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1999 年真题

20 题

填空题

本题共5小题，每小题3分，满分15分

1

设函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ , $a \neq = 1$ ），则 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n ^{2}} ln [f (1) f (2) \dots f (n)] =$ ______．

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【答案】 $\frac{1}{2} ln a$

【解析】
函数 $f (x) = a^{x}$ ，则

f (1) f (2) \dots f (n) = a^{1} \cdot a^{2} \dots a^{n} = a^{1 + 2 + \dots + n} = a^{\frac{n ( n + 1 )}{2}}

取自然对数，得

ln [f (1) f (2) \dots f (n)] = ln (a^{\frac{n ( n + 1 )}{2}}) = \frac{n ( n + 1 )}{2} ln a

代入极限式：

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} ln [f (1) f (2) \dots f (n)] = n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} ln a = n \to \infty lim \frac{n ( n + 1 )}{2 n ^{2}} ln a = n \to \infty lim \frac{n + 1}{2 n} ln a

当 $n \to \infty$ 时， $\frac{n + 1}{2 n} \to \frac{1}{2}$ ，因此极限为 $\frac{1}{2} ln a$ 。

2

设 $f (x) = e^{x} y z^{2}$ ，其中 $z = z (x, y)$ 是由 $x + y + z + x yz = 0$ 确定的隐函数，则 $f_{x}^{'} (0, 1, - 1) =$ ______．

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【答案】 1

【解析】
给定函数 $f (x) = e^{x} y z^{2}$ ，其中 $z = z (x, y)$ 由方程 $x + y + z + x yz = 0$ 确定。需要求 $f_{x}^{'} (0, 1, - 1)$ ，即 $f$ 对 $x$ 的偏导数在点 $(0, 1, - 1)$ 处的值。

首先，求 $f$ 对 $x$ 的偏导数。由于 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，应用乘积法则和链式法则：

f_{x} = \frac{\partial}{\partial x} (e^{x} y z^{2}) = y (e^{x} z^{2} + e^{x} \cdot 2 z \cdot \frac{\partial z}{\partial x}) = y e^{x} (z^{2} + 2 z \frac{\partial z}{\partial x}) .

在点 $(0, 1, - 1)$ 处，代入 $x = 0$ , $y = 1$ , $z = - 1$ :

f_{x} (0, 1, - 1) = 1 \cdot e^{0} ((- 1)^{2} + 2 (- 1) \frac{\partial z}{\partial x}_{(0, 1)}) = 1 \cdot 1 (1 - 2 \frac{\partial z}{\partial x}_{(0, 1)}) = 1 - 2 \frac{\partial z}{\partial x}_{(0, 1)} .

接下来，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 在点 $(0, 1)$ 处的值。由隐函数方程 $F (x, y, z) = x + y + z + x yz = 0$ ，利用隐函数求导公式：

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}} .

计算偏导数：

\frac{\partial F}{\partial x} = 1 + yz, \frac{\partial F}{\partial z} = 1 + x y .

在点 $(0, 1, - 1)$ 处：

\frac{\partial F}{\partial x} = 1 + (1) (- 1) = 0, \frac{\partial F}{\partial z} = 1 + (0) (1) = 1.

所以，

\frac{\partial z}{\partial x}_{(0, 1)} = - \frac{0}{1} = 0.

代入回 $f_{x}$ :

f_{x} (0, 1, - 1) = 1 - 2 \times 0 = 1.

因此， $f_{x}^{'} (0, 1, - 1) = 1$ .

3

同试卷 3 第 3 题

4

已知 $A B - B = A$ ，其中 $B = 120 - 2 10 002$ ，则 $A =$ ______．

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【答案】

A = 1 - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} 10 002

【解析】 已知矩阵方程 $A B - B = A$ ，可改写为 $A B - A = B$ ，即 $A (B - I) = B$ ，其中 $I$ 是单位矩阵。

给定

B = 120 - 2 10 002,

则

B - I = 020 - 2 00 001 .

