(x)
过点
(0,0)
且与曲线
y=2x
在点
(1,2)
处相切，则
∫01xf′′(x)dx=
______.
查看答案与解析
【答案】
2(ln2−1)
【解析】
f′(1)=(2x)′∣x=1=2ln2
,
∫01xf′′(x)dx=∫01xdf′(x)=xf′(x)∣01−∫01f′(x)dx=f′(1)−f(1)+f(0)
=2ln2−2=2(ln2−1)
11
（填空题）设
F(x,y,z)=xyi−yzj+zxk
,则
rot F(1,1,0)=
查看答案与解析
【答案】
i−k
【解析】 设
F(x,y,z)=xyi−yzj+zxk
,则
rot F(1,1,0)=i∂x∂xyj∂y∂−yzk∂z∂zx(1,1,0)=(yi−zj−xk)(1,1,0)=i−k
12
（填空题）设 L 为球面
x2+y2+z2=1
与平面
x+y+z=0
的交线，则
∮Lxyds=
______．
查看答案与解析
【答案】
−3π
【解析】
∮Lxyds=31∮L(xy+yz+xz)ds=61∮L[(x+y+z)2−(x2+y2+z2)]ds
=−61∮Lds=−3π
．
13
（填空题）设二阶矩阵
A
有两个不同的特征值，
α1
，
α2
是
A
的线性无关的特征向量，
A2(α1+α2)=α1+α2
，则
∣A∣=
查看答案与解析
【答案】 -1
【解析】 因为
α1
和
α2
线性无关，所以
α1+α2=0
。
由
A2(α1+α2)=α1+α2
可知，
α1+α2
是
A2
对应特征值
1
的特征向量。
又因为
A
有两个不同的特征值，设为
λ1
和
λ2
，则
A2
的特征值为
λ12
和
λ22
。
由于
A2
有特征值
1
，且
α1
和
α2
是
A
的特征向量，所以
λ12=1
，
λ22=1
，解得
λ1=±1
，
λ2=±1
。
又因为
λ1=λ2
，所以
λ1=1
，
λ2=−1
，则
∣A∣=λ1λ2=−1
。
14
（填空题）设随机事件 A 与 B 相互独立，A 与 C 相互独立，
BC=∅
。若
P(A)=P(B)=21
，
P(AC∣AB∪C)=41
，则
P(C)=
______。
查看答案与解析
【答案】
41
【解析】
由
BC=∅
，得
P(BC)=0
。
因为
ABC⊂BC
，所以
P(ABC)=0
。
P(AC∣AB∪C)=P(AB∪C)P[AC(AB∪C)]=P(AB∪C)P[(ABC)∪(AC)]=P(AB∪C)P(AC)=P(A)P(B)+P(C)−P(ABC)P(A)P(C)=21×21+P(C)−021⋅P(C)=41
解得
P(C)=41.
