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1991 年真题

22 题

填空题

本题满分15分，每小题3分

4

$n$ 阶行列式 $a 00 ⋮ 00 b a 0 ⋮ 00 0 b a ⋮ 00 \dots \dots \dots ⋱ \dots \dots 000 ⋮ a 0 000 ⋮ b a =$ ______．

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【答案】 $a^{n}$

【解析】 该行列式是一个上三角矩阵，因为所有主对角线以下的元素均为零。对于上三角矩阵，其行列式等于主对角线上所有元素的乘积。在此矩阵中，主对角线上的元素均为 $a$ ，因此行列式的值为 $a \times a \times \dots \times a = a^{n}$ 。

5

设 $A$ 和 $B$ 为随机事件， $P (A) = 0.7$ , $P (A - B) = 0.3$ ，则 $P (\overline{A B}) =$ ______．

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【答案】
0.6

【解析】
已知 $P (A) = 0.7$ ， $P (A - B) = 0.3$ ，其中 $A - B$ 表示 $A \cap \overline{B}$ ，即 $P (A \cap \overline{B}) = 0.3$ 。
由于 $P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \overline{B})$ ，代入得 $0.7 = P (A \cap B) + 0.3$ ，解得 $P (A \cap B) = 0.4$ 。
则 $P (\overline{A B}) = P (\overline{A \cap B}) = 1 - P (A \cap B) = 1 - 0.4 = 0.6$ 。

选择题

本题满分15分，每小题3分

6

同试卷 4 第 6 题

7

设数列的通项为

x_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{n ^{2} + n}{n}, \frac{1}{n}, 若 n 为奇数; 若 n 为偶数 .

则当 $n \to \infty$ 时， $x_{n}$ 是

A. 无穷大量． B. 无穷小量． C. 有界变量． D. 无界变量．

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正确答案：D

正确答案：D
【解析】 分析数列

x_{n}

的行为：当

n

为奇数时，

x_{n} = \frac{n ^{2} + n}{n} = n + \frac{1}{n}

，随着

n

增大，

x_{n}

趋于无穷大；当

n

为偶数时，

x_{n} = \frac{1}{n}

，随着

n

增大，

x_{n}

趋于 0。因此，序列不趋于无穷大（因为偶子列趋于 0），也不趋于 0（因为奇子列趋于无穷大）。同时，对于任意正数

M

，总存在奇数

n

使得

x_{n} > M

，故序列无界。综上，

x_{n}

是无界变量。

8

设 $A$ 与 $B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A B = O$ ，则必有

A = O

或

B = O

． B.

A B = B A

． C.

∣ A ∣ = 0

或

∣ B ∣ = 0

． D.

∣ A ∣ + ∣ B ∣ = 0

．

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正确答案：C

正确答案：C

【解析】
由于 $A B = O$ ，则有

∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣ = ∣ O ∣ = 0,

因此 $∣ A ∣ = 0$ 或 $∣ B ∣ = 0$ ，即选项 C 正确。

对于选项 A，反例：设

A = [1000], B = [0001],

则 $A B = O$ ，但 $A$ 与 $B$ 均非零矩阵。

对于选项 B，反例：设

A = [1000], B = [0100],

则 $A B = O$ ，但

B A = [0100] \neq = O .

对于选项 D，反例：若 $∣ A ∣ = 0$ ， $∣ B ∣ = 1$ ，则

∣ A ∣ + ∣ B ∣ = 1 \neq = 0.

9

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $A x = 0$ 是非齐次线性方程组 $A x = b$ 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是

A. 若

A x = 0

仅有零解，则

A x = b

有唯一解． B. 若

A x = 0

有非零解，则

A x = b

有无穷多个解． C. 若

A x = b

有无穷多个解，则

A x = 0

仅有零解． D. 若

A x = b

有无穷多个解，则

A x = 0

有非零解．

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正确答案：D

正确答案：D

【解析】
对于非齐次线性方程组 $A x = b$ ，其解的结构为：如果存在特解 $x_{p}$ ，则通解为 $x_{p} + N (A)$ ，其中 $N (A)$ 是齐次方程组 $A x = 0$ 的解空间。

若 $A x = b$ 有无穷多个解，则 $N (A)$ 必须包含非零向量，即 $A x = 0$ 有非零解。因此选项 D 正确。

选项 A 错误，因为即使 $A x = 0$ 仅有零解， $A x = b$ 可能无解；
选项 B 错误，因为即使 $A x = 0$ 有非零解， $A x = b$ 可能无解；
选项 C 错误，因为 $A x = b$ 有无穷多解时， $A x = 0$ 必须有非零解，而不是仅有零解。

10

同试卷 4 第 9 题

解答题

11

求极限 $lim_{x \to + \infty} (x + 1 + x^{2})^{\frac{1}{x}}$ ．

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【答案】
1

【解析】
考虑极限 $L = lim_{x \to + \infty} (x + 1 + x^{2})^{\frac{1}{x}}$ 。这是一个 $1^{\infty}$ 型不定式，取自然对数得：

ln L = x \to + \infty lim \frac{ln ( x + 1 + x ^{2} )}{x} .

