选择题
1
下列曲线中有渐近线的是
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正确答案：C
正确答案：Ca=x→∞limxf(x)=x→∞limxx+sinx1=x→∞lim(1+x1sinx1)=1
b=x→∞lim[f(x)−ax]=x→∞lim[x+sinx1−x]=x→∞limsinx1=0
∴y=x
是
y=x+sinx1
的渐近线
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2
设函数
f(x)
具有2阶导数，
g(x)=f(0)(1−x)+f(1)x
，则在区间
[0,1]
上()
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正确答案：D
正确答案：D当
f′′(x)≥0
时，
f(x)
是凹函数，而
g(x)
是连接
(0,f(0))
与
(1,f(1))
的直线段，故
f(x)≤g(x)
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3
设
f(x,y)
是连续函数，则
∫01dy∫−1−y21−yf(x,y)dx=
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正确答案：D
正确答案：D积分区域为
0≤y≤1
，
−1−y2≤x≤1−y
，用极坐标表示，
D1
：
2π≤θ≤π
，
0≤r≤1
；
D2
：
0≤θ≤2π
，
0≤r≤cosθ+sinθ1
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4
若
∫−ππ(x−a1cosx−b1sinx)2dx=mina,b∈R{∫−ππ(x−acosx−bsinx)2dx}
，则
a1cosx+b1sinx=
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正确答案：A
正确答案：A令
Z(a,b)=∫−ππ(x−acosx−bsinx)2dx
，求偏导并令其为 0：
{Za′=2∫−ππ(x−acosx−bsinx)(−cosx)dx=0Zb′=2∫−ππ(x−acosx−bsinx)(−sinx)dx=0
由第一式得
a=0
，由第二式得
b=∫0πsin2xdx∫0πxsinxdx=2
，故
a1cosx+b1sinx=2sinx
。
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5
行列式
0a0ca0c0b0d00b0d=
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正确答案：B
正确答案：B按第4行展开：
=−c⋅b(−1)3+2acbd+d⋅a⋅(−1)2+1acbd=(ad−bc)⋅bc−ad(ad−bc)=(ad−bc)(bc−ad)=−(ad−bc)2
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6
设
α1
，
α2
，
α3
均为 3 维向量，则对任意常数
k
，
l
，向量组
α1+kα3
，
α2+lα3
线性无关是向量组
α1
，
α2
，
α3
线性无关的（ ）
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正确答案：A
正确答案：A由
(α1+kα3,α2+lα3)=(α1,α2,α3)10k01l 可知，当
α1
、
α2
、
α3
线性无关时，向量组
α1+kα3
、
α2+lα3
线性无关。
反之不成立。例如，当
α3=0
，且
α1
与
α2
线性无关时，
α1
、
α2
、
α3
线性相关。
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7
设随机事件
A
与
B
相互独立，且
P(B)=0.5
，
P(A−B)=0.3
，则
P(B−A)=()
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正确答案：B
正确答案：BP(A−B)=P(A)−P(AB)
，因为
A
与
B
相互独立，所以
P(AB)=P(A)P(B)
，则
P(A−B)=P(A)−P(A)P(B)=P(A)[1−P(B)]=0.3
，解得
P(A)=0.6
，
P(AB)=0.6×0.5=0.3
