2003 年真题

【解析】
应选 (D)。取 $f(x)=x$ ，此时

可排除 (A)，(B)，(C) 三项。

下面证明 (D) 是正确的：由 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ ，知 $g(x)$ 在 $x=0$ 处没定义，故 $x=0$ 为 $g(x)$ 的间断点。由 $f(x)$ 为奇函数知 $f(0)=0$ ，从而

故 $x=0$ 为可去间断点。

【解析】
由 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，知它在点 $(x_0,y_0)$ 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的两个偏导数都等于零。从而有

【解析】
给定 $p_n=\frac{a_n+|a_n|}{2}$ 和 $q_n=\frac{a_n-|a_n|}{2}$ ，则 $p_n$ 表示 $a_n$ 的正部（当 $a_n\ge 0$ 时 $p_n=a_n$ ，否则 $p_n=0$ ）， $q_n$ 表示 $a_n$ 的负部（当 $a_n<0$ 时 $q_n=a_n$ ，否则 $q_n=0$ ）。

若 $\sum a_n$ 绝对收敛，即 $\sum |a_n|$ 收敛，则由于 $0\le p_n\le |a_n|$ 和 $|q_n|\le |a_n|$ ，由比较判别法可知 $\sum p_n$ 和 $\sum q_n$ 均收敛，故选项 B 正确。

若 $\sum a_n$ 条件收敛，即 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 发散，则 $\sum p_n$ 和 $\sum q_n$ 均发散（因为若其中一个收敛，则另一个也收敛，导致 $\sum |a_n|$ 收敛，矛盾），故选项 A 和 C 错误。选项 D 也错误，因为绝对收敛时 $\sum p_n$ 和 $\sum q_n$ 均收敛。

【解析】
$A$ 与其伴随矩阵 $A^{\ast }$ 秩之间有关系

因此可得 $r(A)=2$ 。它的秩小于它的列数或者行数，故有 $|A|=0$ ，即

即有 $a+2b=0$ 或 $a=b$ 。当 $a=b$ 时，

显然 $r(A)=1\ne 2$ ，故必有 $a\ne b$ 且 $a+2b=0$ 。

【解析】
选项 A 正确，因为如果对任意一组不全为零的数 $k_1,k_2,\dots ,k_s$ ，都有

则不存在不全为零的数使得线性组合为零向量，因此向量组线性无关。

选项 B 错误，因为向量组线性相关仅意味着存在一组不全为零的数使得线性组合为零向量，而不是对任意一组不全为零的数都成立。
例如，取 $n=2$ ， ${\alpha }_1=(1,0)$ ， ${\alpha }_2=(2,0)$ ，它们线性相关，但取 $k_1=1,k_2=1$ ，则

选项 C 正确，因为向量组线性无关当且仅当其秩等于向量个数 $s$ 。

选项 D 正确，因为如果向量组线性无关，则其中任意两个向量也线性无关，这是必要条件。

【解析】
掷两次硬币的样本空间为 $\{HH,HT,TH,TT\}$ ，每个结果的概率为 $1/4$ 。
计算事件概率：

对于选项 A，检查 $A_1,A_2,A_3$ 相互独立：
虽然两两独立成立

但

因此不相互独立。

对于选项 B，检查 $A_2,A_3,A_4$ 相互独立：

故不满足两两独立，更不相互独立。

对于选项 C，检查 $A_1,A_2,A_3$ 两两独立：
如上所述，所有两两交集的概率等于各自概率的乘积，因此两两独立成立。

对于选项 D，检查 $A_2,A_3,A_4$ 两两独立：

故不满足两两独立。

因此，正确答案为 C。