1991 年真题

【答案】

【解析】 考虑积分 ${\int }_3^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{(x-1{)}^4\sqrt{x^2-2x}}$ 。首先完成平方： $x^2-2x=(x-1{)}^2-1$ ，因此积分化为 ${\int }_3^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{(x-1{)}^4\sqrt{(x-1{)}^2-1}}$ 。令 $u=x-1$ ，则当 $x=3$ 时 $u=2$ ，当 $x\to +\infty$ 时 $u\to +\infty$ ，积分变为 ${\int }_2^{+\infty }\frac{\mathrm{d}u}{u^4\sqrt{u^2-1}}$ 。

令 $u=\sec \theta$ ，则 $\mathrm{d}u=\sec \theta \tan \theta d\theta$ ，且 $\sqrt{u^2-1}=\tan \theta$ 。被积函数化为：

积分上下限对应：当 $u=2$ 时 $\sec \theta =2$ ，即 $\cos \theta =\frac{1}{2}$ ，故 $\theta =\frac{\pi }{3}$ ；当 $u\to +\infty$ 时 $\sec \theta \to +\infty$ ，即 $\theta \to {\frac{\pi }{2}}^{-}$ 。因此积分化为：

计算 $\int {\cos }^3\theta d\theta$ ：

令 $s=\sin \theta$ ，则 $ds=\cos \theta d\theta$ ，于是：

代入上下限：

通分得：

因此，原积分的值为 $\frac{16-9\sqrt{3}}{24}$ 。

【答案】
$-8\pi$

【解析】
考虑曲面积分 $I={\iint }_S-ydzdx+(z+1)dxdy$ ，其中 $S$ 是圆柱面 $x^2+y^2=4$ 被平面 $x+z=2$ 和 $z=0$ 所截部分的外侧。
令向量场 $\mathbf{F}=(0,-y,z+1)$ ，则积分可写为 ${\iint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$ 。
参数化圆柱面： $x=2\cos \theta$ , $y=2\sin \theta$ , $z=z$ ，其中 $\theta \in [0,2\pi ]$ ， $z$ 从 $0$ 到 $2-2\cos \theta$ 。
计算切向量：
${\mathbf{r}}_{\theta }=(-2\sin \theta ,2\cos \theta ,0)$ ，
${\mathbf{r}}_z=(0,0,1)$ 。
法向量为 ${\mathbf{r}}_{\theta }\times {\mathbf{r}}_z=(2\cos \theta ,2\sin \theta ,0)$ ，指向外侧。
面积元素向量 $d\mathbf{S}=(2\cos \theta ,2\sin \theta ,0)d\theta dz$ 。
向量场 $\mathbf{F}=(0,-2\sin \theta ,z+1)$ 。
点积 $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=(0,-2\sin \theta ,z+1)\cdot (2\cos \theta ,2\sin \theta ,0)d\theta dz=-4{\sin }^2\theta d\theta dz$ 。
积分变为：

计算积分：
令 $A={\int }_0^{2\pi }-8{\sin }^2\theta d\theta$ ，
$B={\int }_0^{2\pi }8{\sin }^2\theta \cos \theta d\theta$ 。
计算 $A$ :

所以 $A=-8\pi$ 。
计算 $B$ :
令 $u=\sin \theta$ ，则 $du=\cos \theta d\theta$ ，当 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$ ， $u$ 从 $0$ 到 $0$ ，所以 $B=0$ 。
因此， $I=A+B=-8\pi$ 。
故答案为 $-8\pi$ 。

\boxed{-8\pi}