计算 $(B - I)^{- 1}$ ：由于 $B - I$ 是分块矩阵，其逆矩阵为

(B - I)^{- 1} = 0 - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} 00 001 .

因此，

A = B (B - I)^{- 1} = 120 - 2 10 002 0 - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} 00 001 = 1 - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} 10 002 .

验证：计算 $A B - B$ ，结果等于 $A$ ，符合原方程。

5

设 $X$ 服从参数为 $λ$ 的泊松分布，且已知 $E [(X - 1) (X - 2)] = 1$ ，则 $λ =$ ______．

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【答案】 1

【解析】
已知 $X$ 服从参数为 $λ$ 的泊松分布，且 $E [(X - 1) (X - 2)] = 1$ 。
展开 $(X - 1) (X - 2) = X^{2} - 3 X + 2$ ，则

E [(X - 1) (X - 2)] = E [X^{2} - 3 X + 2] = E [X^{2}] - 3 E [X] + 2.

对于泊松分布，有 $E [X] = λ$ ，且 $E [X^{2}] = Var (X) + (E [X])^{2} = λ + λ^{2}$ 。
代入得：

E [X^{2} - 3 X + 2] = (λ + λ^{2}) - 3 λ + 2 = λ^{2} - 2 λ + 2.

设其等于 1：

λ^{2} - 2 λ + 2 = 1,

即

λ^{2} - 2 λ + 1 = 0,

解得 $(λ - 1)^{2} = 0$ ，所以 $λ = 1$ 。
验证：当 $λ = 1$ 时， $E [X] = 1$ ， $E [X^{2}] = 1 + 1^{2} = 2$ ，则 $E [X^{2} - 3 X + 2] = 2 - 3 \times 1 + 2 = 1$ ，符合条件。
因此， $λ = 1$ 。

选择题

本题共5小题，每小题3分，满分15分

9

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差存在且不等于 $0$ ，则 $D (X + Y) = D X + D Y$ 是 $X$ 和 $Y$

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正确答案：C

正确答案：C

【解析】根据方差的性质，对于随机变量 $X$ 和 $Y$ ，有

D (X + Y) = D X + D Y + 2 Cov (X, Y)

因此， $D (X + Y) = D X + D Y$ 当且仅当 $Cov (X, Y) = 0$ 。而 $Cov (X, Y) = 0$ 正是 $X$ 和 $Y$ 不相关的定义。故 $D (X + Y) = D X + D Y$ 是 $X$ 和 $Y$ 不相关的充要条件。
选项 A、B、D 均不正确，因为不相关并不一定意味着独立，独立是更强的条件。

10

设 $X$ 服从指数分布，则 $Y = min {X, 2}$ 的分布函数

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正确答案：D

正确答案：D

【解析】
设随机变量 $X$ 服从参数为 $λ$ 的指数分布，其分布函数为

F_{X} (x) = 1 - e^{- λ x} (x \geq 0) .

考虑 $Y = min {X, 2}$ 的分布函数 $F_{Y} (y) = P (Y \leq y)$ 。

当 $y < 0$ 时， $F_{Y} (y) = 0$ 。
当 $0 \leq y < 2$ 时， $F_{Y} (y) = P (X \leq y) = 1 - e^{- λ y}$ 。
当 $y \geq 2$ 时， $F_{Y} (y) = 1$ 。

在 $y = 0$ 处， $F_{Y} (0) = 0$ ，且左极限为 $0$ ，故连续。
在 $y = 2$ 处， $F_{Y} (2) = 1$ ，左极限为 $1 - e^{- 2 λ} < 1$ ，故存在跳跃间断点。
其余点处 $F_{Y} (y)$ 连续，因此分布函数恰有一个间断点。

选项分析：
A 错误，因为分布函数不连续；
B 错误，因为只有一个间断点；
C 错误，因为并非阶梯函数（仅在 $y = 2$ 处跳跃，其余部分连续）；
D 正确。