，故
P(B−A)=P(B)−P(AB)=0.5−0.3=0.2
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8
设连续性随机变量
X1
与
X2
相互独立，且方差均存在，
X1
与
X2
的概率密度分别为
f1(x)
与
f2(x)
，随机变量
Y1
的概率密度为
fY1(y)=21[f1(y)+f2(y)]
，随机变量
Y2=21(X1+X2)
。则（ ）
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正确答案：D
正确答案：D首先，计算
EY1
：
EY1=∫−∞+∞y[21f1(y)+21f2(y)]dy=21∫−∞+∞yf1(y)dy+21∫−∞+∞yf2(y)dy
=21EX1+21EX2
接着，计算
EY2
：
EY2=E[21(X1+X2)]=21EX1+21EX2
因此，
EY1=EY2
接下来，计算
EY12
：
EY12=∫−∞+∞y2[21f1(y)+21f2(y)]dy=21EX12+21EX22
然后，计算
DY1
：
DY1=EY12−(EY1)2=21EX12+21EX22−(21EX1+21EX2)2
=21EX12+21EX22−41(EX1)2−41(EX2)2−21EX1EX2
=41DX1+41DX2+41EX12+41EX22−21EX1EX2
=41DX1+41DX2+41[EX12+EX22−2E(X1X2)]
=41DX1+41DX2+41E(X1−X2)2
最后，计算
DY2
：
DY2=D[21(X1+X2)]=41DX1+41DX2
由于
E(X1−X2)2>0
，可得：
DY1>DY2
【答案】D
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填空题
9
（填空题）曲面
z=x2(1−siny)+y2(1−sinx)
在点
(1,0,1)
处的切平面方程为 ______。
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【答案】
2x−y−z−1=0
【解析】 曲面
z=x2(1−siny)+y2(1−sinx)
在点
(1,0,1)
处的切平面方程为 ______。
在点
(1,0,1)
处，
zx(1,0,1)=(1,0,1)2x(1−siny)−y2cosx=2, zy(1,0,1)=[−x2cosy+2y(1−sinx)](1,0,1)=−1. 切平面方程为
zx(x−1)+zy(y−0)+(−1)(z−1)=0,
即
2x−y−z−1=0.
10
（填空题）设
f(x)
是周期为
4
的可导奇函数，且
f′(x)=2(x−1)
，
x∈[0,2]
，则
f(7)=
查看答案与解析
【答案】 1
【解析】
f(x)
是周期为 4 的可导函数，因此
f(7)=f(3)=f(−1)=−f(1)
，且
f(0)=0
。
又因为
f′(x)=2(x−1)
，所以
f(x)=x2−2x+c
。将
f(0)=0
代入得
c=0
，于是
f(x)=x2−2x
，其中
x∈[0,2]
。
因此
f(1)=−1
，从而
f(7)=−f(1)=1
。
11
（填空题）微分方程
xy′+y(lnx−lny)=0
满足条件
y(1)=e
的解为
y=
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【答案】 y = x e
【解析】
原方程为
xy′+y(lnx−lny)=0
，即
xy′+ylnyx=0
。
两边同除以
x
，得
y′+xylnyx=0
令
u=xy
，则
y=xu
，且
dxdy=u+xdxdu
代入上式，得
u+xdxdu+ulnu1=0
整理得
u(lnu−1)du=x1dx
两端积分，得
∫u(lnu−1)du=∫x1dx+lnC
注意到
∫u(lnu−1)du=∫lnu−1d(lnu−1)
所以
ln∣lnu−1∣=ln∣x∣+lnC
即
lnu−1=Cx
u=eCx+1
y=xeCx+1
代入初值条件
y(1)=e
，得
e=1⋅eC+1⇒C=0
因此特解为
y=xe1=xe
12
（填空题）设 L 是柱面
x2+y2=1
与平面
y+z=0
的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分
∫Lzdx+ydz=
查看答案与解析
【答案】 π
【解析】 已知曲线 \(L \) 的参数方程为：
