1991 年真题

【答案】 $a^n$

【解析】 该行列式是一个上三角矩阵，因为所有主对角线以下的元素均为零。对于上三角矩阵，其行列式等于主对角线上所有元素的乘积。在此矩阵中，主对角线上的元素均为 $a$ ，因此行列式的值为 $a\times a\times \cdots \times a=a^n$ 。

【答案】
0.6

【解析】
已知 $P(A)=0.7$ ， $P(A-B)=0.3$ ，其中 $A-B$ 表示 $A\cap \overline{B}$ ，即 $P(A\cap \overline{B})=0.3$ 。
由于 $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})$ ，代入得 $0.7=P(A\cap B)+0.3$ ，解得 $P(A\cap B)=0.4$ 。
则 $P(\overline{AB})=P(\overline{A\cap B})=1-P(A\cap B)=1-0.4=0.6$ 。

【答案】
1

【解析】
考虑极限 $L={\lim }_{x\to +\infty }(x+\sqrt{1+x^2}{)}^{\frac{1}{x}}$ 。这是一个 $1^{\infty }$ 型不定式，取自然对数得：

计算该极限，当 $x\to +\infty$ 时，分子和分母均趋于无穷，应用 L’Hôpital 法则。分子导数为：

分母导数为 1。因此，

所以 $L=e^0=1$ 。

【答案】 $\frac{22}{3}$

【解析】 考虑定积分 $I={\int }_{-1}^1(2x+|x|+1{)}^{2}dx$ 。由于被积函数中包含绝对值函数 $|x|$ ，将积分区间分为 $[-1,0]$ 和 $[0,1]$ 两部分。

当 $x\in [-1,0]$ 时， $|x|=-x$ ，因此：

所以被积函数为 $(x+1{)}^2$ 。

当 $x\in [0,1]$ 时， $|x|=x$ ，因此：

所以被积函数为 $(3x+1{)}^2$ 。

于是，积分可写为：

计算第一个积分：

代入上限 $x=0$ 得 $0$ ，代入下限 $x=-1$ 得：

所以：

计算第二个积分：

代入上限 $x=1$ 得：

代入下限 $x=0$ 得 $0$ ，所以：

因此：

【答案】

其中 $C$ 为积分常数。

【解析】 首先，将积分改写为：

计算第一个积分 $\int \arctan xdx$ 。使用分部积分法，设 $u=\arctan x$ ， $dv=dx$ ，则 $du=\frac{1}{1+x^2}dx$ ， $v=x$ ，得：

计算第二个积分 $\int \frac{\arctan x}{1+x^2}dx$ 。设 $u=\arctan x$ ，则 $du=\frac{1}{1+x^2}dx$ ，得：

将两部分合并，得：

其中 $C=C_1-C_2$ 为积分常数。验证导数后与原被积函数一致。

【答案】 等式成立。

【解析】
将 $xy=xf(z)+yg(z)$ 两侧同时对 $x$ 求偏导数，解得

将 $xy=xf(z)+yg(z)$ 两侧同时对 $y$ 求偏导数，解得

从而得到 $[x-g(z)]\frac{\partial z}{\partial x}=[y-f(z)]\frac{\partial z}{\partial y}$ .

【答案】
不等式成立。

【解析】
令 $g(x)=\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}$ ，则当 $x>0$ 时

所以函数 $g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调减少。又

于是当 $x>0$ 时， $g(x)>0$ ，即 $\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)>\frac{1}{1+x}$ 。

【答案】

【解析】 (1) 由条件 $A+B=AB$ ，可得 $AB-A-B=0$ 。注意到 $(A-E)(B-E)=AB-A-B+E$ ，代入条件得 $(A-E)(B-E)=E$ ，因此 $A-E$ 可逆，且其逆矩阵为 $B-E$ 。

