1996 年真题

【答案】

【解析】 给定方程 $x=y^y$ ，其中 $y$ 是 $x$ 的函数。
步骤如下：

1. 取自然对数：
   

   $$\ln x=y\ln y$$

2. 对两边关于 $x$ 求导：
   左边为 $\frac{1}{x}$ ，右边使用乘积法则：
   

   $$\frac{d}{dx}(y\ln y)=\frac{dy}{dx}\ln y+y\cdot \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}(\ln y+1)$$

   
   得到：
   

   $$\frac{1}{x}=\frac{dy}{dx}(\ln y+1)$$

3. 解出导数：
   

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x(\ln y+1)}$$

4. 写出微分形式：
   

   $$dy=\frac{dx}{x(1+\ln y)}$$

【答案】

【解析】 已知 $\int xf(x)dx=\arcsin x+C$ ，对两边求导可得：

解得：

因此，

需求积分：

令 $u=1-x^2$ ，则 $du=-2xdx$ ，即 $xdx=-\frac{1}{2}du$ ，代入得：

代回 $u=1-x^2$ ：

【答案】
$ac\ge 0$

【解析】
设点 $(x_0,y_0)$ 在抛物线 $y=a{x}^2+bx+c$ 上，则 $y_0=a{x}_0^2+b{x}_0+c$ 。在该点的切线斜率为 $y^{\prime }=2a{x}_0+b$ ，切线方程为 $y-y_0=(2a{x}_0+b)(x-x_0)$ 。
由于切线过原点 $(0,0)$ ，代入切线方程得：

简化得：

即

又因为 $y_0=a{x}_0^2+b{x}_0+c$ ，所以：

展开右边：

两边消去 $b{x}_0$ 并整理得：

因此，对于存在这样的点 $(x_0,y_0)$ ，必须存在实数 $x_0$ 满足 $c=a{x}_0^2$ 。这意味着 $c$ 与 $a$ 必须同号或 $c=0$ ，即 $ac\ge 0$ 。
注意：当 $a=0$ 时，抛物线退化为直线，但问题中为抛物线，故 $a\ne 0$ ，因此 $ac\ge 0$ 即为系数应满足的关系。

【答案】

【解析】
因为 $|A|$ 是范德蒙行列式，由 $a_i\ne a_j$ 知

所以方程组 $A^{T}X=B$ 有唯一解。根据克莱姆法则，对于

易见 $D_1=|A|,D_2=D_3=\cdots =D_n=0$ ，所以 $A^{T}X=B$ 的解为

即 $(1,0,0,\cdots ,0{)}^T$ 。

【答案】 $(4.412,5.588)$

【解析】
已知总体 $X\sim N(\mu ,0.9^2)$ ，样本容量 $n=9$ ，样本均值 $\overline{X}=5$ ，置信度 $1-\alpha =0.95$ ，则 $\alpha =0.05$ 。由于总体方差已知，使用标准正态分布构造置信区间。置信区间公式为：

其中 $\sigma =0.9$ ， $n=9$ ， $\overline{X}=5$ ， $z_{\alpha /2}=z_{0.025}=1.96$ 。
计算标准误差：

边际误差：

因此置信区间为：

故未知参数 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间为 $(4.412,5.588)$ 。

【答案】

且 $f^{\prime }(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续。

【解析】
(Ⅰ) 当 $x\ne 0$ 时，

当 $x=0$ 时，由导数定义及洛必达法则，有

所以得到

(II) 由于 $g(x)$ 有二阶连续导数，当 $x\ne 0$ 时 $f(x)$ 也具有二阶连续导数，且 $f^{\prime }(x)$ 连续。在 $x=0$ 处有