1990 年卷 4 真题

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【答案】
2

【解析】
考虑极限 $lim_{n \to \infty} (n + 3 n - n - n)$ 。这是一个 $\infty - \infty$ 型不定式，通过有理化处理。
令 $a = n + 3 n$ ， $b = n - n$ ，则

a - b = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{a + b} = \frac{( n + 3 n ) - ( n - n )}{n + 3 n + n - n} = \frac{4 n}{n + 3 n + n - n} .

因此，

n \to \infty lim (n + 3 n - n - n) = n \to \infty lim \frac{4 n}{n + 3 n + n - n} .

将分母中的根式提取 $n$ ：

n + 3 n = n \cdot 1 + \frac{3}{n}, n - n = n \cdot 1 - \frac{1}{n} .

于是，

\frac{4 n}{n ( 1 + \frac{3}{n} + 1 - \frac{1}{n} )} = \frac{4}{1 + \frac{3}{n} + 1 - \frac{1}{n}} .

当 $n \to \infty$ 时， $\frac{3}{n} \to 0$ ， $\frac{1}{n} \to 0$ ，故

1 + \frac{3}{n} \to 1, 1 - \frac{1}{n} \to 1.

因此，分母趋近于 $1 + 1 = 2$ ，极限值为 $\frac{4}{2} = 2$ 。

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【答案】
$a + b$

【解析】
由于函数 $F (x)$ 在 $x = 0$ 处连续，因此有 $lim_{x \to 0} F (x) = F (0) = A$ 。
计算极限：

x \to 0 lim F (x) = x \to 0 lim \frac{f ( x ) + a sin x}{x}

已知 $f (0) = 0$ ，因此该极限为 $\frac{0}{0}$ 型不定式。
将极限拆分为：

x \to 0 lim \frac{f ( x ) + a sin x}{x} = x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} + x \to 0 lim \frac{a sin x}{x}

由导数定义， $lim_{x \to 0} \frac{f ( x )}{x} = f^{'} (0) = b$ 。
又 $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ ，因此 $lim_{x \to 0} \frac{a s i n x}{x} = a$ 。
所以，

x \to 0 lim F (x) = b + a

故 $A = a + b$ 。

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【答案】

\frac{9}{2}

【解析】 曲线 $y = x^{2}$ 与直线 $y = x + 2$ 的交点通过解方程 $x^{2} = x + 2$ 得到，即 $x^{2} - x - 2 = 0$ ，解得 $x = - 1$ 和 $x = 2$ 。在区间 $[- 1, 2]$ 上，直线 $y = x + 2$ 位于曲线 $y = x^{2}$ 的上方，因此所围成的平面图形的面积为：

A = \int_{- 1}^{2} [(x + 2) - x^{2}] d x

计算积分：

\int (x + 2 - x^{2}) d x = \frac{x ^{2}}{2} + 2 x - \frac{x ^{3}}{3} + C

代入上下限：

[\frac{x ^{2}}{2} + 2 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{2} = (\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}) = (2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})

简化：

= (6 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}) = \frac{10}{3} - (- \frac{7}{6}) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}

因此，所求面积为 $\frac{9}{2}$ 。

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【答案】 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 0$

【解析】 将方程组的增广矩阵进行行变换：

1001110001100011 - a_{1} a_{2} - a_{3} a_{4}

第一行乘以 -1 加到第四行：

1000 110 - 1 01100011 - a_{1} a_{2} - a_{3} a_{1} + a_{4}

第二行加到第四行：

1000110001110011 - a_{1} a_{2} - a_{3} a_{1} + a_{2} + a_{4}

第三行乘以 -1 加到第四行：

1000110001100010 - a_{1} a_{2} - a_{3} a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}

方程组有解当且仅当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。系数矩阵的秩为 3，因此增广矩阵的最后一行为零行，即 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 0$ 。

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【答案】 $\frac{2}{3}$

【解析】 设命中率为 $p$ ，则每次射击不命中的概率为 $1 - p$ 。四次独立射击全部不命中的概率为 $(1 - p)^{4}$ 。至少命中一次的概率为 $1 - (1 - p)^{4} = \frac{80}{81}$ 。
解方程：

