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2004 年真题

23 题

填空题

1～6小题，每小题4分，共24分

1

同试卷 3 第 1 题

2

设 $y = arctan e^{x} - ln \frac{e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 1}$ ，则 $\frac{d y}{d x}_{x = 1} =$ ______．

查看答案与解析

【答案】

\frac{e - 1}{1 + e ^{2}}

【解析】 首先，简化函数表达式：

y = arctan e^{x} - ln \frac{e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 1} = arctan e^{x} - \frac{1}{2} ln (\frac{e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 1}) = arctan e^{x} - \frac{1}{2} [2 x - ln (e^{2 x} + 1)] = arctan e^{x} - x + \frac{1}{2} ln (e^{2 x} + 1)

然后，对 $y$ 求导：

\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} (arctan e^{x}) - \frac{d}{d x} (x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [ln (e^{2 x} + 1)]

其中：

\frac{d}{d x} (arctan e^{x}) = \frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}}, \frac{d}{d x} (x) = 1, \frac{d}{d x} [ln (e^{2 x} + 1)] = \frac{2 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 1}

所以：

\frac{d y}{d x} = \frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}} - 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 1} = \frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}} - 1 + \frac{e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 1}

合并后两项：

- 1 + \frac{e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 1} = \frac{- ( e ^{2 x} + 1 ) + e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 1} = \frac{- 1}{e ^{2 x} + 1}

因此：

\frac{d y}{d x} = \frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}} - \frac{1}{1 + e ^{2 x}} = \frac{e ^{x} - 1}{1 + e ^{2 x}}

代入 $x = 1$ ：

\frac{d y}{d x}_{x = 1} = \frac{e ^{1} - 1}{1 + e ^{2 \cdot 1}} = \frac{e - 1}{1 + e ^{2}}

3

同试卷 3 第 3 题

4

设 $A = 010 - 1 00 00 - 1$ ， $B = P^{- 1} A P$ ，其中 $P$ 为三阶可逆矩阵，则 $B^{2004} - 2 A^{2} =$ ______．

查看答案与解析

【答案】

300030 00 - 1

【解析】 给定矩阵 $A = 010 - 1 00 00 - 1$ ，且 $B = P^{- 1} A P$ ，其中 $P$ 为三阶可逆矩阵。需要计算 $B^{2004} - 2 A^{2}$ 。

首先，计算 $A^{2004}$ 。矩阵 $A$ 为分块对角矩阵，可写为：

A = (A_{1} 0 0 A_{2})

其中 $A_{1} = (01 - 1 0)$ ， $A_{2} = (- 1)$ 。则 $A^{k} = (A_{1}^{k} 0 0 A_{2}^{k})$ 对于任意正整数 $k$ 。

计算 $A_{1}^{2004}$ ：

$A_{1}^{2} = (01 - 1 0) (01 - 1 0) = (- 1 0 0 - 1) = - I_{2}$ 。
$A_{1}^{4} = (A_{1}^{2})^{2} = (- I_{2})^{2} = I_{2}$ 。
由于 $2004 = 4 \times 501$ ，所以 $A_{1}^{2004} = I_{2}$ 。

计算 $A_{2}^{2004}$ ：

$A_{2} = - 1$ ，所以 $A_{2}^{2004} = (- 1)^{2004} = 1$ 。

因此，

A^{2004} = (A_{1}^{2004} 0 0 A_{2}^{2004}) = (I_{2} 0 01) = I_{3}

接下来，计算 $B^{2004}$ ：由于 $B = P^{- 1} A P$ ，则 $B^{2004} = P^{- 1} A^{2004} P = P^{- 1} I_{3} P = I_{3}$ 。

然后，计算 $A^{2}$ ：

A^{2} = (A_{1}^{2} 0 0 A_{2}^{2}) = (- I_{2} 0 0 A_{2}^{2})