⎩⎨⎧x=costy=sintz=−sintt∈[0,2π] 计算曲线积分：
∫Lzdx+ydz
代入参数表达式：
dx=−sintdt,dz=−costdt
z=−sint,y=sint
代入积分：
∫Lzdx+ydz=∫02π[(−sint)(−sint)+sint⋅(−cost)]dt
=∫02π(sin2t−sintcost)dt
分别计算两项：
对 \(\sin^2 t\) 项：
∫02πsin2tdt=∫02π21−cos2tdt=21∫02π1dt−21∫02πcos2tdt
=21⋅2π−0=π
对 \(\sin t \cos t\) 项：
∫02πsintcostdt=∫02π21sin2tdt=0
因此：
∫Lzdx+ydz=π+0=π
积分结果为 \(\pi\)。
13
（填空题）设二次型
f(x1,x2,x3)=x12−x22+2ax1x3+4x2x3
的负惯性指数是
1
，则
a
的取值范围是（ ）。
查看答案与解析
【答案】
−2≤a≤2
【解析】 考虑二次型矩阵
已知其负惯性指数为
1
，设特征值
λ1<0
，其余
λ2≥0
，
λ3≥0
。
由特征值性质及行列式计算可得
∣A∣=a2−4
分析可知，当
−2≤a≤2
时，满足负惯性指数为
1
。
14
（填空题）设总体
X
的概率密度为
f(x;θ)=⎩⎨⎧3θ22x,0,θ<x<2θ其他 其中
θ
是未知参数，
X1,X2,⋯,Xn
为来自总体
X
的简单随机样本。若
c∑i=1nXi2
是
θ2
的无偏估计，则
c=
______。
查看答案与解析
【答案】
5n2
【解析】
E(X2)=∫θ2θx2⋅3θ22xdx=3θ22∫θ2θx3dx=6θ21⋅15θ4=25θ2
。
E(c∑i=1nXi2)=c⋅n⋅25θ2
，令其等于
θ
，解得
c=5n2
。
解答题
15
（本题满分 10 分）
求极限
x→+∞limx2ln(1+x1)∫1x[t2(et1−1)−t]dt
查看答案与解析
【答案】
21
【解析】
【解】
x→+∞limx2ln(1+x1)∫1x[t2(et1−1)−t]dt=x→+∞limx∫1x[t2(et1−1)−t]dt⋅ln(1+x1)x1
注意到
x→+∞limln(1+x1)x1=1,
因此原式化为
x→+∞limx∫1x[t2(et1−1)−t]dt.
由洛必达法则，
x→+∞limx∫1x[t2(et1−1)−t]dt=x→+∞lim[x2(ex1−1)−x].
令
t=x1
，当
x→+∞
时
t→0+
，有
x→+∞limx2(ex1−1−x1)=t→0limt2et−1−t.
再次使用洛必达法则，
t→0limt2et−1−t=t→0lim2tet−1=21.
因此，原极限值为
21
.
16
（本题满分 10 分）
设函数
y=f(x)
由方程
y3+xy2+x2y+6=0
确定，求
f(x)
的极值。
查看答案与解析
【答案】 函数
f(x)
在
x=1
处取得极小值
−2
.
【解析】 【解】由
y3+xy2+x2y+6=0
得
3y2dxdy+y2+2xydxdy+2xy+x2dxdy=0,
解得
dxdy=−x2+2xy+3y22xy+y2.
由
dxdy=0
得
y=−2x
，代入原式得
{x=1,y=−2.
进一步求二阶导数：
dx2d2y=−(x2+2xy+3y2)2(2y+2xdxdy+2ydxdy)(x2+2xy+3y2)−(2xy+y2)(2x+2y+2xdxdy+6ydxdy).
将
{x=1,y=−2
代入得
dx2d2y=94>0
，故
x=1
为极小点，极小值为
y=−2
。
17
（本题满分 10 分）
设函数
f(u)
二阶连续可导，
z=f(excosy)
满足
∂x2∂2z+∂y2∂2z=(4z+excosy)e2x,
若
f(0)=0
，
f′(0)=0
，求
f(u)
的表达式。
查看答案与解析
【答案】
f(u)=−161(e−2u−e2u)−41u
【解析】
首先，计算一阶偏导数：
∂x∂z=excosy⋅f′,∂y∂z=−exsiny⋅f′.
接着，计算二阶偏导数：
∂x2∂2z=excosy⋅f′+e2xcos2y⋅f′′,
∂y2∂2z=−excosy⋅f′+e2xsin2y⋅f′′.
将两者相加，得到：
∂x2∂2z+∂y2∂2z=e2xf′′.
令
u=excosy
，由题设条件
∂x2∂2z+∂y2∂2z=(4z+excosy)e2x,
代入得：
f′′(u)=4f(u)+u,
即：
f′′(u)−4f(u)=u.
解此常微分方程，得通解：
f(u)=C1e−2u+C2e2u−41u.