1 - (1 - p)^{4} (1 - p)^{4} 1 - p p = \frac{80}{81} = 1 - \frac{80}{81} = \frac{1}{81} = 4 \frac{1}{81} = \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

因此，该射手的命中率为 $\frac{2}{3}$ 。

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【答案】

x \in [e, e^{2}] max I (x) = ln (e + 1) - \frac{e}{e + 1}

【解析】
在 $x \in [e, e^{2}]$ 上， $I^{'} (x) = \frac{l n x}{x ^{2} - 2 x + 1} = \frac{l n x}{( x - 1 ) ^{2}} > 0$ ，因此函数 $I (x)$ 在 $[e, e^{2}]$ 上单调增加，最大值为 $I (e^{2})$ 。

I (e^{2}) = \int_{e}^{e^{2}} \frac{ln t}{( t - 1 ) ^{2}} d t = - \int_{e}^{e^{2}} ln t d (\frac{1}{t - 1}) = [- \frac{ln t}{t - 1}]_{e}^{e^{2}} + \int_{e}^{e^{2}} \frac{d t}{t ( t - 1 )} = - \frac{2}{e ^{2} - 1} + \frac{1}{e - 1} + \int_{e}^{e^{2}} (\frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t}) d t = \frac{1}{e + 1} + ln (e^{2} - 1) - 2 - [ln (e - 1) - 1] = - \frac{e}{e + 1} + ln (e + 1) .

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【答案】 $\frac{5}{144}$

【解析】 积分区域 $D$ 由曲线 $y = 4 x^{2}$ 和 $y = 9 x^{2}$ 在第一象限围成。以 $y$ 为自变量，对于固定的 $y$ ， $x$ 的范围从 $\frac{y}{3}$ 到 $\frac{y}{2}$ ， $y$ 的范围从 $0$ 到 $\infty$ 。因此，二重积分可写为：

\iint_{D} x e^{- y^{2}} d x d y = \int_{0}^{\infty} \int_{\frac{y}{3}}^{\frac{y}{2}} x e^{- y^{2}} d x d y .

先计算内层积分：

\int_{\frac{y}{3}}^{\frac{y}{2}} x d x = [\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{y}{3}}^{\frac{y}{2}} = \frac{1}{2} ((\frac{y}{2})^{2} - (\frac{y}{3})^{2}) = \frac{1}{2} (\frac{y}{4} - \frac{y}{9}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5 y}{36} = \frac{5 y}{72} .

代入外层积分：

\int_{0}^{\infty} e^{- y^{2}} \cdot \frac{5 y}{72} d y = \frac{5}{72} \int_{0}^{\infty} y e^{- y^{2}} d y .

计算积分 $\int_{0}^{\infty} y e^{- y^{2}} d y$ ，令 $u = y^{2}$ ，则 $d u = 2 y d y$ ，即 $y d y = \frac{d u}{2}$ ，积分限变为 $u$ 从 $0$ 到 $\infty$ ：

\int_{0}^{\infty} y e^{- y^{2}} d y = \int_{0}^{\infty} e^{- u} \cdot \frac{d u}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{- u} d u = \frac{1}{2} [- e^{- u}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} (0 - (- 1)) = \frac{1}{2} .

因此，原积分为：

\frac{5}{72} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{144} .

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【答案】
收敛域为 $[2, 4]$ 。

【解析】
考虑幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( x - 3 ) ^{n}}{n ^{2}}$ ，其中心在 $x = 3$ 。使用比值测试求收敛半径：
设 $a_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$ ，则

n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = n \to \infty lim \frac{\frac{1}{( n + 1 ) ^{2}}}{\frac{1}{n ^{2}}} = n \to \infty lim \frac{n ^{2}}{( n + 1 ) ^{2}} = 1,

因此收敛半径 $R = 1$ 。级数在 $∣ x - 3∣ < 1$ 时绝对收敛，在 $∣ x - 3∣ > 1$ 时发散。
检查端点：
当 $x = 4$ 时，级数为 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}}$ ，是 $p = 2 > 1$ 的 $p$ -级数，收敛；
当 $x = 2$ 时，级数为 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ ，绝对收敛。
故收敛域为 $∣ x - 3∣ \leq 1$ ，即 $[2, 4]$ 。

