1998 年真题

正确答案：D

正确答案：D

【解析】 由于 $f(x)$ 周期为 4 且可导，因此 $f^{\prime }(x)$ 也周期为 4，即 $f^{\prime }(x+4)=f^{\prime }(x)$ 。给定极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(1)-f(1-x)}{2x}=-1$ ，令 $h=-x$ ，则当 $x\to 0$ 时 $h\to 0$ ，有：

所以

解得 $f^{\prime }(1)=-2$ 。由周期性， $f^{\prime }(5)=f^{\prime }(1)=-2$ ，因此曲线在点 $(5,f(5))$ 处的切线斜率为 $-2$ 。

正确答案：B

正确答案：B

【解析】 函数

的极限依赖于 $x$ 的值。

• 当 $|x|<1$ 时， $x^{2n}\to 0$ ，故 $f(x)=1+x$ ；
• 当 $|x|>1$ 时， $x^{2n}\to \infty$ ，故 $f(x)=0$ ；
• 当 $x=1$ 时， $f(1)={\lim }_{n\to \infty }\frac{2}{1+1}=1$ ；
• 当 $x=-1$ 时， $f(-1)={\lim }_{n\to \infty }\frac{0}{1+1}=0$ 。

在 $x=1$ 处，左极限为

右极限为

函数值为 $f(1)=1$ ，三者不相等，故 $x=1$ 为间断点。

在 $x=-1$ 处，左极限、右极限和函数值均为 0，故连续。
在 $x=0$ 处，函数连续。

因此，存在间断点 $x=1$ ，对应选项 B。

正确答案：C

正确答案：C

【解析】 齐次线性方程组的系数矩阵为 A=​λ11​1λ1​λ21λ​​ 。存在三阶矩阵 $B\ne 0$ 使得 $AB=0$ ，这意味着 $B$ 的列向量均为 $Ax=0$ 的解，因此 $A$ 必须奇异，即 $|A|=0$ 。计算 $|A|$ ：

设 $|A|=0$ ，得 $\lambda =1$ 。当 $\lambda =1$ 时， A=​111​111​111​​ ，方程组化为 $x_1+x_2+x_3=0$ ，解空间为二维。 $B$ 的列向量均属于该二维子空间，因此三列线性相关，故 $|B|=0$ 。选项 A 和 B 中 $\lambda =-2$ 时 $|A|\ne 0$ ，不可能存在 $B\ne 0$ 使 $AB=0$ ；选项 D 中 $|B|\ne 0$ 不成立。因此正确选项为 C。

正确答案：B

正确答案：B

【解析】
矩阵 $A$ 的秩为 $n-1$ ，因此其行列式为零。矩阵 $A$ 可表示为

其中 $I$ 是单位矩阵， $J$ 是全 1 矩阵。计算行列式，特征值分别为

故

解得

当 $a=1$ 时，矩阵所有元素均为 1，秩为 1，不满足条件。
当 $a=-\frac{1}{n-1}$ 时，特征值

其余特征值非零，秩为 $n-1$ ，符合要求。
选项 B 为 $\frac{1}{1-n}=-\frac{1}{n-1}$ ，故正确。

正确答案：A

正确答案：A

【解析】
为了使 $F(x)=a{F}_1(x)-b{F}_2(x)$ 是某一随机变量的分布函数，必须满足分布函数的条件：非递减性、右连续性，以及

由于 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 是分布函数，它们满足这些条件，因此右连续性自动满足。

首先考虑极限条件：当 $x\to \infty$ 时， $F_1(x)\to 1$ ， $F_2(x)\to 1$ ，所以

必须等于 1，即

其次考虑非递减性：对于任意 $x_1<x_2$ ，有 $F(x_1)\le F(x_2)$ ，即

由于 $F_1$ 和 $F_2$ 非递减，其增量 $\Delta F_1\ge 0$ 和 $\Delta F_2\ge 0$ 。要保证不等式恒成立，需

检查选项：

• A： $a=\frac{3}{5},b=-\frac{2}{5}$ ，满足 $a-b=1$ ，且 $a\ge 0,b\le 0$ 。
• B： $a=\frac{2}{3},b=\frac{2}{3}$ ，不满足 $a-b=1$ ，且 $b>0$ 。
• C： $a=-\frac{1}{2},b=\frac{3}{2}$ ，不满足 $a-b=1$ ，且 $a<0,b>0$ 。
• D： $a=\frac{1}{2},b=-\frac{3}{2}$ ，满足 $a\ge 0,b\le 0$ ，但不满足 $a-b=1$ 。

因此，只有选项 A 满足所有条件。