由初始条件
f(0)=0
，
f′(0)=0
，代入得方程组：
{C1+C2=0,−2C1+2C2−41=0.
解得：
C1=−161,C2=161.
因此，函数表达式为：
f(u)=−161(e−2u−e2u)−41u.
18
（本题满分 10 分）
设
Σ
为曲面
z=x2+y2 (z≤1)
的上侧，计算曲面积分
I=∬Σ(x−1)3dydz+(y−1)3dzdx+(z−1)dxdy.
查看答案与解析
【答案】
−4π
【解析】
【解】令
∑0:z=1 (x2+y2≤1)
，取下侧，其中
∑
与
∑0
围成的几何体为
Ω
。
由高斯公式得：
∬∑+∑0(x−1)3dydz+(y−1)3dzdx+(z−1)dxdy=−∭Ω[3(x−1)2+3(y−1)2+1]dv=−∭Ω[3(x2+y2)−6x−6y+7]dv=−∭Ω[3(x2+y2)+7]dv=−∫01dz∬x2+y2≤z[3(x2+y2)+7]dv=−∫01dz∫02πdθ∫0z(3r3+7r)dr 计算得：
=−2π∫01(43z2+27z)dz=−2π(41+47)=−4π
而
∬∑0(x−1)3dydz+(y−1)3dzdx+(z−1)dxdy=∬∑0(z−1)dxdy=0
故
I=∬∑(x−1)3dydz+(y−1)3dzdx+(z−1)dxdy=−4π
19
（本题满分 10 分）
设数列
{an}
，
{bn}
满足
0<an<2π,0<bn<2π,cosan−an=cosbn
，
且级数
n=1∑∞bn
收敛。
（Ⅰ）证明
n→∞liman=0
；
（Ⅱ）证明级数
n=1∑∞bnan
收敛。
查看答案与解析
【答案】 见解析
【解析】
（Ⅰ）由
cosan−an=cosbn
得
an=cosan−cosbn.
因为
an>0
，所以
an=cosan−cosbn>0,
故
0<an<bn.
又因为
∑n=1∞bn
收敛，所以
∑n=1∞an
收敛，故
n→∞liman=0.
（Ⅱ）方法一：
由
an=cosan−cosbn
得
bnan=bncosan−cosbn=−bn2sin(2an+bn)sin(2an−bn)∼2bnbn2−an2.
因为
0⩽2bnbn2−an2⩽2bn,
且
∑n=1∞bn
收敛，所以
∑n=1∞2bnbn2−an2
收敛。
由正项级数比较审敛法得
∑n=1∞bnan
收敛。
方法二：
由
n→∞limbnbnan=n→∞limbn2an=n→∞limbn21−cosbn⋅1−cosbnan=21n→∞lim1−cosbnan=21n→∞liman+1−cosbnan=21,
且级数
∑n=1∞bn
收敛，根据正项级数比较审敛法得级数
∑n=1∞bnan
收敛。
20
(本题满分11分)
设
A=101−2123−10−41−3
，
E
为3阶单位矩阵。
(Ⅰ)求方程
Ax=0
的一个基础解系；
(Ⅱ)求满足
AB=E
的所有矩阵
B
.
查看答案与解析
【答案】
(Ⅰ) 方程
Ax=0
的一个基础解系为
ξ=(−1,2,3,1)T
。
(Ⅱ) 满足
AB=E
的所有矩阵
B
为
B=−k1+22k1−13k1−1k1−k2+62k2−33k2−4k2−k3−12k3+13k3+1k3(k1,k2,k3 ). 【解析】
（Ⅰ）
对矩阵
A
作初等行变换：
A=101−2123−10−41−3→100−2143−1−3−411→100−2103−11−41−3 →100−2100015−2−3→1000100011−2−3. 则方程组
AX=0
的一个基础解系为
ξ=(−1,2,3,1)T.