解答题
15
（本题满分 10 分）
求不定积分
∫e2xarctanex−1dx
查看答案与解析
【答案】
21e2xarctanex−1−61(ex+2)ex−1+C
【解析】
∫e2xarctanex−1dx
=21∫arctanex−1de2x=21e2xarctanex−1−21∫e2xdarctanex−1
=21e2xarctanex−1−41∫ex−1e2xdx=21e2xarctanex−1−21∫exdex−1
=21e2xarctanex−1−21(exex−1−∫ex−1dex)
=21e2xarctanex−1−21[exex−1−32(ex−1)23]+C
=21e2xarctanex−1−61(ex+2)ex−1+C
16
（本题满分 10 分）
将长为 2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
查看答案与解析
【答案】 最小值为
π+4+331
【解析】 设铁丝分成的三段长分别是 x,y,z,则 x+y+z=2,且依次围成的圆、正方形与正三角形三个图形的面积之和为
f(x,y,z)=(2x)2+(4y)2+43(3z)2=4x2+16y2+363z2,
构造拉格朗日函数：
L(x,y,z,)=4x2+16y2+363z2+(x+y+z−2)
令
⎩⎨⎧Lx′=2x+=0,Ly′=8y+=0,Lz′=183z+=0,L′=x+y+z−2=0, 得
⎩⎨⎧x0=+4+332,y0=+4+338,z0=+4+3363, 此时
f(x0,y0,z0)=+4+331
又当
x+y+z=2,xyz=0
时，
f(x,y,z)
的最小值为
f(0,4+338,4+3363)=4+331
所以三个图形的面积之和存在最小值，最小值为
f(x0,y0,z0)=+4+331
17
（本题满分 10 分）
设
Σ
是曲面
x=1−3y2−3z2
的前侧，计算曲面积分
I=∬Σxdydz+(y3+2)dzdx+z3dxdy
查看答案与解析
【答案】
4514π
【解析】
补曲面
Σ1:{x=0,3y2+3z2=1
，取后侧，
Ω
为
Σ
与
Σ1
所围成的立体。利用高斯公式可得
I=∬Σ+Σ1xdydz+(y3+2)dzdx+z3dxdy−∬Σ1xdydz+(y3+2)dzdx+z3dxdy=∭Ω(1+3y2+3z2)dxdydz−0=∭Ω(1+3y2+3z2)dxdydz
利用柱坐标变换
y=rcosθ
，
z=rsinθ
，
x=x
得
∭Ω(1+3y2+3z2)dxdydz=∫02πdθ∫033dr∫01−3r2(1+3r2)rdx=2π∫0331−3r2(1+3r2)rdr=32π∫01(2−t2)t2dt=4514π 18
（本题满分 10 分） 已知微分方程
y′+y=f(x)
，其中
f(x)
是
R
上的连续函数。
(Ⅰ) 若
f(x)=x
，求方程的通解；
(Ⅱ) 若
f(x)
是周期为
T
的函数，证明：方程存在唯一的以
T
为周期的解。
查看答案与解析
【答案】
(Ⅰ)
y=Ce−x+x−1
(Ⅱ) 见解析
【解析】
(Ⅰ) 当
f(x)=x
时，方程化为
y′+y=x
，其通解为
y=e−∫dx(C+∫xe∫dxdx)=e−x(C+xex−ex)=Ce−x+x−1
(Ⅱ) 方程
y′+y=f(x)
的通解为
y=e−∫0xdt[C+∫0xe∫0tdsf(t)dt]
，
即
y=e−x[C+∫0xetf(t)dt]
得
y(x+T)−y(x)=e−x[(eT1−1)C+eT1∫0x+Tetf(t)dt−∫0xetf(t)dt]
若
f(x)
是周期为
T
的连续函数，则
eT1∫0x+Tetf(t)dt=eT1∫0Tetf(t)dt+eT1∫Tx+Tetf(t)dt
=eT1∫0Tetf(t)dt+eT1∫0xeu+Tf(u+T)du
=eT1∫0Tetf(t)dt+eT1∫0xeTeuf(u)du=eT1∫0Tetf(t)dt+∫0xeuf(u)du
于是
y(x+T)−y(x)=e−x[(eT1−1)C+eT1∫0Tetf(t)dt]
，
因此当且仅当
C=eT−11∫0Tetf(t)dt
时，
y(x+T)−y(x)=0
，即方程存在唯一的以
T
为周期的解。
19
（本题满分 10 分）
设数列
{xn}
满足：
x1>0
，
xnexn+1=exn−1
（
n=1,2,⋯
）．证明数列
{xn}
收敛，并求
n→∞limxn
．
查看答案与解析
【答案】
n→∞limxn=0
【解析】 因为
x1=0
，所以
ex2=x1ex1−1
．
由微分中值定理，存在
ξ∈(0,x1)
，使得
x1ex1−1=eξ
，即
ex2=eξ
，因此
0<x2<x1
．
假设
0<xn+1<xn
，则
exn+2=xn+1exn+1−1=eη
（
0<η<xn+1
），得
0<xn+2<xn+1
。故
{xn}
是单调减少的数列，且有下界，从而
{xn}
收敛．
设
n→∞limxn=a
