2007 年真题

【答案】

【解析】 给定函数 $f(x)$ 具有连续的一阶导数，且满足方程：

首先，求 $f(0)$ 。令 $x=0$ ，代入方程：

所以 $f(0)=0$ 。

定义 $F(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)f^{\prime }(t)dt$ ，则 $f(x)=F(x)+x^2$ 。对 $F(x)$ 应用莱布尼茨积分法则：

计算各项：

• 第一项：当 $t=x$ 时， $(x^2-x^2)f^{\prime }(x)=0$ ，乘以 $\frac{d}{dx}(x)=1$ ，结果为 0。
• 第二项：当 $t=0$ 时， $(x^2-0^2)f^{\prime }(0)=x^2{f}^{\prime }(0)$ ，乘以 $\frac{d}{dx}(0)=0$ ，结果为 0。
• 第三项： $\frac{\partial }{\partial x}\left[(x^2-t^2)f^{\prime }(t)\right]=2x{f}^{\prime }(t)$ ，所以 ${\int }_0^{x}2x{f}^{\prime }(t)dt=2x{\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt=2x[f(x)-f(0)]=2xf(x)$ （因为 $f(0)=0$ ）。

因此， $F^{\prime }(x)=2xf(x)$ 。对 $f(x)=F(x)+x^2$ 求导：

整理得：

这是一阶线性微分方程。积分因子为 $\mu (x)=e^{\int -2xdx}=e^{-x^2}$ 。乘以积分因子：

左边为 $\frac{d}{dx}\left[e^{-x^2}f(x)\right]$ ，所以：

积分两边：

令 $u=-x^2$ ，则 $du=-2xdx$ ，所以：

因此：

解得：

由 $f(0)=0$ ，代入得：

所以：

验证：代入原方程，左右相等，故正确。

【答案】
(1) $(U,V)$ 的概率分布为：

(2) $\mathrm{Cov}(U,V)=\frac{4}{81}$ 。

【解析】
(1) 由于 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，且 $P(X=1)=\frac{2}{3}$ ， $P(X=2)=\frac{1}{3}$ ，则 $(X,Y)$ 的联合概率分布为：

• $P(X=1,Y=1)=\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$ ，此时 $U=1$ ， $V=1$ ；
• $P(X=1,Y=2)=\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{9}$ ，此时 $U=2$ ， $V=1$ ；
• $P(X=2,Y=1)=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$ ，此时 $U=2$ ， $V=1$ ；
• $P(X=2,Y=2)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$ ，此时 $U=2$ ， $V=2$ 。
  因此， $(U,V)$ 的概率分布为：
• $P(U=1,V=1)=\frac{4}{9}$ ；
• $P(U=2,V=1)=\frac{2}{9}+\frac{2}{9}=\frac{4}{9}$ ；
• $P(U=2,V=2)=\frac{1}{9}$ 。
  这可以表示为表格形式。

(2) 对于协方差 $\mathrm{Cov}(U,V)$ ，计算如下：
首先，求 $U$ 和 $V$ 的边缘分布：

• $P(U=1)=\frac{4}{9}$ ， $P(U=2)=\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}$ ，故 $E[U]=1\times \frac{4}{9}+2\times \frac{5}{9}=\frac{14}{9}$ ；
• $P(V=1)=\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$ ， $P(V=2)=\frac{1}{9}$ ，故 $E[V]=1\times \frac{8}{9}+2\times \frac{1}{9}=\frac{10}{9}$ 。
  其次，求 $E[UV]$ ：
• $E[UV]=1\times \frac{4}{9}+2\times \frac{4}{9}+4\times \frac{1}{9}=\frac{4}{9}+\frac{8}{9}+\frac{4}{9}=\frac{16}{9}$ 。
  因此，
  $\mathrm{Cov}(U,V)=E[UV]-E[U]E[V]=\frac{16}{9}-\frac{14}{9}\times \frac{10}{9}=\frac{144}{81}-\frac{140}{81}=\frac{4}{81}.$