（Ⅱ）
方法一
由增广矩阵
(A⋮E)
出发：
(A⋮E)=101−2123−10−41−3100010001→100−2143−1−3−41110−1010001 →100−2103−11−41−310−101−4001→100−2100015−2−34−1−112−3−4−311 →1000100011−2−32−1−16−3−4−111. 得
B=2k1+6k2−k3−12k1−13k1−1k12k2−33k2−4k22k3+13k3+1k3(k1,k2,k3 ).
方法二
令
B=(X1,X2,X3)
，
E=(e1,e2,e3)
，则
AB=E
等价于
AX1=e1,AX2=e2,AX3=e3.
方程组
AX1=e1
的通解为
X1=k1−1231+2−1−10=−k1+22k1−13k1−1k1(k1 ). 方程组
AX2=e2
的通解为
X2=k2−1231+6−3−40=−k2+62k2−33k2−4k2(k2 ). 方程组
AX3=e3
的通解为
X3=k3−1231+−1110=−k3−12k3+13k3+1k3(k3 ).
故
B=−k1+22k1−13k1−1k1−k2+62k2−33k2−4k2−k3−12k3+13k3+1k3(k1,k2,k3 ).
方法三
令
B=x1x4x7x10x2x5x8x11x3x6x9x12. 由
AB=E
得
⎩⎨⎧x1−2x4+3x7−4x10=1,x2−2x5+3x8−4x11=0,x3−2x6+3x9−4x12=0,x4−x7+x10=0,x5−x8+x11=1,x6−x9+x12=0,x1+2x4−3x10=0,x2+2x5−3x11=0,x3+2x6−3x12=1, 解得
⎩⎨⎧x1=−k1+2,x4=2k1−1,x7=3k1−1,x10=k1,⎩⎨⎧x2=−k2+6,x5=2k2−3,x8=3k2−4,x11=k2,⎩⎨⎧x3=−k3−1,x6=2k3+1,x9=3k3+1,x12=k3. 故
B=−k1+22k1−13k1−1k1−k2+62k2−33k2−4k2−k3−12k3+13k3+1k3(k1,k2,k3 ). 21
(本题满分11分)
证明
n
阶矩阵
11⋮111⋮1⋯⋯⋯11⋮1
与
00⋮0⋯⋯⋮⋯00⋮012⋮n
相似。
查看答案与解析
【答案】 见解析
【解析】
【证明】
令
A=11⋮111⋮1⋯⋯⋯11⋮1
，
B=00⋮0⋯⋯⋯00⋮012⋮n
由
∣λE−A∣=0
得
A
的特征值为
λ1=⋯=λn−1=0
，
λn=n
，
由
∣λE−B∣=0
得
B
的特征值为
λ1=⋯=λn−1=0
，
λn=n
，
因为
A2=A
，所以
A
可对角化；
因为
r(0E−B)=r(B)=1
，所以
B
可对角化，
因为
A,B
特征值相同且都可对角化，所以
A∼B
。
方法点评：本题考查矩阵相似。
设
A,B
为两个
n
阶矩阵，若
A∼B
，则
A,B
的特征值相同；反之，若
A,B
的特征值相同，两矩阵不一定相似，即特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。
注意如下结论：
（1）若
A,B
特征值相同，且
A,B
都可相似对角化，则
A∼B
；
（2）若
A,B
特征值相同，但
A,B
中一个可相似对角化，另一个不可相似对角化，则两矩阵一定不相似。
22
（本题满分 11 分）
设随机变量
X
的概率分布为
P{X=1}=P{X=2}=21
．在给定
X=i
的条件下，随机变量
Y
服从均匀分布
U(0,i) (i=1,2)
．
（Ⅰ）求
Y
的分布函数
FY(y)
；
（Ⅱ）求
E(Y)
。
查看答案与解析
【答案】
（Ⅰ）Y的分布函数为
FY(y)=⎩⎨⎧0,43y,21+4y,1,y<0,0≤y<1,1≤y<2,y≥2. （Ⅱ）
E(Y)=43
.
