1993 年真题

【答案】

其中 $f_u=\frac{\partial f}{\partial u}$ , $f_v=\frac{\partial f}{\partial v}$ , $f_{uu}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}$ , $f_{uv}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}$ , $f_{vv}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial v^2}$ ，且 $u=xy$ , $v=\frac{y}{x}$ .

【解析】 设 $u=xy$ , $v=\frac{y}{x}$ ，则 $z=x^{3}f(u,v)$ .
首先求 $\frac{\partial z}{\partial y}$ :

其次求 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}$ :

其中

代入得

最后求 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$ :

计算

其中

代入得

合并得

以上即为所求。

【答案】

【解析】 设矩阵 A=​111​10−1​101​​ ，其列为基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ ；矩阵 B=​121​234​343​​ ，其列为基 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 。由基 $\alpha$ 到基 $\beta$ 的过渡矩阵 $P$ 满足 $B=AP$ ，即 $P=A^{-1}B$ 。

计算 $A$ 的逆矩阵：

则：

验证： ${\beta }_1=2{\alpha }_1+0{\alpha }_2-1{\alpha }_3$ ， ${\beta }_2=3{\alpha }_1-1{\alpha }_2+0{\alpha }_3$ ， ${\beta }_3=4{\alpha }_1+0{\alpha }_2-1{\alpha }_3$ ，符合要求。