，在等式
xnexn+1=exn−1
两边取极限，得
aea=ea−1
，显然
a=0
为其解。
又令
f(x)=xex−ex+1
，则
f′(x)=xex
。
当
x>0
时，
f′(x)=xex>0
，函数
f(x)
在
[0,+∞)
上单调增加，
所以
a=0
是方程
aea=ea−1
在
[0,+∞)
上的唯一解，故
n→∞limxn=0
。
20
（本题满分 11 分）
设实二次型
f(x1,x2,x3)=(x1−x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2
，其中
a
是参数。
(Ⅰ) 求
f(x1,x2,x3)=0
的解；
(Ⅱ) 求
f(x1,x2,x3)
的规范形。
查看答案与解析
【答案】
（Ⅰ）当
a=2
时，
f(x1,x2,x3)=0
的解为
x=(x1,x2,x3)T=(0,0,0)T
；当
a=2
时，解为
x=k(−2,−1,1)T
，其中
k=0
。
（Ⅱ）当
a=2
时，
f(x1,x2,x3)
的规范形为
y12+y22+y32
；当
a=2
时，规范形为
y12+y22
。
【解析】
（Ⅰ）函数
f(x1,x2,x3)=(x1−x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2=0
的充分必要条件是
⎩⎨⎧x1−x2+x3=0,x2+x3=0,x1+ax3=0. 对齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换得
A=101−11011a→100−11111a−1→100−11011a−2. 当
a=2
时，
f(x1,x2,x3)=0
只有零解
x=(x1,x2,x3)T=(0,0,0)T
。
当
a=2
时，
f(x1,x2,x3)=0
有非零解
x=(x1,x2,x3)T=k(−2,−1,1)T
，其中
k=0
。
（Ⅱ）当
a=2
时，令
y1y2y3=101−11011ax1x2x3. 由于
101−11011a=100−11011a−2=a−2=0, 矩阵
101−11011a
可逆，因此
f(x1,x2,x3)
的规范形为
f(y1,y2,y3)=y12+y22+y32.
当
a=2
时，
f(x1,x2,x3)=(x1−x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+2x3)2=2x12+2x22+6x32−2x1x2+6x1x3.
进一步整理得
f(x1,x2,x3)=2(x1−x2+x3)2+23x22+23x32+3x2x3=2(x1−x2+x3)2+23(x2+x3)2.
因此
f(x1,x2,x3)
的规范形为
f(y1,y2,y3)=y12+y22.
21
（本题满分 11 分）
已知
a
是常数，且矩阵
A=112237a0−a
可经初等列变换化为矩阵
B=10−1a11211
。
(Ⅰ) 求
a
；
(Ⅱ) 求满足
AP=B
的可逆矩阵
P
。
查看答案与解析
【答案】
(Ⅰ)
a=2
(Ⅱ) 可逆矩阵
P=−6k1+32k1−1k1−6k2+42k2−1k2−6k3+42k3−1k3
，其中
k1,k2,k3
为任意常数，且
k2=k3
。
【解析】
(Ⅰ)
显然
r(A)=2
，因为初等变换不改变矩阵的秩，所以
r(B)=2
，
而
B=10−1a11211→100a1a+1213→100a10212−a
，故
a=2
。
(Ⅱ)
A=11223720−2
，
B=10−1211211
，令
P=(X1,X2,X3)
，
由
(A⋮B)=11223720−2⋮⋮⋮10−1211211→1000106−20⋮⋮⋮3−104−104−10
得
X1=k1−621+3−10=−6k1+32k1−1k1
，
X2=k2−621+4−10=−6k2+42k2−1k2
，
X3=k3−621+4−10=−6k3+42k3−1k3
，
则所求的可逆矩阵为
P=−6k1+32k1−1k1−6k2+42k2−1k2−6k3+42k3−1k3
（
k1,k2,k3
为任意常数且
k2=k3
）。
22
（本题满分 11 分）
设随机变量
X
与
Y
相互独立，
X
的概率分布为
P{X=1}=P{X=−1}=21
，
Y
服从参数为
λ
的泊松分布。令
Z=XY
(Ⅰ) 求
Cov(X,Z)
；
(Ⅱ) 求
Z
的概率分布。
查看答案与解析
【答案】
(Ⅰ)
Cov(X,Z)=λ
(Ⅱ)
Z
的概率分布为：
P(Z=k)=⎩⎨⎧21⋅k!λke−λ,e−λ,21⋅(−k)!λ−ke−λ,k=1,2,3,⋯k=0,k=−1,−2,−3,⋯ 【解析】
(Ⅰ)
由于
E(X)=0
，
E(X2)=1
，
E(Y)=λ
，且
X
与
Y
相互独立，可得
Cov(X,Z)=Cov(X,XY)=E(X2Y)−E(X)E(XY)=E(X2)E(Y)−[E(X)]2E(Y)=λ.
