【解析】 由方程 $A B + E = A^{2} + B$ 移项得 $A B - B = A^{2} - E$ ，即 $B (A - E) = A^{2} - E$ 。因 $A^{2} - E = (A - E) (A + E)$ ，故有 $B (A - E) = (A - E) (A + E)$ 。计算 $A - E = 00 - 1 010100$ ，其行列式为 $1 \neq = 0$ ，故 $A - E$ 可逆。两边右乘 $(A - E)^{- 1}$ 得 $B = A + E$ 。代入 $A$ 得 $B = 10 - 1 020101 + 100010001 = 20 - 1 030102$ 。验证：计算 $A B + E$ 和 $A^{2} + B$ ，两者均等于 $20 - 3 070302$ ，满足原方程。

计算题

本题共3小题，每小题6分，满分18分

14

同试卷 1 第 14 题

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求 $\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} (x^{2} - t) f (t) d t$ ，其中 $f (t)$ 为已知的连续函数．

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【答案】
$2 x \int_{0}^{x^{2}} f (t) d t$

【解析】
考虑莱布尼茨规则： $\frac{d}{d x} \int_{a (x)}^{b (x)} g (x, t) d t = g (x, b (x)) \cdot b^{'} (x) - g (x, a (x)) \cdot a^{'} (x) + \int_{a (x)}^{b (x)} \frac{\partial}{\partial x} g (x, t) d t$ 。
这里， $a (x) = 0$ ， $b (x) = x^{2}$ ， $g (x, t) = (x^{2} - t) f (t)$ 。
计算得 $b^{'} (x) = 2 x$ ， $a^{'} (x) = 0$ ， $g (x, b (x)) = (x^{2} - x^{2}) f (x^{2}) = 0$ ，因此前两项为零。
第三项中， $\frac{\partial}{\partial x} g (x, t) = 2 x f (t)$ ，故积分为 $\int_{0}^{x^{2}} 2 x f (t) d t = 2 x \int_{0}^{x^{2}} f (t) d t$ 。
因此，结果为 $2 x \int_{0}^{x^{2}} f (t) d t$ 。
也可通过拆分积分验证：原积分写为 $x^{2} \int_{0}^{x^{2}} f (t) d t - \int_{0}^{x^{2}} t f (t) d t$ ，求导后第一项导数为 $2 x \int_{0}^{x^{2}} f (t) d t + 2 x^{3} f (x^{2})$ ，第二项导数为 $- 2 x^{3} f (x^{2})$ ，相加得 $2 x \int_{0}^{x^{2}} f (t) d t$ 。

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计算 $\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} d y \int_{\frac{1}{2}}^{y} e^{\frac{y}{x}} d x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} d y \int_{y}^{y} e^{\frac{y}{x}} d x$ ．

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【答案】

\frac{3 e}{8} - \frac{e}{2}

【解析】 给定的积分为：

\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} d y \int_{\frac{1}{2}}^{y} e^{\frac{y}{x}} d x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} d y \int_{y}^{y} e^{\frac{y}{x}} d x

首先，分析积分区域。在 $x y$ -平面上，该区域由 $y$ 从 $\frac{1}{4}$ 到 $1$ 和 $x$ 从某种下限到 $y$ 组成。通过改变积分顺序，发现区域可描述为 $x$ 从 $\frac{1}{2}$ 到 $1$ ， $y$ 从 $x^{2}$ 到 $x$ 。因此，积分可重写为：