1998 年真题

【答案】

【解析】 这是一个关于方阵行列式性质的计算问题。我们可以利用行列式的运算规则逐步求解。

核心公式回顾 在 $n$ 阶矩阵的运算中，我们需要用到以下性质：

1. 数乘性质： $\mid kA\mid =k^n\mid A\mid$
2. 乘积性质： $\mid AB\mid =\mid A\mid \cdot \mid B\mid$
3. 伴随矩阵性质： $\mid A^{\ast }\mid =\mid A{\mid }^{n-1}$
4. 逆矩阵性质： $\mid B^{-1}\mid =\frac{1}{\mid B\mid }$

计算步骤 根据上述性质，对式子进行化简：

1. 提取常数因子：由于 $A^{\ast }$ 和 $B^{-1}$ 都是 $n$ 阶矩阵，它们的乘积也是 $n$ 阶矩阵。提取常数 $2$ 时需要取 $n$ 次方：

   $$|2A^{\ast }{B}^{-1}\mid =2^n\mid A^{\ast }{B}^{-1}|$$

2. 拆分行列式：利用乘积性质拆分：

   $$2^n\mid A^{\ast }{B}^{-1}\mid =2^n\cdot \mid A^{\ast }\mid \cdot \mid B^{-1}\mid$$

3. 代入伴随和逆的性质：将 $\mid A^{\ast }\mid =\mid A{\mid }^{n-1}$ 和 $\mid B^{-1}\mid =\frac{1}{\mid B\mid }$ 代入：

   $$2^n\cdot |A{|}^{n-1}\cdot \frac{1}{\mid B\mid }$$

4. 代入已知数值：已知 $\mid A\mid =2,\mid B\mid =-3$ ：

   $$\mid 2A^{\ast }{B}^{-1}\mid =2^n\cdot 2^{n-1}\cdot \frac{1}{-3}$$

5. 化简结果：利用幂的运算法则 $2^n\cdot 2^{n-1}=2^{2n-1}$ ：

   $$\mid 2A^{\ast }{B}^{-1}\mid =\frac{2^{2n-1}}{-3}=-\frac{2^{2n-1}}{3}$$

【答案】
$p=\frac{1}{2}$ ，最大值为 $5$

【解析】
成功次数服从二项分布，试验次数 $n=100$ ，成功概率 $p$ 。
二项分布的标准差为

由于 $n$ 固定，最大化 $\sigma$ 等价于最大化 $p(1-p)$ 。
设 $f(p)=p(1-p)$ ，这是一个二次函数，开口向下。
求导得

令导数为零，解得

此时 $f(p)$ 取得最大值 $\frac{1}{4}$ 。
因此，标准差的最大值为

【答案】 $e^{\frac{1}{3}}$

【解析】
考虑极限 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(n\tan \frac{1}{n}\right)}^{n^2}$ 。这是一个 $1^{\infty }$ 型不定式，令 $L={\lim }_{n\to \infty }{\left(n\tan \frac{1}{n}\right)}^{n^2}$ ，则 $\ln L={\lim }_{n\to \infty }{n}^2\ln \left(n\tan \frac{1}{n}\right)$ 。
令 $x=\frac{1}{n}$ ，当 $n\to \infty$ 时 $x\to 0^{+}$ ，则

当 $x\to 0$ 时， $\tan x\sim x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)$ ，所以 $\frac{\tan x}{x}\sim 1+\frac{x^2}{3}+O(x^4)$ 。
因此，

于是

故 $\ln L=\frac{1}{3}$ ，即 $L=e^{\frac{1}{3}}$ 。

【答案】 见解析

【解析】 令 $g(x)=e^{x}f(x)$ ，则 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $g(a)=e^{a}f(a)=e^a$ ， $g(b)=e^{b}f(b)=e^b$ 。由拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$ ，使得

又因为 $g^{\prime }(x)=e^x[f(x)+f^{\prime }(x)]$ ，所以

考虑函数 $h(x)=e^x$ ，它在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ ，使得

即

因此，

即

故存在 $\xi ,\eta \in (a,b)$ 使得所述等式成立。

【答案】
(1) $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，最小值为 $\frac{2-\sqrt{2}}{6}$
(2) 旋转体的体积为 $\frac{\pi }{30}(1+\sqrt{2})$

【解析】
(1) 直线 $y=ax$ 与抛物线 $y=x^2$ 的交点为 $x=0$ 和 $x=a$ 。当 $a<1$ 时，面积 $S_1$ 和 $S_2$ 定义为：

• 若 $a>0$ ，则
  $S_1={\int }_0^a(ax-x^2)dx,S_2={\int }_a^1(x^2-ax)dx$
• 若 $a<0$ ，则
  $S_1={\int }_a^0(ax-x^2)dx,S_2={\int }_0^1(x^2-ax)dx$

计算得

或

令 $f(a)=S_1+S_2$ ，求导得

或

当 $a<0$ 时， $f^{\prime }(a)<0$ ，函数单调递减；
当 $a>0$ 时， $f^{\prime }(a)=0$ 对应 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且