(Ⅱ)
已知
Y∼Poisson(λ)
，即
P(Y=j)=j!λje−λ,j=0,1,2,…
于是
Z
的所有可能取值为全体整数。其概率分布如下：
当
k
为正整数时，
P(Z=k)=P(XY=k)=P(X=1,Y=k)=P(X=1)P(Y=k)=21⋅k!λke−λ,k=1,2,3,…
当
k
为负整数时，
P(Z=k)=P(XY=k)=P(X=−1,Y=−k)=P(X=−1)P(Y=−k)=21⋅(−k)!λ−ke−λ,k=−1,−2,−3,…
当
k=0
时，
P(Z=0)=P(XY=0)=P(X=−1,Y=0)+P(X=1,Y=0)=21e−λ+21e−λ=e−λ.
综上，
P(Z=k)=⎩⎨⎧21⋅k!λke−λ,e−λ,21⋅(−k)!λ−ke−λ,k=1,2,3,…k=0,k=−1,−2,−3,… 23
（本题满分 11 分）
设总体
X
的概率密度为
f(x;σ)=2σ1e−σ∣x∣,−∞<x<+∞,
其中
σ∈(0,+∞)
为未知参数，
X1,X2,⋯,Xn
为来自总体
X
的简单随机样本。记
σ
的最大似然估计量为
σ^
(Ⅰ) 求
σ^
;
(Ⅱ) 求
E(σ^)
,
D(σ^)
查看答案与解析
【答案】
(Ⅰ)
σ^=n1∑i=1n∣Xi∣
(Ⅱ)
E(σ^)=σ
,
D(σ^)=nσ2
【解析】
(Ⅰ) 似然函数为
L(x1,x2,…,xn;σ)=i=1∏nf(xi;σ)=2nσn1exp(−σ1i=1∑n∣xi∣),
−∞<xi<+∞,i=1,2,…
于是
lnL=−nln2−nlnσ−σ1i=1∑n∣xi∣.
令
dσdlnL=−σn+σ21i=1∑n∣xi∣=0,
得
σ
的最大似然估计量为
σ^=n1i=1∑n∣Xi∣.
(Ⅱ)
E(σ^)=n1i=1∑nE(∣Xi∣)=E(∣X∣)=∫−∞+∞∣x∣⋅2σ1e−σ∣x∣dx=∫0+∞σxe−σxdx=−∫0+∞xde−σx=−xe−σx0+∞+∫0+∞e−σxdx=σ. D(σ^)=n21i=1∑nD(∣Xi∣)=nD(∣X∣)=nE[∣X∣2]−E2(∣X∣)=n1(∫−∞+∞∣x∣2⋅2σ1e−σ∣x∣dx−σ2)=n1(∫0+∞σx2e−σxdx−σ2)=n1(∫0+∞−x2de−σx−σ2)=n1(∫0+∞2xe−σxdx−σ2)=n1(2σ2−σ2)=nσ2.