计算该极限，当 $x \to + \infty$ 时，分子和分母均趋于无穷，应用 L’Hôpital 法则。分子导数为：

\frac{d}{d x} ln (x + 1 + x^{2}) = \frac{1}{x + 1 + x ^{2}} \cdot (1 + \frac{x}{1 + x ^{2}}) = \frac{1}{1 + x ^{2}} .

分母导数为 1。因此，

ln L = x \to + \infty lim \frac{1}{1 + x ^{2}} = 0.

所以 $L = e^{0} = 1$ 。

12

求定积分 $I = \int_{- 1}^{1} (2 x + ∣ x ∣ + 1∣)^{2} d x$ ．

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【答案】 $\frac{22}{3}$

【解析】 考虑定积分 $I = \int_{- 1}^{1} (2 x + ∣ x ∣ + 1)^{2} d x$ 。由于被积函数中包含绝对值函数 $∣ x ∣$ ，将积分区间分为 $[- 1, 0]$ 和 $[0, 1]$ 两部分。

当 $x \in [- 1, 0]$ 时， $∣ x ∣ = - x$ ，因此：

2 x + ∣ x ∣ + 1 = 2 x + (- x) + 1 = x + 1

所以被积函数为 $(x + 1)^{2}$ 。

当 $x \in [0, 1]$ 时， $∣ x ∣ = x$ ，因此：

2 x + ∣ x ∣ + 1 = 2 x + x + 1 = 3 x + 1

所以被积函数为 $(3 x + 1)^{2}$ 。

于是，积分可写为：

I = \int_{- 1}^{0} (x + 1)^{2} d x + \int_{0}^{1} (3 x + 1)^{2} d x

计算第一个积分：

\int_{- 1}^{0} (x + 1)^{2} d x = \int_{- 1}^{0} (x^{2} + 2 x + 1) d x = [\frac{x ^{3}}{3} + x^{2} + x]_{- 1}^{0}

代入上限 $x = 0$ 得 $0$ ，代入下限 $x = - 1$ 得：

\frac{( - 1 ) ^{3}}{3} + (- 1)^{2} + (- 1) = - \frac{1}{3} + 1 - 1 = - \frac{1}{3}

所以：

\int_{- 1}^{0} (x + 1)^{2} d x = 0 - (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3}

计算第二个积分：

\int_{0}^{1} (3 x + 1)^{2} d x = \int_{0}^{1} (9 x^{2} + 6 x + 1) d x = [3 x^{3} + 3 x^{2} + x]_{0}^{1}

代入上限 $x = 1$ 得：

3 (1)^{3} + 3 (1)^{2} + 1 = 3 + 3 + 1 = 7

代入下限 $x = 0$ 得 $0$ ，所以：

\int_{0}^{1} (3 x + 1)^{2} d x = 7

因此：

I = \frac{1}{3} + 7 = \frac{1}{3} + \frac{21}{3} = \frac{22}{3}

13

求不定积分 $I = \int \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} arctan x d x$ ．

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【答案】

I = x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) - \frac{1}{2} (arctan x)^{2} + C

其中 $C$ 为积分常数。

【解析】 首先，将积分改写为：

I = \int \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} arctan x d x = \int (1 - \frac{1}{1 + x ^{2}}) arctan x d x = \int arctan x d x - \int \frac{arctan x}{1 + x ^{2}} d x

计算第一个积分 $\int arctan x d x$ 。使用分部积分法，设 $u = arctan x$ ， $d v = d x$ ，则 $d u = \frac{1}{1 + x ^{2}} d x$ ， $v = x$ ，得：

\int arctan x d x = x arctan x - \int x \cdot \frac{1}{1 + x ^{2}} d x = x arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{2 x}{1 + x ^{2}} d x = x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + C_{1}

计算第二个积分 $\int \frac{a r c t a n x}{1 + x ^{2}} d x$ 。设 $u = arctan x$ ，则 $d u = \frac{1}{1 + x ^{2}} d x$ ，得：

