2002 年真题

【答案】 $-2$

【解析】
函数在 $x=0$ 处连续，需满足左极限、右极限与函数值相等。
当 $x\le 0$ 时， $f(x)=a{e}^{2x}$ ，故 $f(0)=a{e}^0=a$ 。
左极限为 ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}a{e}^{2x}=a\cdot 1=a$ 。
右极限为 ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1-e^{\tan x}}{\arcsin \frac{x}{2}}$ 。
当 $x\to 0^{+}$ 时，分子 $1-e^{\tan x}\sim -\tan x\sim -x$ ，分母 $\arcsin \frac{x}{2}\sim \frac{x}{2}$ ，因此

使用洛必达法则验证：
分子导数为 $-e^{\tan x}{\sec }^{2}x$ ，分母导数为 $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}}$ ，
于是

代入 $x=0$ ，得 $-1\cdot 1\cdot 2\cdot 1=-2$ 。
因此，右极限为 $-2$ 。
由连续性，左极限、右极限与函数值相等，即 $a=-2$ 。

【答案】 $1$

【解析】 需要计算曲线 $y=x{e}^{-x}$ （其中 $0\le x<+\infty$ ）下方、 $x$ 轴上方的无界图形的面积，即计算积分 ${\int }_0^{\infty }x{e}^{-x}dx$ 。

使用分部积分法：设 $u=x$ ， $dv=e^{-x}dx$ ，则 $du=dx$ ， $v=-e^{-x}$ 。代入分部积分公式：

计算定积分：

当 $b\to \infty$ 时， $e^{-b}\to 0$ ，且 $e^{-b}(b+1)\to 0$ ，因此极限为 1。故积分值为 1，即所求面积为 1。

【答案】 $\frac{2\sqrt{2}}{\pi }$

【解析】
令 $f(x)=\sqrt{1+\cos x}$ , $\Delta x_i=\frac{\pi }{n}$ ( $i=1,2,\cdots ,n$ )，由定积分的定义有

【答案】 $4$

【解析】
给定矩阵 A=​02−2​−22−2​−2−22​​ ，求其特征值。
计算特征多项式 $\det (A-\lambda I)$ ：

展开行列式：

计算各子式：
第一项： $-\lambda \left((2-\lambda {)}^2-4\right)=-\lambda ({\lambda }^2-4\lambda )=-{\lambda }^3+4{\lambda }^2$
第二项： $2\left(2(2-\lambda )-4\right)=2(-2\lambda )=-4\lambda$
第三项： $-2\left(-4+2(2-\lambda )\right)=-2(-2\lambda )=4\lambda$
求和：

特征方程为 $-{\lambda }^2(\lambda -4)=0$ ，解得特征值 $\lambda =0$ （重根）和 $\lambda =4$ 。
非零特征值为 $4$ 。
验证：矩阵的迹为 $0+2+2=4$ ，特征值之和为 $0+0+4=4$ ，吻合。

【答案】
切线方程： $4x-4y-3\sqrt{3}+5=0$ 或 $y=x+\frac{5-3\sqrt{3}}{4}$
法线方程： $4x+4y+1-\sqrt{3}=0$ 或 $y=-x+\frac{\sqrt{3}-1}{4}$

【解析】
由极坐标到直角坐标的变换公式

得参数方程为

曲线上 $\theta =\frac{\pi }{6}$ 的点对应的直角坐标为

切线斜率为

于是切线的直角坐标方程为

法线的直角坐标方程为

【答案】

【解析】 函数 $F(x)={\int }_{-1}^{x}f(t)dt$ 需根据 $x$ 所在区间分段计算。

当 $x\in [-1,0)$ 时， $f(t)=2t+\frac{3}{2}{t}^2$ ，积分计算为：

当 $x\in [0,1]$ 时，积分分为两部分：

首先计算 ${\int }_{-1}^{0}f(t)dt$ ，其中 $f(t)=2t+\frac{3}{2}{t}^2$ ：

然后计算 ${\int }_0^{x}f(t)dt$ ，其中 $f(t)=\frac{t{e}^t}{(e^t+1{)}^2}$ 。使用分部积分，设 $u=t$ , $dv=\frac{e^t}{(e^t+1{)}^2}dt$ ，则 $du=dt$ , $v=-\frac{1}{e^t+1}$ ：

计算 ${\int }_0^x\frac{1}{e^t+1}dt$ ：

代入得：

简化 $-\ln (1+e^{-x})=x-\ln (e^x+1)$ ，且 $-\frac{x}{e^x+1}+x=\frac{x{e}^x}{e^x+1}$ ，因此：

于是：

在 $x=0$ 处，两段表达式均得 $F(0)=-\frac{1}{2}$ ，故连续。

【答案】
$f(x)=e^{-\frac{1}{x}}$

【解析】
已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内可导，且 $f(x)>0$ ， ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$ ，并满足极限条件：

对极限取自然对数：

由于对数函数连续，可交换极限与对数顺序：

令 $g(x)=\ln f(x)$ ，则：

所以：

令 $k=hx$ ，则当 $h\to 0$ 时 $k\to 0$ ，且 $h=k/x$ ，代入得：

因此：

于是：