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【答案】
$y = e^{- s i n x} (x ln x - x + C)$ ，其中 $C$ 为任意常数。

【解析】
给定微分方程 $y^{'} + y cos x = (ln x) e^{- s i n x}$ ，这是一阶线性微分方程。
标准形式为 $y^{'} + P (x) y = Q (x)$ ，其中 $P (x) = cos x$ ， $Q (x) = (ln x) e^{- s i n x}$ 。
积分因子为 $e^{\int P (x) d x} = e^{s i n x}$ 。
通解公式为 $y = e^{- \int P (x) d x} (\int Q (x) e^{\int P (x) d x} d x + C)$ 。
代入得：

y = e^{- s i n x} (\int (ln x) e^{- s i n x} e^{s i n x} d x + C) = e^{- s i n x} (\int ln x d x + C)

计算积分 $\int ln x d x = x ln x - x$ 。
因此，通解为 $y = e^{- s i n x} (x ln x - x + C)$ 。
验证：令 $y = e^{- s i n x} (x ln x - x + C)$ ，计算 $y^{'}$ 并代入原方程，满足等式。

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【答案】
(1) 最优广告策略为电台广告费用 $x_{1} = 0.75$ 万元，报纸广告费用 $x_{2} = 1.25$ 万元。
(2) 最优广告策略为电台广告费用 $x_{1} = 0$ 万元，报纸广告费用 $x_{2} = 1.5$ 万元。

【解析】
(1) 利润为销售收入减去成本，所以利润函数为

π = 15 + 14 x_{1} + 32 x_{2} - 8 x_{1} x_{2} - 2 x_{1}^{2} - 10 x_{2}^{2} - (x_{1} + x_{2})

= 15 + 13 x_{1} + 31 x_{2} - 8 x_{1} x_{2} - 2 x_{1}^{2} - 10 x_{2}^{2} .

由多元函数极值点的必要条件，有

⎩ ⎨ ⎧ \frac{\partial π}{\partial x _{1}} = - 4 x_{1} - 8 x_{2} + 13 = 0, \frac{\partial π}{\partial x _{2}} = - 8 x_{1} - 20 x_{2} + 31 = 0,

解得 $x_{1} = 0.75, x_{2} = 1.25$ 。因驻点惟一，且实际问题必有最大值，故投入电台广告费用 0.75 万元，报纸广告费用 1.25 万元可获最大利润。

(2) 若广告费用为1.5万元，则应当求利润函数在 $x_{1} + x_{2} = 1.5$ 时的条件最大值。拉格朗日函数

L (x_{1}, x_{2}, λ) = 15 + 13 x_{1} + 31 x_{2} - 8 x_{1} x_{2} - 2 x_{1}^{2} - 10 x_{2}^{2} + λ (x_{1} + x_{2} - 1.5) .

对它求各个偏导数得到方程组

⎩ ⎨ ⎧ \frac{\partial L}{\partial x _{1}} = - 4 x_{1} - 8 x_{2} + 13 + λ = 0, \frac{\partial L}{\partial x _{2}} = - 8 x_{1} - 20 x_{2} + 31 + λ = 0, \frac{\partial L}{\partial λ} = x_{1} + x_{2} - 1.5 = 0

解得 $x_{1} = 0, x_{2} = 1.5$ 。因驻点惟一，且实际问题必有最大值，故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告，可便利润最大。

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【答案】 见解析

【解析】
方法1：由拉格朗日中值定理

f (a + b) - f (a) - f (b) = [f (a + b) - f (b)] - [f (a) - f (0)]

= f^{'} (ξ_{2}) a - f^{'} (ξ_{1}) a = a [f^{'} (ξ_{2}) - f^{'} (ξ_{1})],

其中 $0 < ξ_{1} < a \leq b < ξ_{2} < a + b$ 。又 $f^{'} (x)$ 单调减少，故 $f^{'} (ξ_{2}) \leq f^{'} (ξ_{1})$ 。从而有

f (a + b) - f (a) - f (b) \leq 0, 即 f (a + b) \leq f (a) + f (b) .

