2000 年真题

【解析】
已知 $f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)<0$ ，考虑函数

由于 $g(x)>0$ ，函数 $h(x)$ 可导，且导数为

分母恒正，分子小于零，因此 $h^{\prime }(x)<0$ ，即 $h(x)$ 严格递减。

当 $a<x<b$ 时，由 $h(x)$ 递减可得

即

两边同乘 $g(x)g(b)$ （正数），得

即选项 A 成立。

选项 B：

但由 $h(x)$ 递减及 $a<x$ ，得 $h(a)>h(x)$ ，因此 B 不成立。

选项 C 和 D 涉及乘积 $f(x)g(x)$ 的单调性，无法由题设条件确定。
例如：

• 取 $f(x)=e^{-x},g(x)=1$ ，则 $f(x)g(x)=e^{-x}$ 递减，C 成立但 D 不成立。
• 取 $f(x)=x,g(x)=x^2$ （ $x>0$ ），则 $f(x)g(x)=x^3$ 递增，D 成立但 C 不成立。

因此，只有选项 A 恒成立。

【解析】
对于上半球面 $S:x^2+y^2+z^2=a^2(z\ge 0)$ 及其在第一卦限的部分 $S_1$ ，采用球坐标计算曲面积分。取参数化表示：

其中 $\varphi \in [0,\pi /2]$ ，而对于整个上半球面 $S$ ， $\theta \in [0,2\pi ]$ ；对于 $S_1$ ， $\theta \in [0,\pi /2]$ 。曲面积元为：

1. 计算 ${\iint }_{S_1}xdS$ ：

其中：

所以：

2. 计算 ${\iint }_{S}zdS$ ：

其中：

所以：

3. 比较选项：

由以上结果得：

因此选项 C 正确。

4. 分析其他选项：

• 选项 A： ${\iint }_{S}xdS=0$ （因为 ${\int }_0^{2\pi }\cos \theta d\theta =0$ ），但 $4{\iint }_{S_1}xdS=a^3\pi \ne 0$ ，不相等。
• 选项 B： ${\iint }_{S}ydS=0$ （因为 ${\int }_0^{2\pi }\sin \theta d\theta =0$ ），不相等。
• 选项 D： ${\iint }_{S}xyzdS=0$ （因为 ${\int }_0^{2\pi }\cos \theta \sin \theta d\theta =0$ ），而 $4{\iint }_{S_1}xyzdS\ne 0$ ，不相等。

结论：正确选项为 C。

【解析】 设级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，其部分和序列 $S_N={\sum }_{n=1}^N{u}_n$ 收敛于 $S$ 。考虑选项 D： ${\sum }_{n=1}^{\infty }(u_n+u_{n+1})$ ，其部分和为 $V_N={\sum }_{n=1}^N(u_n+u_{n+1})={\sum }_{n=1}^N{u}_n+{\sum }_{n=1}^N{u}_{n+1}=S_N+(S_{N+1}-u_1)$ 。由于 $S_N$ 和 $S_{N+1}$ 均收敛于 $S$ ，故 $V_N\to S+S-u_1=2S-u_1$ ，因此级数 D 收敛。

对于选项 A、B、C，均存在反例表明不一定收敛：

• A：取 $u_n=\frac{(-1{)}^n}{\ln n}$ （ $n\ge 2$ ），则 $\sum u_n$ 收敛（交错级数测试），但 $\sum (-1{)}^n\frac{u_n}{n}=\sum \frac{1}{n\ln n}$ 发散（积分测试）。
• B：取 $u_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ ，则 $\sum u_n$ 收敛，但 $\sum u_n^2=\sum \frac{1}{n}$ 发散。
• C：取 $u_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$ ，则 $\sum u_n$ 收敛，但 $\sum (u_{2n-1}-u_{2n})=\sum \left(-\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)$ 发散。

因此，仅选项 D 必收敛。

【解析】
已知 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 线性无关，且 $m<n$ ，因此矩阵 $A=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$ 的秩为 $m$ 。向量组 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_m$ 线性无关的充要条件是矩阵 $B=({\beta }_1,\dots ,{\beta }_m)$ 的秩为 $m$ 。
矩阵等价的定义是存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$ ，使得 $PAQ=B$ ，而两个矩阵等价的充要条件是它们具有相同的秩。由于 $A$ 的秩为 $m$ ，因此 $B$ 的秩为 $m$ 当且仅当 $A$ 与 $B$ 等价。故选项 D 是充分必要条件。

选项 A
若 $\alpha$ 组可由 $\beta$ 组线性表示，则存在矩阵 $C$ ，使得 $A=BC$ 。由于 $\alpha$ 组线性无关， $A$ 的秩为 $m$ ，因此 $BC$ 的秩为 $m$ ，故 $B$ 的秩至少为 $m$ 。又因为 $B$ 只有 $m$ 列，所以 $B$ 的秩为 $m$ ，即 $\beta$ 组线性无关。
但反之不成立：当 $\beta$ 组线性无关时， $\alpha$ 组不一定可由 $\beta$ 组线性表示。因此 A 不是必要条件。

选项 B
若 $\beta$ 组可由 $\alpha$ 组线性表示，则存在矩阵 $D$ ，使得 $B=AD$ 。但 $\beta$ 组可能线性相关，例如当 $\beta$ 组落在 $\alpha$ 组张成的子空间中但自身线性相关时；反之，当 $\beta$ 组线性无关时，不一定可由 $\alpha$ 组线性表示。因此 B 既不是充分也不是必要条件。

选项 C
若 $\alpha$ 组与 $\beta$ 组等价，则它们可以互相线性表示。由于 $\alpha$ 组线性无关， $\beta$ 组也必须线性无关。
但反之不成立：当 $\beta$ 组线性无关时， $\alpha$ 组与 $\beta$ 组可能张成不同的子空间，因此不一定等价。故 C 不是必要条件。

因此，正确选项为 D。

$\xi$ 和 $\eta$ 不相关的充分必要条件是它们的协方差 $\text{Cov}(\xi ,\eta )=0$ 。由于

可见 $\text{Cov}(\xi ,\eta )=0$ 等价于 $D(X)=D(Y)$ ，即 $E(X^2)-[E(X){]}^2=E(Y^2)-[E(Y){]}^2$ ，故正确选项为 (B)。