1994 年真题

【答案】

【解析】 问题要求椭圆 $x^2+4y^2=4$ 上到直线 $2x+3y-6=0$ 距离最短的点。首先，计算直线与椭圆是否有交点。将直线方程 $x=3-1.5y$ 代入椭圆方程，得 $6.25y^2-9y+5=0$ ，判别式为 $-44<0$ ，无实根，故直线与椭圆不相交。因此，最小距离不为零。

距离公式为 $d=\frac{|2x+3y-6|}{\sqrt{13}}$ 。由于直线与椭圆不相交，且椭圆上点均满足 $2x+3y-6<0$ （如点 $(2,0)$ 值为 $-2$ ，点 $(0,1)$ 值为 $-3$ ），故最小化 $|2x+3y-6|$ 等价于最大化 $2x+3y-6$ ，即最大化 $2x+3y$ 。

使用拉格朗日乘数法最大化 $f(x,y)=2x+3y$ ，约束为 $g(x,y)=x^2+4y^2-4=0$ 。设拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda )=2x+3y-\lambda (x^2+4y^2-4)$ 。求偏导：

由前两式得 $\lambda x=1$ 和 $\lambda =\frac{3}{8y}$ ，联立得 $y=\frac{3}{8}x$ 。代入约束方程：

对应 $y=\frac{3}{8}x=\pm \frac{3}{5}$ 。计算 $2x+3y$ ：当 $x=\frac{8}{5},y=\frac{3}{5}$ 时，值为 $5$ ；当 $x=-\frac{8}{5},y=-\frac{3}{5}$ 时，值为 $-5$ 。故最大值点为 $\left(\frac{8}{5},\frac{3}{5}\right)$ 。

验证距离：点 $\left(\frac{8}{5},\frac{3}{5}\right)$ 到直线的距离为 $\frac{|2\cdot \frac{8}{5}+3\cdot \frac{3}{5}-6|}{\sqrt{13}}=\frac{|5-6|}{\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{13}}$ ，小于其他点（如 $(0,1)$ 距离 $\frac{3}{\sqrt{13}}$ ），故该点为所求。

【答案】

【解析】

1. 确定 $A-3E$ 的特征值

已知 $n$ 阶方阵 $A$ 的 $n$ 个特征值为：

根据矩阵多项式特征值的性质，矩阵 $A-3E$ 的特征值 ${\mu }_i$ 为 $A$ 的对应特征值减去 3：

将 ${\lambda }_i$ 代入，可得 $A-3E$ 的 $n$ 个特征值为：

• ${\mu }_1=2-3=-1$
• ${\mu }_2=4-3=1$
• ${\mu }_3=6-3=3$
• ${\mu }_4=8-3=5$
• $\cdots$
• ${\mu }_n=2n-3$

2. 计算行列式 $|A-3E|$

行列式的值等于所有特征值的乘积：

代入具体数值：

3. 整理结果

观察上述乘积：

• 第一项是 $-1$ 。
• 从第二项开始，即 $1\times 3\times 5\times \cdots \times (2n-3)$ ，这是从 1 到 $2n-3$ 的所有连续奇数的乘积。

在数学中，连续奇数的乘积通常用双阶乘（Double Factorial）符号 $!!$ 表示。即 $(2n-3)!!=1\times 3\times \cdots \times (2n-3)$ 。

因此，最终结果为：

(注：如果题目不强制要求双阶乘符号，写成乘积形式 $(-1)\cdot 1\cdot 3\cdots (2n-3)$ 也是正确的)

最终答案

或者写成展开形式：