其中 $A_{1}^{2} = - I_{2}$ ， $A_{2}^{2} = (- 1)^{2} = 1$ ，所以

A^{2} = - 1 00 0 - 1 0 001

最后，计算 $B^{2004} - 2 A^{2}$ ：

B^{2004} - 2 A^{2} = I_{3} - 2 - 1 00 0 - 1 0 001 = 100010001 - - 2 00 0 - 2 0 002 = 300030 00 - 1

故答案为 $300030 00 - 1$ 。

5

设 $A = (a_{ij})_{3 \times 3}$ 是实正交矩阵，且 $a_{11} = 1$ , $b = (1, 0, 0)^{T}$ ，则线性方程组 $A x = b$ 的解是 ______．

查看答案与解析

【答案】 $(1, 0, 0)^{T}$

【解析】
设 $A$ 为 $3 \times 3$ 实正交矩阵，且 $a_{11} = 1$ 。由于正交矩阵的行向量组是标准正交组，第一行向量的模长为 $1$ ，即

a_{11}^{2} + a_{12}^{2} + a_{13}^{2} = 1

代入 $a_{11} = 1$ ，得

a_{12}^{2} + a_{13}^{2} = 0

因此 $a_{12} = 0$ ， $a_{13} = 0$ ，即 $A$ 的第一行为 $(1, 0, 0)$ 。

同理，正交矩阵的列向量组也是标准正交组。第一列向量为 $(a_{11}, a_{21}, a_{31})^{T}$ ，其模长为 $1$ ，且与其他列向量正交。由第一行为 $(1, 0, 0)$ 可知，第一列向量与第一行向量点积为 $1$ ，结合正交性，可得 $a_{21} = 0$ ， $a_{31} = 0$ ，因此第一列向量为 $(1, 0, 0)^{T}$ 。

线性方程组 $A x = b$ 的解为 $x = A^{- 1} b$ 。由于 $A$ 是正交矩阵， $A^{- 1} = A^{T}$ ，故

x = A^{T} b

计算 $A^{T} b$ ，即 $A^{T}$ 的第一列与 $b$ 的点积，因 $b = (1, 0, 0)^{T}$ ，故

x = (1, 0, 0)^{T}

因此，方程组 $A x = b$ 的解为 $(1, 0, 0)^{T}$ 。

6

同试卷 1 第 6 题

选择题

7～14小题，每小题4分，共32分

10

设 $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 1, 0, - 1, x > 0, x = 0, x < 0,$ $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ ，则

查看答案与解析

正确答案：B

正确答案：B

【解析】 首先计算 $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ 。根据 $f (x)$ 的定义，分段计算积分：
当 $x > 0$ 时， $F (x) = \int_{0}^{x} 1 d t = x$ ；
当 $x < 0$ 时， $F (x) = \int_{0}^{x} (- 1) d t = - x$ ；
当 $x = 0$ 时， $F (0) = \int_{0}^{0} f (t) d t = 0$ 。
因此， $F (x) = ∣ x ∣$ 。

分析连续性：
$F (x) = ∣ x ∣$ 在 $x = 0$ 处连续，因为 $lim_{x \to 0^{-}} F (x) = lim_{x \to 0^{-}} (- x) = 0$ ， $lim_{x \to 0^{+}} F (x) = lim_{x \to 0^{+}} x = 0$ ，且 $F (0) = 0$ ，故在 $x = 0$ 处连续。因此选项 A 错误。

分析可导性：
$F (x) = ∣ x ∣$ 在 $x = 0$ 处不可导，因为左导数为 $- 1$ ，右导数为 $1$ ，不相等。但在 $x \neq = 0$ 时， $F (x)$ 可导，且 $F^{'} (x) = f (x)$ （对于 $x > 0$ ， $F^{'} (x) = 1 = f (x)$ ；对于 $x < 0$ ， $F^{'} (x) = - 1 = f (x)$ ）。因此， $F (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内连续，但在 $x = 0$ 点不可导，选项 B 正确。