解答题

11

同试卷 3 第 11 题

12

同试卷 3 第 12 题

13

同试卷 3 第 13 题

14

设 $F (x)$ 为 $f (x)$ 的原函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) F (x) = \frac{x e ^{x}}{2 ( 1 + x ) ^{2}}$ ，已知 $F (0) = 1$ ， $F (x) > 0$ ，试求 $f (x)$ ．

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【答案】

f (x) = \frac{x e ^{\frac{x}{2}}}{2 ( 1 + x ) ^{\frac{3}{2}}}

【解析】 已知 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的原函数，即 $F^{'} (x) = f (x)$ ，且当 $x \geq 0$ 时，有

f (x) F (x) = \frac{x e ^{x}}{2 ( 1 + x ) ^{2}},

同时给定 $F (0) = 1$ ， $F (x) > 0$ 。

令 $u = F (x)$ ，则 $u^{'} = f (x)$ ，代入得

u^{'} u = \frac{x e ^{x}}{2 ( 1 + x ) ^{2}} .

注意到左边为 $\frac{1}{2} (u^{2})^{'}$ ，因此

\frac{1}{2} (u^{2})^{'} = \frac{x e ^{x}}{2 ( 1 + x ) ^{2}} \Rightarrow (u^{2})^{'} = \frac{x e ^{x}}{( 1 + x ) ^{2}} .

积分两边：

u^{2} = \int \frac{x e ^{x}}{( 1 + x ) ^{2}} d x + C .

计算积分：

\int \frac{x e ^{x}}{( 1 + x ) ^{2}} d x = \frac{e ^{x}}{1 + x},

因为

(\frac{e ^{x}}{1 + x})^{'} = \frac{e ^{x} ( 1 + x ) - e ^{x}}{( 1 + x ) ^{2}} = \frac{x e ^{x}}{( 1 + x ) ^{2}} .

所以

u^{2} = \frac{e ^{x}}{1 + x} + C .

由 $F (0) = 1$ ，即 $u (0) = 1$ ，代入得

1 = \frac{e ^{0}}{1 + 0} + C = 1 + C \Rightarrow C = 0.

因此

u^{2} = \frac{e ^{x}}{1 + x} \Rightarrow u = \frac{e ^{x}}{1 + x} = \frac{e ^{\frac{x}{2}}}{1 + x},

即

F (x) = \frac{e ^{\frac{x}{2}}}{1 + x} .

求导得

f (x) = F^{'} (x) = \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}} (1 + x)^{- \frac{1}{2}}) .

应用乘积法则：

f (x) = e^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} (1 + x)^{- \frac{1}{2}} + e^{\frac{x}{2}} \cdot (- \frac{1}{2}) (1 + x)^{- \frac{3}{2}} = \frac{e ^{\frac{x}{2}}}{2} [\frac{1}{1 + x} - \frac{1}{( 1 + x ) ^{\frac{3}{2}}}] .

化简括号内：

\frac{1}{1 + x} - \frac{1}{( 1 + x ) ^{\frac{3}{2}}} = \frac{( 1 + x ) - 1}{( 1 + x ) ^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{( 1 + x ) ^{\frac{3}{2}}},

所以

f (x) = \frac{e ^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot \frac{x}{( 1 + x ) ^{\frac{3}{2}}} = \frac{x e ^{\frac{x}{2}}}{2 ( 1 + x ) ^{\frac{3}{2}}} .

验证：计算 $f (x) F (x)$ ：

f (x) F (x) = \frac{x e ^{\frac{x}{2}}}{2 ( 1 + x ) ^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{e ^{\frac{x}{2}}}{1 + x} = \frac{x e ^{x}}{2 ( 1 + x ) ^{2}},

符合给定条件。因此所求函数为

f (x) = \frac{x e ^{\frac{x}{2}}}{2 ( 1 + x ) ^{\frac{3}{2}}} .