方法2：构造辅助函数

F (x) = f (x) + f (a) - f (a + x), x \in [0, b],

则 $F (0) = 0$ 。又因为

F^{'} (x) = f^{'} (x) - f^{'} (a + x)

且 $a \geq 0$ ， $f^{'} (x)$ 在 $(0, b)$ 单调减少，所以 $F^{'} (x) \geq 0$ ，于是 $F (x)$ 在 $[0, b]$ 上单调递增，故 $F (b) \geq F (0) = 0$ ，即 $f (a + b) \leq f (a) + f (b)$ ，其中 $0 \leq a \leq b \leq a + b \leq c$ .

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【答案】
(1) 当 $a = 1$ ， $b = 3$ 时，方程组有解。
(2) 导出组的一个基础解系为：

ξ_{1} = 1 - 2 100, ξ_{2} = 1 - 2 010, ξ_{3} = 5 - 6 001

(3) 方程组的全部解为：

x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} = - 2 3000 + c_{1} 1 - 2 100 + c_{2} 1 - 2 010 + c_{3} 5 - 6 001

其中 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 为任意常数。

【解析】
首先，将方程组的增广矩阵进行行化简：

1305121411231123 1 - 3 6 - 1 a 0 b 2

通过行操作，第一行不变，第二行减去第一行的 3 倍，第四行减去第一行的 5 倍，得到：

1000 1 - 1 1 - 1 1 - 2 2 - 2 1 - 2 2 - 2 1 - 6 6 - 6 a - 3 a b 2 - 5 a

将第二行和第四行乘以 -1，得到：

10001111122212221666 a 3 a b 5 a - 2

第二、三、四行的左侧部分相同，因此方程组有解的条件是这些行的常数项相等，即 $3 a = b$ 和 $3 a = 5 a - 2$ 。解之得 $a = 1$ ， $b = 3$ 。

当 $a = 1$ ， $b = 3$ 时，增广矩阵化简为：

100011001200120016001300

对应方程组为：

{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 1 x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} + 6 x_{5} = 3

导出组（齐次方程组）为：

{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 0 x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} + 6 x_{5} = 0

解导出组，令 $x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 为自由变量，解得：

x_{1} = x_{3} + x_{4} + 5 x_{5}, x_{2} = - 2 x_{3} - 2 x_{4} - 6 x_{5}

基础解系由三个线性无关的解向量组成：

ξ_{1} = 1 - 2 100, ξ_{2} = 1 - 2 010, ξ_{3} = 5 - 6 001

对于非齐次方程组，求一个特解。令 $x_{3} = 0, x_{4} = 0, x_{5} = 0$ ，代入得 $x_{2} = 3$ ， $x_{1} = - 2$ ，特解为：

η = - 2 3000

全部解为特解加上导出组基础解系的线性组合。

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【答案】

逆矩阵为 $E + A + A^{2} + \dots + A^{k - 1}$ .

【解析】

由于 $A^{k} = 0$ ，考虑矩阵 $B = E + A + A^{2} + \dots + A^{k - 1}$ 。计算 $(E - A) B$ ：

(E - A) (E + A + A^{2} + \dots + A^{k - 1}) = E (E + A + A^{2} + \dots + A^{k - 1}) - A (E + A + A^{2} + \dots + A^{k - 1}) = E + A + A^{2} + \dots + A^{k - 1} - A - A^{2} - \dots - A^{k - 1} - A^{k} .

由于 $A^{k} = 0$ ，上式简化为 $E$ 。同理，可以验证 $B (E - A) = E$ 。因此， $E - A$ 可逆，且其逆矩阵为 $B = E + A + A^{2} + \dots + A^{k - 1}$ .

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【答案】
$x_{1} + x_{2}$ 不是 $A$ 的特征向量。

【解析】
假设 $x_{1} + x_{2}$ 是 $A$ 的特征向量，则存在特征值 $λ$ ，使得

A (x_{1} + x_{2}) = λ (x_{1} + x_{2}) .

由于 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 分别是属于 $λ_{1}$ 、 $λ_{2}$ 的特征向量，有

A x_{1} = λ_{1} x_{1}, A x_{2} = λ_{2} x_{2} .

于是

A (x_{1} + x_{2}) = A x_{1} + A x_{2} = λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2} .