选项 C 和 D 声称 $F (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内可导，但实际在 $x = 0$ 处不可导，故均错误。

11

同试卷 3 第 11 题

12

同试卷 3 第 12 题

13

同试卷 1 第 13 题

14

同试卷 1 第 14 题

解答题

15～23小题，共94分

15

（本题满分 8 分）

同试卷 3 第 15 题

16

（本题满分 8 分）

同试卷 3 第 16 题

17

（本题满分 8 分）

设 $f (u, v)$ 具有连续偏导数，且满足 $f_{u}^{'} (u, v) + f_{v}^{'} (u, v) = uv$ ．求 $y (x) = e^{- 2 x} f (x, x)$ 所满足的一阶微分方程，并求其通解．

查看答案与解析

【答案】
一阶微分方程为： $y^{'} + 2 y = x^{2} e^{- 2 x}$
通解为： $y (x) = e^{- 2 x} (\frac{x ^{3}}{3} + C)$ ，其中 $C$ 为任意常数。

【解析】
给定 $y (x) = e^{- 2 x} f (x, x)$ ，对 $y (x)$ 求导：

y^{'} (x) = \frac{d}{d x} (e^{- 2 x} f (x, x)) = e^{- 2 x} \cdot \frac{d}{d x} f (x, x) + f (x, x) \cdot \frac{d}{d x} e^{- 2 x}

其中 $\frac{d}{d x} e^{- 2 x} = - 2 e^{- 2 x}$ ，且

\frac{d}{d x} f (x, x) = f_{u}^{'} (x, x) \cdot \frac{d u}{d x} + f_{v}^{'} (x, x) \cdot \frac{d v}{d x} = f_{u}^{'} (x, x) + f_{v}^{'} (x, x)

由条件 $f_{u}^{'} (u, v) + f_{v}^{'} (u, v) = uv$ ，代入 $u = x$ , $v = x$ 得：

f_{u}^{'} (x, x) + f_{v}^{'} (x, x) = x \cdot x = x^{2}

因此，

y^{'} (x) = e^{- 2 x} \cdot x^{2} - 2 e^{- 2 x} f (x, x) = x^{2} e^{- 2 x} - 2 y (x)

整理得一阶微分方程：

y^{'} + 2 y = x^{2} e^{- 2 x}

该方程为一阶线性微分方程，标准形式为 $y^{'} + P (x) y = Q (x)$ ，其中 $P (x) = 2$ , $Q (x) = x^{2} e^{- 2 x}$ 。
求解通解：

y = e^{- \int P (x) d x} (\int Q (x) e^{\int P (x) d x} d x + C)

计算 $\int P (x) d x = \int 2 d x = 2 x$ ，所以 $e^{\int P (x) d x} = e^{2 x}$ ，
则：

\int Q (x) e^{\int P (x) d x} d x = \int x^{2} e^{- 2 x} \cdot e^{2 x} d x = \int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + C

因此，

y = e^{- 2 x} (\frac{x ^{3}}{3} + C)

即为通解。

18

（本题满分 9 分）

同试卷 3 第 18 题

19

（本题满分 9 分）

设 $F (x) = {e^{2 x}, e^{- 2 x}, x \leq 0, x > 0,$ $S$ 表示夹在 $x$ 轴与曲线 $y = F (x)$ 之间的面积．对任何 $t > 0$ ， $S_{1} (t)$ 表示矩形 $- t \leq x \leq t, 0 \leq y \leq F (t)$ 的面积．求：

(1) $S (t) = S - S_{1} (t)$ 的表达式；

(2) $S (t)$ 的最小值．

查看答案与解析

【答案】
(1) $S (t) = 1 - 2 t e^{- 2 t}$
(2) $S (t)$ 的最小值为 $1 - \frac{1}{e}$

【解析】
首先，计算夹在 $x$ 轴与曲线 $y = F (x)$ 之间的总面积 $S$ 。由于 $F (x)$ 是偶函数，且

S = \int_{- \infty}^{\infty} F (x) d x = \int_{- \infty}^{0} e^{2 x} d x + \int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x,