15

已知 $f (x)$ 连续， $\int_{0}^{x} t f (x - t) d t = 1 - cos x$ ，求 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ 的值．

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【答案】 1

【解析】 已知积分方程 $\int_{0}^{x} t f (x - t) d t = 1 - cos x$ ，且 $f (x)$ 连续。
令 $u = x - t$ ，则当 $t = 0$ 时， $u = x$ ；当 $t = x$ 时， $u = 0$ ，且 $d t = - d u$ 。
代入原积分得：

\int_{0}^{x} t f (x - t) d t = \int_{x}^{0} (x - u) f (u) (- d u) = \int_{0}^{x} (x - u) f (u) d u

因此，有：

\int_{0}^{x} (x - u) f (u) d u = 1 - cos x

将积分写为：

x \int_{0}^{x} f (u) d u - \int_{0}^{x} u f (u) d u = 1 - cos x

令 $F (x) = \int_{0}^{x} f (u) d u$ ，则上式化为：

x F (x) - \int_{0}^{x} u f (u) d u = 1 - cos x

对两边关于 $x$ 求导：
左边求导为：

\frac{d}{d x} [x F (x) - \int_{0}^{x} u f (u) d u] = F (x) + x f (x) - x f (x) = F (x)

右边求导为：

\frac{d}{d x} (1 - cos x) = sin x

因此，

F (x) = sin x

即

\int_{0}^{x} f (u) d u = sin x

所求积分为：

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = F (\frac{π}{2}) = sin \frac{π}{2} = 1

故答案为 1。

16

证明：当 $0 < x < π$ 时，有 $sin \frac{x}{2} > \frac{x}{π}$ ．

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【答案】 见解析

【解析】
令 $t = \frac{x}{2}$ ，则当 $0 < x < π$ 时，有 $0 < t < \frac{π}{2}$ 。原不等式化为 $sin t > \frac{2}{π} t$ 。

考虑函数 $s (t) = \frac{s i n t}{t}$ ，其中 $t > 0$ 。求导得

s^{'} (t) = \frac{t cos t - sin t}{t ^{2}} .

令 $u (t) = t cos t - sin t$ ，则

u^{'} (t) = cos t - t sin t - cos t = - t sin t < 0 (当 t > 0),

故 $u (t)$ 单调递减。又

u (0) = t \to 0 lim (t cos t - sin t) = 0,

所以对任意 $t > 0$ ，有 $u (t) < 0$ ，因此 $s^{'} (t) < 0$ ，即 $s (t)$ 在 $t > 0$ 时单调递减。

当 $t = \frac{π}{2}$ 时，

s (\frac{π}{2}) = \frac{sin \frac{π}{2}}{\frac{π}{2}} = \frac{2}{π} .

由于 $s (t)$ 单调递减，当 $0 < t < \frac{π}{2}$ 时，有

s (t) > s (\frac{π}{2}) = \frac{2}{π},

即

\frac{sin t}{t} > \frac{2}{π},

所以 $sin t > \frac{2}{π} t$ 。

代回 $t = \frac{x}{2}$ ，得

sin \frac{x}{2} > \frac{2}{π} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x}{π} .

因此，当 $0 < x < π$ 时，原不等式成立。

17

设矩阵 $A = 3 - k 4 2 - 1 2 - 2 k - 3$ ，问：当 $k$ 为何值时，存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{- 1} A P$ 为对角矩阵？并求出 $P$ 和相应的对角矩阵．

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【答案】
当 $k = 0$ 时，存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{- 1} A P$ 为对角矩阵。
可逆矩阵 $P = 101102011$ ，相应的对角矩阵为 $Λ = 100 0 - 1 0 00 - 1$ 。

【解析】
矩阵 $A$ 的特征多项式为 $det (A - λ I) = - λ^{3} - λ^{2} + λ + 1$ ，即 $λ^{3} + λ^{2} - λ - 1 = 0$ ，解得特征值为 $λ = 1$ （单根）和 $λ = - 1$ （二重根）。

要使 $A$ 可对角化，需要特征值 $λ = - 1$ 的几何重数等于其代数重数 $2$ ，即 $dim null (A + I) = 2$ 。

计算

A + I = 4 - k 4 202 - 2 k - 2 .