• 当 $a<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $f^{\prime }(a)<0$ ，
• 当 $a>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $f^{\prime }(a)>0$ ，
  故 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取得最小值。

代入得最小值为

(2) 当 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，平面图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体体积为：

代入 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $a^2=\frac{1}{2}$ ，计算得：

【答案】 (1) 方程组①的通解为：

其中导出组的基础解系为 ​1121​​ 。

(2) 当 $m=2$ ， $n=4$ ， $t=6$ 时，方程组①与②同解。

【解析】 (1) 对于方程组①，写出增广矩阵：

通过行变换：

• $R2\leftarrow R2-4R1$ ， $R3\leftarrow R3-3R1$ ，得： ​100​1−5−4​0−1−1​−276​−62521​​
• $R3\leftarrow R3-R2$ ，得： ​100​1−51​0−10​−27−1​−625−4​​
• $R1\leftarrow R1-R3$ ， $R2\leftarrow R2+5R3$ ，得： ​100​001​0−10​−12−1​−25−4​​
• 交换 $R2$ 和 $R3$ ，并令 $R3\leftarrow -R3$ ，得： ​100​010​001​−1−1−2​−2−4−5​​ 对应方程组： $\{\begin{array}{l}{x}_1-x_4=-2\\ x_2-x_4=-4\\ x_3-2x_4=-5\end{array}$ 解得： $x_1=-2+x_4,x_2=-4+x_4,x_3=-5+2x_4$ 令 $x_4=k$ （自由变量），通解为： ​x1​x2​x3​x4​​​=​−2−4−50​​+k​1121​​ 导出组的基础解系为 ​1121​​ .

(2) 对于方程组②，要求与①同解。将①的通解 $x_1=-2+k$ ， $x_2=-4+k$ ， $x_3=-5+2k$ ， $x_4=k$ 代入②：

• 代入第一方程： $x_1+m{x}_2-x_3-x_4=-5$
  即 $(-2+k)+m(-4+k)-(-5+2k)-k=-5$
  化简得： $(3-4m)+(m-2)k=-5$
  需对任意 $k$ 成立，故： $\{\begin{array}{l}3-4m=-5\\ m-2=0\end{array}$ 解得 $m=2$ .
• 代入第二方程： $n{x}_2-x_3-2x_4=-11$
  即 $n(-4+k)-(-5+2k)-2k=-11$
  化简得： $(-4n+5)+(n-4)k=-11$
  需对任意 $k$ 成立，故： $\{\begin{array}{l}-4n+5=-11\\ n-4=0\end{array}$ 解得 $n=4$ .
• 代入第三方程： $x_3-2x_4=-t+1$
  即 $(-5+2k)-2k=-5$
  故 $-5=-t+1$ ，解得 $t=6$ . 当 $m=2$ ， $n=4$ ， $t=6$ 时，方程组②与①同解。

【答案】
21

【解析】
设进货量为 $a$ （ $a$ 为整数，且 $10\le a\le 30$ ），需求量 $X$ 服从区间 $[10,30]$ 上的均匀分布，概率密度函数为 $f(x)=\frac{1}{20}$ 。

利润函数为：

• 当 $X\le a$ 时， $\pi (X,a)=500X-100(a-X)=600X-100a$ ；
• 当 $X>a$ 时， $\pi (X,a)=500a+300(X-a)=300X+200a$ 。

期望利润为：

计算积分：

积分和为：

期望利润：

要求 $E[\pi ]\ge 9280$ ，即：

整理得：

乘以 $-1$ 得：

为消除小数，乘以 2：

解二次方程 $15a^2-700a+8060=0$ ：

判别式 $D=(-700{)}^2-4\times 15\times 8060=490000-483600=6400$ ，

根为 $a=\frac{700\pm \sqrt{6400}}{2\times 15}=\frac{700\pm 80}{30}$ ，

即 $a_1=\frac{620}{30}=\frac{62}{3}\approx 20.666$ ， $a_2=\frac{780}{30}=26$ 。

不等式解为 $a\in \left[\frac{62}{3},26\right]$ 。由于 $a$ 为整数，故 $a=21,22,23,24,25,26$ 。

验证 $a=20$ 时 $E[\pi ]=9250<9280$ ， $a=21$ 时 $E[\pi ]=9292.5\ge 9280$ ，因此最小进货量为 21。

【答案】 (1) 随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的联合分布为：

(2) 随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的相关系数 $\rho =-\frac{2}{3}$ .

【解析】
(1) 由于产品等级互斥，抽到一等品时 $X_1=1$ 、 $X_2=0$ ，概率为 $80/100=0.8$ ；抽到二等品时 $X_1=0$ 、 $X_2=1$ ，概率为 $10/100=0.1$ ；抽到三等品时 $X_1=0$ 、 $X_2=0$ ，概率为 $10/100=0.1$ ；同时抽到一等品和二等品不可能，故 $P(X_1=1,X_2=1)=0$ 。联合分布如上所示。

(2) 计算相关系数 $\rho$ 。
首先，

协方差

方差

标准差

相关系数