计算得

\int_{- \infty}^{0} e^{2 x} d x = [\frac{1}{2} e^{2 x}]_{- \infty}^{0} = \frac{1}{2}, \int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x = [- \frac{1}{2} e^{- 2 x}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2},

所以 $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ 。

对于 $t > 0$ ，矩形面积 $S_{1} (t)$ 为

S_{1} (t) = 2 t \cdot F (t) = 2 t \cdot e^{- 2 t},

因此

S (t) = S - S_{1} (t) = 1 - 2 t e^{- 2 t} .

接下来，求 $S (t)$ 的最小值。令 $g (t) = 1 - 2 t e^{- 2 t}$ ，则求 $g (t)$ 的最小值等价于求 $h (t) = 2 t e^{- 2 t}$ 的最大值。对 $h (t)$ 求导：

h^{'} (t) = 2 e^{- 2 t} - 4 t e^{- 2 t} = 2 e^{- 2 t} (1 - 2 t) .

令 $h^{'} (t) = 0$ ，得 $t = \frac{1}{2}$ 。当 $t < \frac{1}{2}$ 时， $h^{'} (t) > 0$ ; 当 $t > \frac{1}{2}$ 时， $h^{'} (t) < 0$ ，所以 $h (t)$ 在 $t = \frac{1}{2}$ 处取得最大值。最大值为

h (\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 \cdot \frac{1}{2}} = e^{- 1} = \frac{1}{e},

因此 $S (t)$ 的最小值为

g (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{e} .

20

（本题满分 13 分）

设线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + λ x_{2} + μ x_{3} + x_{4} = 0, 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 x_{4} = 0, 3 x_{1} + (2 + λ) x_{2} + (4 + μ) x_{3} + 4 x_{4} = 1.

已知 $(1, - 1, 1, - 1)^{T}$ 是该方程组的一个解，试求：

(1) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；

(2) 该方程组满足 $x_{2} = x_{3}$ 的全部解．

查看答案与解析

【答案】
(1) 当 $λ \neq = \frac{1}{2}$ 时，方程组的全部解为：

X = 1 - 1 1 - 1 + k - 2 1 - 1 2, k \in R

当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，方程组的全部解为：

X = 1 - 1 1 - 1 + c_{1} 1 - 3 10 + c_{2} - 1 - 2 02, c_{1}, c_{2} \in R

(2) 当 $λ \neq = \frac{1}{2}$ 时，满足 $x_{2} = x_{3}$ 的全部解为：

X = - 1 001

当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，满足 $x_{2} = x_{3}$ 的全部解为：

X = 211 - 3 + c_{1} 311 - 4, c_{1} \in R

【解析】
已知 $(1, - 1, 1, - 1)^{T}$ 是方程组的一个解，代入方程组得 $μ = λ$ 。因此方程组化为：

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + λ x_{2} + λ x_{3} + x_{4} = 0, 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 x_{4} = 0, 3 x_{1} + (2 + λ) x_{2} + (4 + λ) x_{3} + 4 x_{4} = 1.

特解为 $X_{p} = (1, - 1, 1, - 1)^{T}$ 。

考虑齐次方程组：

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + λ x_{2} + λ x_{3} + x_{4} = 0, 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 x_{4} = 0, 3 x_{1} + (2 + λ) x_{2} + (4 + λ) x_{3} + 4 x_{4} = 0.