(2) 已知 B=​120​−310​002​​ ，则 B−E=​020​−300​001​​ 。计算其逆矩阵：左上角块 $\left(\begin{array}{cc}0& -3\\ 2& 0\end{array}\right)$ 的行列式为 $0\cdot 0-(-3)\cdot 2=6$ ，逆矩阵为 $\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{3}& 0\end{array}\right)$ ，右下角块 $[1]$ 的逆为 $[1]$ ，因此 (B−E)−1=​0−31​0​21​00​001​​ 。于是 A=E+(B−E)−1=​100​010​001​​+​0−31​0​21​00​001​​=​1−31​0​21​10​002​​ 。验证满足 $A+B=AB$ ，故正确。

【答案】 $k=-2$ 或 $k=1$

【解析】 已知向量 $\alpha =(1,k,1{)}^T$ 是矩阵 A=​211​121​112​​ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 的特征向量。由于 $A^{-1}$ 与 $A$ 共享特征向量，且 $A^{-1}$ 的特征值是 $A$ 的特征值的倒数，因此 $\alpha$ 也是 $A$ 的特征向量。

首先，求 $A$ 的特征值。计算特征多项式：

解得特征值 $\mu =1$ （二重）和 $\mu =4$ 。

接下来，求对应的特征向量：

• 对于 $\mu =1$ ，解 $(A-I)x=0$ ，即 $x_1+x_2+x_3=0$ 。代入 $\alpha =(1,k,1{)}^T$ ，得 $1+k+1=0$ ，即 $k=-2$ 。
• 对于 $\mu =4$ ，解 $(A-4I)x=0$ ，即方程组： $\{\begin{array}{l}-2x_1+x_2+x_3=0\\ x_1-2x_2+x_3=0\\ x_1+x_2-2x_3=0\end{array}$ 解得 $x_1=x_2=x_3$ ，因此特征向量为 $(1,1,1{)}^T$ 的倍数。代入 $\alpha =(1,k,1{)}^T$ ，得 $k=1$ 。

因此，常数 $k$ 的值为 $-2$ 或 $1$ 。

【答案】
(1) $X$ 的概率分布为：
$P(X=0)=\frac{1}{2}$ ，
$P(X=1)=\frac{1}{4}$ ，
$P(X=2)=\frac{1}{8}$ ，
$P(X=3)=\frac{1}{8}$ 。

(2) $E\left(\frac{1}{1+X}\right)=\frac{67}{96}$ 。

【解析】
(1) 设每个路口遇到红灯的概率为 $\frac{1}{2}$ ，遇到绿灯的概率也为 $\frac{1}{2}$ ，且相互独立。

• $X=0$ 表示第一个路口遇到红灯，概率为 $\frac{1}{2}$ 。
• $X=1$ 表示第一个路口绿灯、第二个路口红灯，概率为 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ 。
• $X=2$ 表示前两个路口绿灯、第三个路口红灯，概率为 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$ 。
• $X=3$ 表示所有三个路口均为绿灯，概率为 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$ 。
  概率之和为 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=1$ ，符合概率分布要求。

(2) 计算 $E\left(\frac{1}{1+X}\right)$ ：

代入概率值：

通分后计算（公分母为96）：

故 $E\left(\frac{1}{1+X}\right)=\frac{67}{96}$ 。

【答案】
(1) $\alpha =0.064$
(2) $\beta =0.009$

【解析】
电源电压 $X\sim N(220,25^2)$ ，首先计算电压在不同范围内的概率：

• $P(X\le 200)=\Phi \left(\frac{200-220}{25}\right)=\Phi (-0.8)=1-\Phi (0.8)=1-0.788=0.212$
• $P(200<X\le 240)=\Phi \left(\frac{240-220}{25}\right)-\Phi \left(\frac{200-220}{25}\right)=\Phi (0.8)-\Phi (-0.8)=0.788-0.212=0.576$
• $P(X>240)=1-\Phi (0.8)=1-0.788=0.212$

设 $A$ 表示电子元件损坏的事件，根据全概率公式：

代入值：

所以 $\alpha =0.064$ 。

对于 $\beta$ ，即 $P(200<X\le 240\mid A)$ ，使用贝叶斯公式：

所以 $\beta =0.009$ 。

其中，概率值均基于给定的正态分布函数表计算，并保留三位小数。