\int \frac{arctan x}{1 + x ^{2}} d x = \int u d u = \frac{u ^{2}}{2} + C_{2} = \frac{( arctan x ) ^{2}}{2} + C_{2}

将两部分合并，得：

I = x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) - \frac{1}{2} (arctan x)^{2} + C

其中 $C = C_{1} - C_{2}$ 为积分常数。验证导数后与原被积函数一致。

14

已知 $x y = x f (z) + y g (z)$ ， $x f^{'} (z) + y g^{'} (z) \neq = 0$ ，其中 $z = z (x, y)$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数．求证： $[x - g (z)] \frac{\partial z}{\partial x} = [y - f (z)] \frac{\partial z}{\partial y} .$

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【答案】 等式成立。

【解析】
将 $x y = x f (z) + y g (z)$ 两侧同时对 $x$ 求偏导数，解得

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y - f ( z )}{x f ^{'} ( z ) + y g ^{'} ( z )} .

将 $x y = x f (z) + y g (z)$ 两侧同时对 $y$ 求偏导数，解得

\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x - g ( z )}{x f ^{'} ( z ) + y g ^{'} ( z )} .

从而得到 $[x - g (z)] \frac{\partial z}{\partial x} = [y - f (z)] \frac{\partial z}{\partial y}$ .

15

同试卷 4 第 14 题

16

同试卷 4 第 15 题

17

证明不等式 $ln (1 + \frac{1}{x}) > \frac{1}{1 + x}$ （ $0 < x < + \infty$ ）．

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【答案】
不等式成立。

【解析】
令 $g (x) = ln (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{1 + x}$ ，则当 $x > 0$ 时

g^{'} (x) = - \frac{1}{x ( 1 + x ) ^{2}} < 0,

所以函数 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调减少。又

x \to + \infty lim g (x) = x \to + \infty lim [ln (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{1 + x}] = 0,

于是当 $x > 0$ 时， $g (x) > 0$ ，即 $ln (1 + \frac{1}{x}) > \frac{1}{1 + x}$ 。

18

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$ 满足条件 $A + B = A B$ ．

(1) 证明 $A - E$ 为可逆矩阵，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵；

(2) 已知 $B = 120 - 3 10 002$ ，求矩阵 $A$ ．

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【答案】

A = 1 - \frac{1}{3} 0 \frac{1}{2} 10 002

【解析】 (1) 由条件 $A + B = A B$ ，可得 $A B - A - B = 0$ 。注意到 $(A - E) (B - E) = A B - A - B + E$ ，代入条件得 $(A - E) (B - E) = E$ ，因此 $A - E$ 可逆，且其逆矩阵为 $B - E$ 。

(2) 已知 $B = 120 - 3 10 002$ ，则 $B - E = 020 - 3 00 001$ 。计算其逆矩阵：左上角块 $(02 - 3 0)$ 的行列式为 $0 \cdot 0 - (- 3) \cdot 2 = 6$ ，逆矩阵为 $\frac{1}{6} (0 - 2 30) = (0 - \frac{1}{3} \frac{1}{2} 0)$ ，右下角块 $[1]$ 的逆为 $[1]$ ，因此 $(B - E)^{- 1} = 0 - \frac{1}{3} 0 \frac{1}{2} 00 001$ 。于是 $A = E + (B - E)^{- 1} = 100010001 + 0 - \frac{1}{3} 0 \frac{1}{2} 00 001 = 1 - \frac{1}{3} 0 \frac{1}{2} 10 002$ 。验证满足 $A + B = A B$ ，故正确。

19

同试卷 4 第 17 题

20

已知向量 $α = (1, k, 1)^{T}$ 是矩阵 $A = 211121112$ 的逆矩阵 $A^{- 1}$ 的特征向量，求常数 $k$ 的值．

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【答案】 $k = - 2$ 或 $k = 1$

【解析】 已知向量 $α = (1, k, 1)^{T}$ 是矩阵 $A = 211121112$ 的逆矩阵 $A^{- 1}$ 的特征向量。由于 $A^{- 1}$ 与 $A$ 共享特征向量，且 $A^{- 1}$ 的特征值是 $A$ 的特征值的倒数，因此 $α$ 也是 $A$ 的特征向量。

首先，求 $A$ 的特征值。计算特征多项式：

det (A - μ I) = det 2 - μ 11 1 2 - μ 1 11 2 - μ = - (μ - 1)^{2} (μ - 4)