【解析】
（Ⅰ）求
Y
的分布函数
FY(y)
分布函数
FY(y)=P{Y≤y}
，根据全概率公式，结合
X
的取值情况展开：
FY(y)=P{X=1}P{Y≤y∣X=1}+P{X=2}P{Y≤y∣X=2}=21P{Y≤y∣X=1}+21P{Y≤y∣X=2}
当
y<0
时，
P{Y≤y∣X=1}=0
，
P{Y≤y∣X=2}=0
，故
FY(y)=0
。
当
0≤y<1
时，
Y∣X=1∼U(0,1)
，则
P{Y≤y∣X=1}=y
；
Y∣X=2∼U(0,2)
，则
P{Y≤y∣X=2}=2y
。
因此
FY(y)=21⋅y+21⋅2y=43y
。
当
1≤y<2
时，
P{Y≤y∣X=1}=1
；
P{Y≤y∣X=2}=2y
。
因此
FY(y)=21⋅1+21⋅2y=21+4y
。
当
y≥2
时，
P{Y≤y∣X=1}=1
，
P{Y≤y∣X=2}=1
，故
FY(y)=1
。
综上，
Y
的分布函数为：
FY(y)=⎩⎨⎧0,43y,21+4y,1,y<0,0≤y<1,1≤y<2,y≥2. （Ⅱ）求
E(Y)
可先求
Y
的概率密度函数
fY(y)
，对
FY(y)
求导：
- 当
0<y<1
时，
fY(y)=43
；
- 当
1<y<2
时，
fY(y)=41
；
- 其余区间
fY(y)=0
。
根据期望的定义
E(Y)=∫−∞+∞yfY(y)dy
，计算得：
E(Y)=∫01y⋅43dy+∫12y⋅41dy=43⋅2y201+41⋅2y212=83+81⋅(4−1)=83+83=86=43 或者，利用全期望公式
E(Y)=E[E(Y∣X)]
：
- E(Y∣X=1)=20+1=21
（均匀分布
U(0,1)
的期望）；
- E(Y∣X=2)=20+2=1
（均匀分布
U(0,2)
的期望）；
因此：
E(Y)=P{X=1}E(Y∣X=1)+P{X=2}E(Y∣X=2)=21⋅21+21⋅1=41+21=43
最终，（Ⅰ）分布函数如上述分段函数；（Ⅱ）
E(Y)=43
。
23
本题满分 11 分
设总体
X
的分布函数为
F(x)={0,1−e−θx2,x<0x≥0
其中
θ>0
为未知参数，
X1,X2,⋯,Xn
为来自总体
X
的简单随机样本。
(I) 求
EX
及
EX2
。
(II) 求
θ
的最大似然估计量
θ^
。
(III) 是否存在实数
a
，使得对任意的
ε>0
，都有
limn→∞P{∣θ^−a∣≥ε}=0
？
查看答案与解析
【答案】
(I)
EX=2πθ
,
EX2=θ
(II)
θ^=n1∑i=1nXi2
(III) 存在实数
a=θ
【解析】
（I）概率密度函数为
f(x)=⎩⎨⎧0,θ2xe−θx2,x≤0,x>0. 计算期望：
EX=∫−∞+∞xf(x)dx=2∫0+∞θx2e−θx2dx.
令
t=θx2
，则
EX=2∫0+∞te−t⋅2tθdt=θ∫0+∞te−tdt=θΓ(21+1)=2πθ. 计算二阶矩：
EX2=∫−∞+∞x2f(x)dx=2∫0+∞θx3e−θx2dx.
作变量替换，令
u=θx2
，得
EX2=θ∫0+∞θx2e−θx2d(θx2)=θΓ(2)=θ.
（II）似然函数为
L(θ)=θn2nx1x2⋯xne−θx12+x22+⋯+xn2.
取对数得
lnL(θ)=nln2+i=1∑nlnxi−nlnθ−θ∑i=1nxi2.
对
θ
求导并令导数为零：
dθdlnL(θ)=−θn+θ2∑i=1nxi2=0,
解得最大似然估计量为
θ^=n1i=1∑nXi2.
（III）由大数定律，
θ^=n1∑i=1nXi2
依概率收敛于
EX2=θ
。
因此存在
a=θ
，使得对任意
ε>0
，有