2000 年真题

【答案】

其中 $u=xy$ , $v=\frac{x}{y}$ . 或者使用偏导数记号：

其中 $f_1$ 表示 $f$ 对第一个变量的偏导数， $f_2$ 表示 $f$ 对第二个变量的偏导数， $g^{\prime }$ 表示 $g$ 对它的变量的导数。

【解析】
设 $u=xy$ , $v=\frac{x}{y}$ ，则 $z=f(u,v)+g(v)$ 。
求偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ，使用链式法则：

计算 $\frac{\partial u}{\partial x}=y$ , $\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{y}$ ，代入得：

因此，结果为 $y\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial v}+\frac{1}{y}\frac{\partial g}{\partial v}$ 。

【答案】 $\frac{\pi }{4e}$

【解析】
考虑积分 $I={\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{2-x}}$ 。
分母可写为 ${\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^2{\mathrm{e}}^{-x}$ ，分子分母同时乘以 ${\mathrm{e}}^x$ ，得：

令 $t={\mathrm{e}}^x$ ，则 $dt={\mathrm{e}}^{x}dx$ ，积分限变为：当 $x=1$ 时 $t=\mathrm{e}$ ，当 $x\to +\infty$ 时 $t\to +\infty$ 。
于是：

该积分是标准形式，有：

其中 $a=\mathrm{e}$ ，所以：

因此，积分值为 $\frac{\pi }{4e}$ 。

【答案】 $24$

【解析】 由于矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，它们具有相同的特征值，即 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$ 。
设 $\lambda$ 为 $B$ 的特征值，则 $B^{-1}$ 的特征值为 ${\lambda }^{-1}$ ，进而 $B^{-1}-E$ 的特征值为 ${\lambda }^{-1}-1=\frac{1-\lambda }{\lambda }$ 。
因此，行列式

计算乘积：

于是，

故答案为 24。

【答案】 $[1,3]$

【解析】
随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上为 $1/3$ ，在区间 $[3,6]$ 上为 $2/9$ ，其余区间为 0。需要求 $k$ 使得 $P\{X\ge k\}=\frac{2}{3}$ 。

计算 $P\{X\ge k\}$ 需考虑 $k$ 的不同取值范围：

• 当 $k\le 0$ 时， $P\{X\ge k\}=1>\frac{2}{3}$ ，不满足。
• 当 $k>6$ 时， $P\{X\ge k\}=0<\frac{2}{3}$ ，不满足。
• 当 $k\in [0,1]$ 时， $P\{X\ge k\}={\int }_k^1\frac{1}{3}dx+{\int }_3^6\frac{2}{9}dx=\frac{1}{3}(1-k)+\frac{2}{3}.$ 令其等于 $\frac{2}{3}$ ，得 $\frac{1}{3}(1-k)=0$ ，即 $k=1$ 。
• 当 $k\in (1,3)$ 时， $P\{X\ge k\}={\int }_3^6\frac{2}{9}dx=\frac{2}{3},$ 恒满足。
• 当 $k\in [3,6]$ 时， $P\{X\ge k\}={\int }_k^6\frac{2}{9}dx=\frac{2}{9}(6-k).$ 令其等于 $\frac{2}{3}$ ，得 $\frac{2}{9}(6-k)=\frac{2}{3}$ ，解得 $k=3$ 。

综上，当 $k\in [1,3]$ 时， $P\{X\ge k\}=\frac{2}{3}$ 。因此， $k$ 的取值范围是 $[1,3]$ 。

【答案】
$\frac{8}{9}$

【解析】
随机变量 $X$ 在区间 $[-1,2]$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为 $f_X(x)=\frac{1}{3}$ ，其中 $x\in [-1,2]$ 。
随机变量 $Y$ 的定义为：

由于 $X$ 是连续随机变量，有 $P(X=0)=0$ ，因此 $P(Y=0)=0$ 。
计算 $Y$ 的概率分布：

• $P(Y=1)=P(X>0)={\int }_0^2\frac{1}{3}dx=\frac{2}{3}$ ，
• $P(Y=-1)=P(X<0)={\int }_{-1}^0\frac{1}{3}dx=\frac{1}{3}$ 。
  于是， $Y$ 的期望为：
  $E[Y]=1\cdot \frac{2}{3}+(-1)\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$ $Y^2$ 的期望为：
  $E[Y^2]=1^2\cdot \frac{2}{3}+(-1{)}^2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1.$ 方差为：
  $D(Y)=E[Y^2]-(E[Y]{)}^2=1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.$ 因此，方差 $D(Y)=\frac{8}{9}$ 。

【答案】 $y=\frac{1}{4}(e^{2x}-1)+\frac{1}{2}x{e}^{2x}$

【解析】
给定微分方程 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }-e^{2x}=0$ 满足条件 $y(0)=0$ ， $y^{\prime }(0)=1$ 。

首先求解齐次方程 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }=0$ 。特征方程为 $r^2-2r=0$ ，解得 $r=0$ 和 $r=2$ ，齐次解为 $y_h=C_1+C_2{e}^{2x}$ 。

非齐次项为 $e^{2x}$ ，由于 $e^{2x}$ 是齐次解的一部分，设特解 $y_p=Ax{e}^{2x}$ 。计算导数：

代入原方程：

解得 $A=\frac{1}{2}$ ，特解为 $y_p=\frac{1}{2}x{e}^{2x}$ 。