1995 年真题

【答案】 $2x+2y-z-3=0$

【解析】 曲面方程为 $z=\frac{x^2}{2}+y^2$ ，设 $f(x,y)=\frac{x^2}{2}+y^2$ ，则曲面的切平面法向量为 $(f_x,f_y,-1)=(x,2y,-1)$ 。
给定平面 $2x+2y-z=0$ 的法向量为 $(2,2,-1)$ 。
由于切平面平行于给定平面，法向量平行，即存在常数 $k$ 使得 $(x,2y,-1)=k(2,2,-1)$ 。
由 $-1=-k$ 得 $k=1$ ，代入得 $x=2\times 1=2$ ， $2y=2\times 1$ 得 $y=1$ 。
切点坐标为 $(2,1,z)$ ，代入曲面方程得 $z=\frac{2^2}{2}+1^2=2+1=3$ ，即切点为 $(2,1,3)$ 。
切平面法向量为 $(2,2,-1)$ ，利用点法式得方程：
$2(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0$ ，
化简得 $2x+2y-z-3=0$ 。

【答案】

【解析】 积分区域 $D$ 由双曲线 $x^2-y^2=1$ 及直线 $y=0$ 、 $y=1$ 围成。对于 $y\in [0,1]$ ， $x$ 的取值范围为 $-\sqrt{1+y^2}$ 到 $\sqrt{1+y^2}$ 。因此，二重积分可化为：

由于被积函数 $x^{2}y$ 关于 $x$ 是偶函数，且积分区间对称，可简化为：

令 $u=1+y^2$ ，则 $du=2ydy$ ，即 $ydy=\frac{du}{2}$ 。当 $y=0$ 时， $u=1$ ；当 $y=1$ 时， $u=2$ 。代入得：

计算积分：

所以：

因此，二重积分的值为 $\frac{2}{15}(4\sqrt{2}-1)$ 。

【答案】 当 $a=2$ 时，方程组无解；当 $a\ne 2$ 时，方程组有解，通解为：

【解析】 方程组的增广矩阵为：

通过行变换：

• $R_3-R_1$ 得： ​100​31−1​2a−2​1−a2​1−12​​
• $R_3+R_2$ 得： ​100​310​2aa−2​1−a2−a​1−11​​ 当 $a=2$ 时，第三行为 $0=1$ ，矛盾，方程组无解。当 $a\ne 2$ 时，方程组有解。继续行变换：
• 第三行除以 $a-2$ 得： ​100​310​2a1​1−a−1​1−1a−21​​​
• $R_2-a{R}_3$ 得： ​100​310​201​10−1​1−1−a−2a​a−21​​​
• $R_1-2R_3$ 得： ​100​310​001​30−1​1−a−22​−1−a−2a​a−21​​​
• $R_1-3R_2$ 得： ​100​010​001​30−1​1−a−22​+3+a−23a​−1−a−2a​a−21​​​ 简化常数项：
• $x_2=-1-\frac{a}{a-2}=\frac{2-2a}{a-2}$
• $x_1+3x_4=\frac{7a-10}{a-2}$ ，即 $x_1=\frac{7a-10}{a-2}-3x_4$
• $x_3-x_4=\frac{1}{a-2}$ ，即 $x_3=\frac{1}{a-2}+x_4$ 令 $x_4=t$ ，得通解如上。