当 $k = 0$ 时，

A + I = 404202 - 2 0 - 2,

其秩为 $1$ ，零空间维数为 $2$ ，满足可对角化条件。

当 $k = 0$ 时，求解特征向量：

对于 $λ = 1$ ，解 $(A - I) x = 0$ ，得特征向量
$v_{1} = 101 .$
对于 $λ = - 1$ ，解 $(A + I) x = 0$ ，得特征向量
$v_{2} = 102, v_{3} = 011 .$

令可逆矩阵 $P$ 由这些特征向量组成：

P = 101102011,

对角矩阵 $Λ$ 由特征值构成：

Λ = 100 0 - 1 0 00 - 1 .

验证 $P$ 可逆：

det (P) = - 1 \neq = 0.

18

已知线性方程组 $⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = 0, a^{2} x_{1} + b^{2} x_{2} + c^{2} x_{3} = 0.$

(1) 当 $a$ , $b$ , $c$ 满足何种关系时，方程组仅有零解？

(2) 当 $a$ , $b$ , $c$ 满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解．

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【答案】
(1) 当 $a, b, c$ 互不相等时，方程组仅有零解。

(2) 当 $a, b, c$ 中至少有两个相等时，方程组有无穷多解：

若 $a = b \neq = c$ ，基础解系为 $1 - 1 0$ ，全部解为 $k 1 - 1 0$ （ $k$ 为任意常数）
若 $a = c \neq = b$ ，基础解系为 $10 - 1$ ，全部解为 $k 10 - 1$ （ $k$ 为任意常数）
若 $b = c \neq = a$ ，基础解系为 $01 - 1$ ，全部解为 $k 01 - 1$ （ $k$ 为任意常数）
若 $a = b = c$ ，基础解系为 $10 - 1$ 和 $01 - 1$ ，全部解为 $k_{1} 10 - 1 + k_{2} 01 - 1$ （ $k_{1}, k_{2}$ 为任意常数）

（注：基础解系不唯一，但不同基础解系之间存在线性关系）

【解析】
线性方程组解的分析

这是一个齐次线性方程组，系数矩阵为范德蒙德矩阵：

A = 1 a a^{2} 1 b b^{2} 1 c c^{2}

(1) 仅有零解的条件

齐次线性方程组仅有零解的条件是系数矩阵满秩，即 $rank (A) = 3$ 。

范德蒙德矩阵的行列式为：

det (A) = (b - a) (c - a) (c - b)

当 $det (A) \neq = 0$ 时，矩阵满秩，方程组仅有零解。

所以，当 $a, b, c$ 互不相等时，方程组仅有零解。

(2) 有无穷多解的条件及基础解系

当 $det (A) = 0$ 时，矩阵不满秩，方程组有无穷多解。即当 $a, b, c$ 中至少有两个相等时，方程组有无穷多解。

具体分析如下：

情况1： $a = b \neq = c$

方程组变为：

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, a x_{1} + a x_{2} + c x_{3} = 0, a^{2} x_{1} + a^{2} x_{2} + c^{2} x_{3} = 0.

解得： $x_{3} = 0$ ， $x_{2} = - x_{1}$ ，所以通解为：

x_{1} x_{2} x_{3} = k 1 - 1 0, k \in R

基础解系： $1 - 1 0$

情况2： $a = c \neq = b$

方程组变为：

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, a x_{1} + b x_{2} + a x_{3} = 0, a^{2} x_{1} + b^{2} x_{2} + a^{2} x_{3} = 0.

解得： $x_{2} = 0$ ， $x_{3} = - x_{1}$ ，所以通解为：

x_{1} x_{2} x_{3} = k 10 - 1, k \in R

基础解系： $10 - 1$

情况3： $b = c \neq = a$

方程组变为：

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, a x_{1} + b x_{2} + b x_{3} = 0, a^{2} x_{1} + b^{2} x_{2} + b^{2} x_{3} = 0.

