1996 年真题

正确答案：A

正确答案：A

【解析】
当 $x\to 0$ 时， $e^x-(a{x}^2+bx+1)$ 是比 $x^2$ 高阶的无穷小，即

将 $e^x$ 泰勒展开为

代入得

除以 $x^2$ 后：

为使极限为 0，必须满足

即

因此，选项 A 正确。

正确答案：C

正确答案：C

【解析】
由条件可知，当 $x\in (-\delta ,\delta )$ 时，恒有 $|f(x)|\le x^2$ 。

取 $x=0$ ，则 $|f(0)|\le 0$ ，故 $f(0)=0$ 。

为检验连续性，考虑极限 ${\lim }_{x\to 0}f(x)$ 。由于

由夹逼定理， ${\lim }_{x\to 0}|f(x)|=0$ ，因此

故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。

为检验可导性，考虑导数定义：

由 $|f(h)|\le h^2$ ，得

由于 ${\lim }_{h\to 0}|h|=0$ ，由夹逼定理，

故

即 $f^{\prime }(0)=0$ 。

因此， $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导且导数为零。选项 C 正确。

正确答案：D

正确答案：D

【解析】 考虑选项A：当 ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ 时，必有 ${\lim }_{x\to -\infty }{f}^{\prime }(x)=-\infty$ 。反例： $f(x)=x$ ，则 ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ ，但 $f^{\prime }(x)=1$ ， ${\lim }_{x\to -\infty }{f}^{\prime }(x)=1\ne -\infty$ ，故A错误。

考虑选项B：当 ${\lim }_{x\to -\infty }{f}^{\prime }(x)=-\infty$ 时，必有 ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ 。反例： $f(x)=x^2$ ，则 ${\lim }_{x\to -\infty }{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to -\infty }2x=-\infty$ ，但 ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)={\lim }_{x\to -\infty }{x}^2=+\infty \ne -\infty$ ，故B错误。

考虑选项C：当 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ 时，必有 ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=+\infty$ 。反例： $f(x)=x$ ，则 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ ，但 $f^{\prime }(x)=1$ ， ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=1\ne +\infty$ ，故C错误。

考虑选项D：当 ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=+\infty$ 时，必有 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ 。证明：由于 ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=+\infty$ ，存在 $N$ ，当 $x>N$ 时， $f^{\prime }(x)>1$ 。则对于 $x>N$ ，有 $f(x)-f(N)={\int }_N^x{f}^{\prime }(t)dt>{\int }_N^{x}1dt=x-N$ 。因此 $f(x)>f(N)+x-N$ 。当 $x\to +\infty$ 时， $x-N\to +\infty$ ，故 $f(x)\to +\infty$ 。因此D正确。

正确答案：C

正确答案：C

【解析】
考虑函数

由于 $f(-x)=f(x)$ ，函数为偶函数，只需分析 $x\ge 0$ 的情况。

令

在 $x=0$ 处， $g(0)=-1<0$ 。

设 $h(x)=x^{\frac{1}{4}}+x^{\frac{1}{2}}$ ，解方程 $h(x)=1$ 。
令 $t=x^{\frac{1}{4}}$ ，则

解得

对应

此时

由中间值定理，在 $(0,x_0)$ 内至少有一个实根。

对于 $x>x_0$ ，有 $h(x)>1$ ，故

因此无实根。

同时，在 $(0,x_0)$ 上，导数

函数严格递增，因此仅有一个实根。

由偶函数性质，在 $x<0$ 时有一个对称实根。

综上，方程在 $(-\infty ,+\infty )$ 内有且仅有两个实根。

正确答案：B

正确答案：B

【解析】 由曲线 $y=g(x)$ , $y=f(x)$ , $x=a$ 及 $x=b$ 所围平面图形绕直线 $y=m$ 旋转时，对于任意 $x\in [a,b]$ ，由于 $g(x)<f(x)<m$ ，点 $(x,g(x))$ 到直线 $y=m$ 的距离为 $m-g(x)$ ，点 $(x,f(x))$ 到直线 $y=m$ 的距离为 $m-f(x)$ 。旋转后形成圆环，外半径为 $m-g(x)$ ，内半径为 $m-f(x)$ 。圆环的面积为 $\pi [(m-g(x){)}^2-(m-f(x){)}^2]$ 。因此旋转体体积为：

简化被积表达式：

其中 $g(x{)}^2-f(x{)}^2=-[f(x)-g(x)][f(x)+g(x)]$ ，所以：

因此：

这与选项 B 一致。