解得特征值 $μ = 1$ （二重）和 $μ = 4$ 。

接下来，求对应的特征向量：

对于 $μ = 1$ ，解 $(A - I) x = 0$ ，即 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ 。代入 $α = (1, k, 1)^{T}$ ，得 $1 + k + 1 = 0$ ，即 $k = - 2$ 。
对于 $μ = 4$ ，解 $(A - 4 I) x = 0$ ，即方程组： $⎩ ⎨ ⎧ - 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = 0 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} = 0$ 解得 $x_{1} = x_{2} = x_{3}$ ，因此特征向量为 $(1, 1, 1)^{T}$ 的倍数。代入 $α = (1, k, 1)^{T}$ ，得 $k = 1$ 。

因此，常数 $k$ 的值为 $- 2$ 或 $1$ 。

21

一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以 $X$ 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数．

(1) 求 $X$ 的概率分布．

(2) 求 $E (\frac{1}{1 + X})$ ．

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【答案】
(1) $X$ 的概率分布为：
$P (X = 0) = \frac{1}{2}$ ，
$P (X = 1) = \frac{1}{4}$ ，
$P (X = 2) = \frac{1}{8}$ ，
$P (X = 3) = \frac{1}{8}$ 。

(2) $E (\frac{1}{1 + X}) = \frac{67}{96}$ 。

【解析】
(1) 设每个路口遇到红灯的概率为 $\frac{1}{2}$ ，遇到绿灯的概率也为 $\frac{1}{2}$ ，且相互独立。

$X = 0$ 表示第一个路口遇到红灯，概率为 $\frac{1}{2}$ 。
$X = 1$ 表示第一个路口绿灯、第二个路口红灯，概率为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 。
$X = 2$ 表示前两个路口绿灯、第三个路口红灯，概率为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ 。
$X = 3$ 表示所有三个路口均为绿灯，概率为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ 。
概率之和为 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = 1$ ，符合概率分布要求。

(2) 计算 $E (\frac{1}{1 + X})$ ：

E (\frac{1}{1 + X}) = k = 0 \sum 3 \frac{1}{1 + k} \cdot P (X = k)

代入概率值：

= \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} + \frac{1}{32}

通分后计算（公分母为96）：

= \frac{48}{96} + \frac{12}{96} + \frac{4}{96} + \frac{3}{96} = \frac{67}{96}

故 $E (\frac{1}{1 + X}) = \frac{67}{96}$ 。

22

在电源电压不超过 $200$ 伏、在 $200 - 240$ 伏和超过 $240$ 伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为 $0.1$ , $0.001$ 和 $0.2$ ，假设电源电压 $X$ 服从正态分布 $N (220, 2 5^{2})$ ，试求：

(1) 该电子元件损坏的概率 $α$ ；

(2) 该电子元件损坏时，电源电压在 $200 - 240$ 伏的概率 $β$ ．

x Φ (x) 0.10 0.530 0.20 0.579 0.40 0.655 0.60 0.726 0.80 0.788 1.00 0.841 1.20 0.885 1.40 0.919

（表中 $Φ (x)$ 是标准正态分布函数）

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【答案】
(1) $α = 0.064$
(2) $β = 0.009$

【解析】
电源电压 $X \sim N (220, 2 5^{2})$ ，首先计算电压在不同范围内的概率：

$P (X \leq 200) = Φ (\frac{200 - 220}{25}) = Φ (- 0.8) = 1 - Φ (0.8) = 1 - 0.788 = 0.212$
$P (200 < X \leq 240) = Φ (\frac{240 - 220}{25}) - Φ (\frac{200 - 220}{25}) = Φ (0.8) - Φ (- 0.8) = 0.788 - 0.212 = 0.576$
$P (X > 240) = 1 - Φ (0.8) = 1 - 0.788 = 0.212$

设 $A$ 表示电子元件损坏的事件，根据全概率公式：

P (A) = P (A ∣ X \leq 200) P (X \leq 200) + P (A ∣ 200 < X \leq 240) P (200 < X \leq 240) + P (A ∣ X > 240) P (X > 240)

代入值：

P (A) = 0.1 \times 0.212 + 0.001 \times 0.576 + 0.2 \times 0.212 = 0.0212 + 0.000576 + 0.0424 = 0.064176 \approx 0.064

所以 $α = 0.064$ 。

对于 $β$ ，即 $P (200 < X \leq 240 ∣ A)$ ，使用贝叶斯公式：

β = \frac{P ( A ∣ 200 < X \leq 240 ) P ( 200 < X \leq 240 )}{P ( A )} = \frac{0.001 \times 0.576}{0.064} = \frac{0.000576}{0.064} = 0.009

所以 $β = 0.009$ 。

其中，概率值均基于给定的正态分布函数表计算，并保留三位小数。