对系数矩阵进行行变换：

A = 123 λ 1 2 + λ λ 1 4 + λ 124 \to 100 λ 1 - 2 λ 2 - 2 λ λ 1 - 2 λ 4 - 2 λ 101

对于 (1)，分情况讨论：

当 $λ \neq = \frac{1}{2}$ 时，从第二行得 $x_{2} + x_{3} = 0$ ，代入第三行得 $x_{4} = 2 x_{2}$ ，代入第一行得 $x_{1} = - 2 x_{2}$ 。令 $x_{2} = k$ ，则齐次解为 $X_{h} = k (- 2, 1, - 1, 2)^{T}$ ，基础解系含一个向量。全部解为 $X = X_{p} + X_{h}$ 。
当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，系数矩阵行简化后为： $100010 - 1 30 0.5 10$ 得 $x_{1} = x_{3} - 0.5 x_{4}$ ， $x_{2} = - 3 x_{3} - x_{4}$ 。令 $x_{3} = c_{1}$ ， $x_{4} = 2 c_{2}$ ，则齐次解为 $X_{h} = c_{1} (1, - 3, 1, 0)^{T} + c_{2} (- 1, - 2, 0, 2)^{T}$ ，基础解系含两个向量。全部解为 $X = X_{p} + X_{h}$ 。

对于 (2)，要求 $x_{2} = x_{3}$ ：

当 $λ \neq = \frac{1}{2}$ 时，解为 $X = (1, - 1, 1, - 1)^{T} + k (- 2, 1, - 1, 2)^{T}$ ，分量满足 $- 1 + k = 1 - k$ ，得 $k = 1$ ，代入得解。
当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，解为 $X = (1, - 1, 1, - 1)^{T} + c_{1} (1, - 3, 1, 0)^{T} + c_{2} (- 1, - 2, 0, 2)^{T}$ ，分量满足 $- 1 - 3 c_{1} - 2 c_{2} = 1 + c_{1}$ ，得 $c_{2} = - 1 - 2 c_{1}$ ，代入得解，其中 $c_{1}$ 为任意常数。

21

（本题满分 13 分）

设三阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 $2$ ， $λ_{1} = λ_{2} = 6$ 是 $A$ 的二重特征值．若 $α_{1} = (1, 1, 0)^{T}$ , $α_{2} = (2, 1, 1)^{T}$ , $α_{3} = (- 1, 2, - 3)^{T}$ 都是 $A$ 的属于特征值 $6$ 的特征向量．

(1) 求 $A$ 的另一特征值和对应的特征向量；

(2) 求矩阵 $A$ ．

查看答案与解析

【答案】
(1) 另一特征值为 $0$ ，对应的特征向量为 $(1, - 1, - 1)^{T}$ （或任何非零倍数）。
(2) 矩阵 $A = 422 24 - 2 2 - 2 4$ .

【解析】
(1) 由于 $A$ 是实对称矩阵且秩为 $2$ ，故行列式为 $0$ ，因此另一特征值必为 $0$ 。设特征值 $0$ 对应的特征向量为 $β = (x, y, z)^{T}$ ，由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，故 $β$ 与特征值 $6$ 的特征向量 $α_{1} = (1, 1, 0)^{T}$ 和 $α_{2} = (2, 1, 1)^{T}$ 正交，即 $β \cdot α_{1} = 0$ 和 $β \cdot α_{2} = 0$ ：

x + y = 0, 2 x + y + z = 0.

由 $x + y = 0$ 得 $y = - x$ ，代入第二式得 $2 x - x + z = 0$ ，即 $x + z = 0$ ，故 $z = - x$ 。因此 $β = (x, - x, - x)^{T} = x (1, - 1, - 1)^{T}$ ，取 $x = 1$ 得特征向量 $(1, - 1, - 1)^{T}$ .

(2) 为求矩阵 $A$ ，采用对角化方法。取特征向量矩阵 $P = 110211 1 - 1 - 1$ ，对角矩阵 $D = 600060000$ ，则 $A = P D P^{- 1}$ . 计算 $P^{- 1}$ 得：

P^{- 1} = 0 \frac{1}{3} \frac{1}{3} 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - 1 \frac{2}{3} - \frac{1}{3} .

先计算 $D P^{- 1}$ ：

D P^{- 1} = 020 6 - 2 0 - 6 40 .

