2006 年真题

【答案】 $-2$

【解析】
已知矩阵 $A=(2a_1+a_2,a_1-a_2)$ ， $B=(a_1,a_2)$ ，且 $|A|=6$ 。
设矩阵 $K=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$ ，则 $A=BK$ 。
由行列式性质， $|A|=|B|\cdot |K|$ 。
计算 $|K|=\det \left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=(2)(-1)-(1)(1)=-3$ 。
代入已知条件， $6=|B|\cdot (-3)$ ，解得 $|B|=-2$ 。

或者直接利用行列式的线性性质：

其中

所以

即 $6=-3|B|$ ，解得 $|B|=-2$ 。

故答案为 $-2$ 。

【答案】

【解析】
由方程 $BA=B+2E$ ，移项得 $BA-B=2E$ ，即 $B(A-E)=2E$ 。

计算 $A-E=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ 。

设 $C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ ，则 $BC=2E=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ 。

求 $C$ 的逆矩阵：行列式为 $1\times 1-1\times (-1)=2$ ，故 $C^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ 。

因此

验证：

两者相等，故结果正确。

【答案】
(1) $a=0.2$ , $b=0.1$ , $c=0.1$
(2) $Z$ 的概率分布为：

(3) $P\{X=Z\}=0.2$

【解析】
(1) 由概率分布的性质，所有概率之和为1，即：

简化得：

$X$ 的数学期望 $EX=-0.2$ ，先求 $X$ 的边缘分布：

则：

设等于 $-0.2$ ：

即：

条件概率 $P\{Y\le 0\mid X\le 0\}=0.5$ ，其中：

所以：

令 $s=a+b$ ，则：

解方程：

即：

由 (1) 和 (3) 得：

代入(2)：

代入(3)：

故 $a=0.2$ ， $b=0.1$ ， $c=0.1$ 。

(2) $Z=X+Y$ ，可能取值为-2、-1、0、1、2。计算各值的概率：

• $P(Z=-2)=P(X=-1,Y=-1)=0.2$
• $P(Z=-1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=0,Y=-1)=0+0.1=0.1$
• $P(Z=0)=P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=-1)=0.2+0.1+0=0.3$
• $P(Z=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)=0.2+0.1=0.3$
• $P(Z=2)=P(X=1,Y=1)=0.1$ 故 $Z$ 的概率分布如上表。

(3) $P\{X=Z\}$ ，由 $Z=X+Y$ ，得 $X=X+Y$ ，即 $Y=0$ 。所以：