解得： $x_{1} = 0$ ， $x_{3} = - x_{2}$ ，所以通解为：

x_{1} x_{2} x_{3} = k 01 - 1, k \in R

基础解系： $01 - 1$

情况4： $a = b = c$

方程组变为：

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, a x_{1} + a x_{2} + a x_{3} = 0, a^{2} x_{1} + a^{2} x_{2} + a^{2} x_{3} = 0.

所有方程等价于 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ ，所以通解为：

x_{1} x_{2} x_{3} = k_{1} 10 - 1 + k_{2} 01 - 1, k_{1}, k_{2} \in R

基础解系： $10 - 1$ 和 $01 - 1$

19

设二维随机变量 $(X, Y)$ 在矩形 $G = {(x, y) ∣0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1}$ 上服从均匀分布，试求边长为 $X$ 和 $Y$ 的矩形面积 $S$ 的概率密度 $f (s)$ ．

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【答案】
$f (s) = {\frac{1}{2} (ln 2 - ln s), 0, 0 < s < 2; 其他 .$

【解析】
二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为

ϕ (x, y) = {\frac{1}{2}, 0, 若 (x, y) \in G; 若 (x, y) \in / G .

设 $F (s) = P {S \leq s}$ 为 $S$ 的分布函数，则当 $s \leq 0$ 时， $F (s) = 0$ ；当 $s \geq 2$ 时， $F (s) = 1$ 。

现设 $0 < s < 2$ ，曲线 $x y = s$ 与矩形 $G$ 的上边交于点 $(s, 1)$ ，于是

F (s) = P {S \leq s} = P {X Y \leq s} = 1 - P {X Y > s} = 1 - \iint_{x y > s} \frac{1}{2} d x d y = 1 - \frac{1}{2} \int_{s}^{2} d x \int_{\frac{s}{x}}^{1} d y = \frac{s}{2} (1 + ln 2 - ln s) .

因此

f (s) = {\frac{1}{2} (ln 2 - ln s), 0, 0 < s < 2; 其他 .

20

已知随机变量 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 的概率分布为

X_{1} P - 1 \frac{1}{4} 0 \frac{1}{2} 1 \frac{1}{4}, X_{2} P 0 \frac{1}{2} 1 \frac{1}{2}

且 $P {X_{1} X_{2} = 0} = 1$ ．

(1) 求 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 的联合分布；

(2) 问 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是否独立？为什么？

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【答案】
(1) $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 的联合分布为：

X_{1} = - 1 X_{1} = 0 X_{1} = 1 X_{2} = 0 \frac{1}{4} 0 \frac{1}{4} X_{2} = 1 0 \frac{1}{2} 0

(2) $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 不独立。

【解析】
(1) 已知 $P {X_{1} X_{2} = 0} = 1$ ，即 $X_{1} X_{2} \neq = 0$ 的概率为 0，因此

P (X_{1} = - 1, X_{2} = 1) = 0, P (X_{1} = 1, X_{2} = 1) = 0

根据边缘分布：

P (X_{1} = - 1) P (X_{1} = 1) P (X_{2} = 0) P (X_{2} = 1) = \frac{1}{4} \Rightarrow P (X_{1} = - 1, X_{2} = 0) = \frac{1}{4}, = \frac{1}{4} \Rightarrow P (X_{1} = 1, X_{2} = 0) = \frac{1}{4}, = \frac{1}{2} \Rightarrow P (X_{1} = 0, X_{2} = 0) = 0, = \frac{1}{2} \Rightarrow P (X_{1} = 0, X_{2} = 1) = \frac{1}{2}

因此联合分布如上表。

(2) 对于独立性，检查

P (X_{1} = 0, X_{2} = 0) = 0

而

P (X_{1} = 0) P (X_{2} = 0) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \neq = 0

故不独立。