然后计算 $A = P (D P^{- 1})$ ：

A = 110211 1 - 1 - 1 020 6 - 2 0 - 6 40 = 422 24 - 2 2 - 2 4 .

验证可知 $A$ 满足条件：秩为 $2$ ，特征值为 $6, 6, 0$ ，且给定向量均为特征值 $6$ 的特征向量。

22

（本题满分 13 分）

同试卷 3 第 22 题

23

（本题满分 13 分）

设随机变量 $X$ 在区间 $(0, 1)$ 上服从均匀分布，在 $X = x$ （ $0 < x < 1$ ）的条件下，随机变量 $Y$ 在区间 $(0, x)$ 上服从均匀分布，求：

(1) 随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度；

(2) $Y$ 的概率密度；

(3) 概率 $P {X + Y > 1}$ ．

查看答案与解析

【答案】
(1) 随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度为： $f_{X, Y} (x, y) = {\frac{1}{x}, 0, 0 < y < x < 1 其他$
(2) $Y$ 的概率密度为： $f_{Y} (y) = {- ln y, 0, 0 < y < 1 其他$
(3) 概率 $P {X + Y > 1} = 1 - ln 2$

【解析】
(1) 由于 $X$ 在区间 $(0, 1)$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为 $f_{X} (x) = 1$ （ $0 < x < 1$ ）。在 $X = x$ 的条件下， $Y$ 在区间 $(0, x)$ 上服从均匀分布，其条件概率密度函数为 $f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = \frac{1}{x}$ （ $0 < y < x$ ）。因此，联合概率密度函数为：

f_{X, Y} (x, y) = f_{Y ∣ X} (y ∣ x) f_{X} (x) = \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x}, 0 < y < x < 1

在其他区域，联合概率密度为 0。

(2) $Y$ 的概率密度函数通过对联合概率密度函数关于 $x$ 积分得到：

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x

由于 $f_{X, Y} (x, y) = \frac{1}{x}$ 仅在 $0 < y < x < 1$ 时非零，因此对于固定的 $y$ ， $x$ 的取值范围为 $y < x < 1$ 。于是：

f_{Y} (y) = \int_{x = y}^{1} \frac{1}{x} d x = [ln x]_{x = y}^{x = 1} = ln 1 - ln y = - ln y, 0 < y < 1

在其他区域， $f_{Y} (y) = 0$ 。

(3) 概率 $P {X + Y > 1}$ 通过计算联合概率密度函数在区域 $x + y > 1$ 上的二重积分得到。积分区域受限于 $0 < y < x < 1$ 和 $x + y > 1$ 。分析可知，当 $x \leq \frac{1}{2}$ 时， $y < x \leq \frac{1}{2}$ ，且 $x + y \leq x + x = 2 x \leq 1$ ，不满足 $x + y > 1$ 。因此， $x$ 必须满足 $\frac{1}{2} < x < 1$ ，且对于每个 $x$ ， $y$ 的取值范围为 $1 - x < y < x$ 。于是：

P {X + Y > 1} = \int_{x = \frac{1}{2}}^{1} \int_{y = 1 - x}^{x} \frac{1}{x} d y d x

先计算内层积分：

\int_{y = 1 - x}^{x} \frac{1}{x} d y = \frac{1}{x} [y]_{y = 1 - x}^{y = x} = \frac{1}{x} (x - (1 - x)) = \frac{1}{x} (2 x - 1) = 2 - \frac{1}{x}

然后计算外层积分：

\int_{x = \frac{1}{2}}^{1} (2 - \frac{1}{x}) d x = [2 x - ln x]_{x = \frac{1}{2}}^{x = 1} = (2 \cdot 1 - ln 1) - (2 \cdot \frac{1}{2} - ln \frac{1}{2}) = (2 - 0) - (1 - (- ln 2)) = 2 - (1 + ln 2) = 1 - ln 2

因此， $P {X + Y > 1} = 1 - ln 2$ 。