结合假设得

λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2} = λ (x_{1} + x_{2}),

整理为

(λ_{1} - λ) x_{1} + (λ_{2} - λ) x_{2} = 0.

由于 $λ_{1} \neq = λ_{2}$ ，对应于不同特征值的特征向量 $x_{1}, x_{2}$ 线性无关。
因此线性组合为零当且仅当系数全为零，即

λ_{1} - λ = 0, λ_{2} - λ = 0,

于是 $λ_{1} = λ$ 且 $λ_{2} = λ$ ，与 $λ_{1} \neq = λ_{2}$ 矛盾。
故假设不成立， $x_{1} + x_{2}$ 不是 $A$ 的特征向量。

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【答案】
$P (A_{1}) = \frac{7}{15}$ ， $P (A_{2}) = \frac{14}{15}$

【解析】
从数字 0 到 9 中任选三个不同的数字，共有

C (10, 3) = 120 种可能。

事件 $A_{1}$ ：三个数字中不含 0 和 5，即从其余 8 个数字中选 3 个，
$C (8, 3) = 56 种, P (A_{1}) = \frac{56}{120} = \frac{7}{15} .$
事件 $A_{2}$ ：三个数字中不含 0 或 5（即至少缺少其中一个），等价于不同时包含 0 和 5。
同时包含 0 和 5 的选法为：固定 0 和 5，再从其余 8 个数字中选 1 个，
$C (8, 1) = 8 种, P (同时含 0 和 5) = \frac{8}{120} = \frac{1}{15} .$
因此
$P (A_{2}) = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15} .$

另一种方法：
设 $B$ 为“不含 0”， $C$ 为“不含 5”，则 $A_{2} = B \cup C$ 。

P (B) = \frac{C ( 9 , 3 )}{120} = \frac{84}{120}, P (C) = \frac{84}{120}, P (B \cap C) = P (A_{1}) = \frac{56}{120} .

由容斥原理得

P (B \cup C) = \frac{84}{120} + \frac{84}{120} - \frac{56}{120} = \frac{112}{120} = \frac{14}{15} .

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【答案】
(1) 是独立的。
(2) $α = e^{- 0.1}$

【解析】
(Ⅰ) $X$ 和 $Y$ 的边缘分布函数分别为

F_{X} (x) = F (x, + \infty) = y \to + \infty lim F (x, y) = {1 - e^{- 0.5 x}, 0, x \geq 0, x < 0;

F_{Y} (y) = F (+ \infty, y) = x \to + \infty lim F (x, y) = {1 - e^{- 0.5 y}, 0, y \geq 0, y < 0.

由于对任意实数 $x, y$ 都满足 $F (x, y) = F_{X} (x) F_{Y} (y)$ 。因此 $X$ 和 $Y$ 相互独立。

(Ⅱ) 因为 $X$ 和 $Y$ 相互独立，所以有

α = P {X > 0.1, Y > 0.1} = P {X > 0.1} \cdot P {Y > 0.1}

= [1 - F_{X} (0.1)] [1 - F_{Y} (0.1)] = e^{- 0.05} \cdot e^{- 0.05} = e^{- 0.1} .

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【答案】 0.682

【解析】
设 $X$ 为考生的外语成绩，依题意有 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，且 $μ = 72$ ，但 $σ^{2}$ 未知。所以可标准化得

\frac{X - 72}{σ} \sim N (0, 1) .

由标准正态分布函数概率的计算公式，有

P {X > 96} = 1 - P {X \leq 96} = 1 - Φ (\frac{96 - 72}{σ}) = 1 - Φ (\frac{24}{σ}) = 0.023,

即 $Φ (\frac{24}{σ}) = 1 - 0.023 = 0.977$ 。查表可得 $\frac{24}{σ} = 2$ ，即 $σ = 12$ ，从而 $X \sim N (72, 1 2^{2})$

P {60 \leq X \leq 84} = P {\frac{X - 72}{12} \leq 1} = 2Φ (1) - 1 = 0.682.

1990 年真题

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2

3

4

5

选择题

6

7

8

9

10

计算题

11

12

13

14

解答题

15

16

17

18

19

20

21

22