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1989 年真题

21 题

填空题

本题满分15分，每小题3分

1

同试卷 4 第 1 题

2

某商品的需求量 $Q$ 与价格 $p$ 的函数关系为 $Q = a p^{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数，且 $a \neq = 0$ ，则需求量对价格 $p$ 的弹性是 ______.

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【答案】 $b$

【解析】 需求的价格弹性定义为 $E_{p} = \frac{d Q}{d p} \cdot \frac{p}{Q}$ 。给定函数 $Q = a p^{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数，且 $a \neq = 0$ ，首先求导数 $\frac{d Q}{d p} = ab p^{b - 1}$ 。代入弹性公式，得 $E_{p} = (ab p^{b - 1}) \cdot \frac{p}{a p ^{b}} = b \cdot \frac{p ^{b}}{p ^{b}} = b$ 。因此，需求量对价格 $p$ 的弹性为常数 $b$ 。

3

行列式 $111 x + 1 - 1 - 1 x - 1 - 1 1 x + 1 11 x - 1 - 1 - 1 - 1$ = ______.

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【答案】 $x^{4}$

【解析】
通过行变换简化行列式。首先，从第二行、第三行和第四行分别减去第一行，得到矩阵：

100 x - 1 0 x 0 1 x 00 x - 1 - x - x - x

然后，从第四行减去 $x$ 倍的第一行，得到：

1000 - 1 0 x x 1 x 0 - x x - 1 - x - x - x^{2}

沿第一列展开，行列式等于其余子式的行列式：

0 x x x 0 - x - x - x - x^{2}

计算该三阶行列式，按第一行展开：

0 \cdot 0 - x - x - x^{2} - x \cdot x x - x - x^{2} + (- x) \cdot x x 0 - x

其中，

x x - x - x^{2} = x \cdot (- x^{2}) - (- x) \cdot x = - x^{3} + x^{2}

x x 0 - x = x \cdot (- x) - 0 \cdot x = - x^{2}

代入得：

- x \cdot (- x^{3} + x^{2}) + (- x) \cdot (- x^{2}) = x \cdot (x^{3} - x^{2}) + x \cdot x^{2} = x^{4} - x^{3} + x^{3} = x^{4}

因此，原行列式为 $x^{4}$ 。

4

设随机变量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 相互独立，其中 $X_{1}$ 在 $[0, 6]$ 上服从均匀分布， $X_{2}$ 服从正态分布 $N (0, 2^{2})$ ， $X_{3}$ 服从参数为 $λ = 3$ 的泊松分布，记 $Y = X_{1} - 2 X_{2} + 3 X_{3}$ ，则 $D Y =$ ______.

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【答案】 46

【解析】 由于随机变量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 相互独立，且 $Y = X_{1} - 2 X_{2} + 3 X_{3}$ ，则方差 $D Y = Var (Y) = 1^{2} \cdot Var (X_{1}) + (- 2)^{2} \cdot Var (X_{2}) + 3^{2} \cdot Var (X_{3})$ 。

计算各变量的方差：

$X_{1}$ 在 $[0, 6]$ 上服从均匀分布，方差 $Var (X_{1}) = \frac{( 6 - 0 ) ^{2}}{12} = \frac{36}{12} = 3$ 。
$X_{2}$ 服从正态分布 $N (0, 2^{2})$ ，方差 $Var (X_{2}) = 2^{2} = 4$ 。
$X_{3}$ 服从参数 $λ = 3$ 的泊松分布，方差 $Var (X_{3}) = 3$ 。

代入公式：

D Y = 1^{2} \cdot 3 + (- 2)^{2} \cdot 4 + 3^{2} \cdot 3 = 1 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 9 \cdot 3 = 3 + 16 + 27 = 46.

因此， $D Y = 46$ 。

5

同试卷 4 第 4 题

选择题

本题满分15分，每小题3分

9

设 $n$ 元齐次线性方程组 $A X = 0$ 的系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，则 $A X = 0$ 有非零解的充分必要条件是

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正确答案：B

正确答案：B
对于

n

元齐次线性方程组

A X = 0

，设其系数矩阵

A

的秩为

r

。该方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩

r

小于未知数的个数

n

。
这是因为当

r = n

时，

A

的列向量线性无关，方程组只有零解；当

r < n

时，

A

的列向量线性相关，存在自由变量，从而有非零解。
选项 A（

r = n

）对应只有零解的情况；选项 C（

r \geq n

）由于

r \leq n

，实际上等价于

r = n

，同样只有零解；选项 D（

r > n

）不可能，因为矩阵的秩

r

不能超过其列数

n

。
因此，正确选项是 B。

10

同试卷 4 第 10 题

计算题

本题满分20分，每小题5分

11

求极限 $lim_{x \to + \infty} (x + e^{x})^{\frac{1}{x}}$ ．

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【答案】
$e$

【解析】
考虑极限 $lim_{x \to + \infty} (x + e^{x})^{\frac{1}{x}}$ 。
令 $L = lim_{x \to + \infty} (x + e^{x})^{\frac{1}{x}}$ ，则 $ln L = lim_{x \to + \infty} \frac{l n ( x + e ^{x} )}{x}$ 。
由于 $e^{x}$ 占主导，将 $x + e^{x}$ 写为 $e^{x} (1 + \frac{x}{e ^{x}})$ ，
于是 $ln (x + e^{x}) = ln e^{x} + ln (1 + \frac{x}{e ^{x}}) = x + ln (1 + \frac{x}{e ^{x}})$ 。
因此，

ln L = x \to + \infty lim \frac{x + ln ( 1 + \frac{x}{e ^{x}} )}{x} = x \to + \infty lim (1 + \frac{ln ( 1 + \frac{x}{e ^{x}} )}{x}) .

当 $x \to + \infty$ 时， $\frac{x}{e ^{x}} \to 0$ ，故 $ln (1 + \frac{x}{e ^{x}}) \sim \frac{x}{e ^{x}}$ ，
所以

\frac{ln ( 1 + \frac{x}{e ^{x}} )}{x} \sim \frac{\frac{x}{e ^{x}}}{x} = \frac{1}{e ^{x}} \to 0.

因此， $ln L = 1$ ，即 $L = e$ 。
故极限为 $e$ 。

12

已知 $z = a^{x^{2} - y^{2}}$ ，其中 $a > 0$ , $a \neq = 1$ ，求 $d z$ ．

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【答案】

d z = \frac{a ^{x^{2} - y^{2}} ln a}{x ^{2} - y ^{2}} (x d x - y d y)

【解析】 给定函数 $z = a^{x^{2} - y^{2}}$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ ，需求全微分 $d z$ 。全微分公式为 $d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y$ 。

首先，令 $u = x^{2} - y^{2}$ ，则 $z = a^{u}$ 。对 $u$ 求偏导：

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{x}{x ^{2} - y ^{2}}, \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{y}{x ^{2} - y ^{2}} .

对 $z$ 关于 $u$ 求导：

\frac{\partial z}{\partial u} = a^{u} ln a = a^{x^{2} - y^{2}} ln a .

利用链式法则，求 $z$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导：

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = a^{x^{2} - y^{2}} ln a \cdot \frac{x}{x ^{2} - y ^{2}},

\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} = a^{x^{2} - y^{2}} ln a \cdot (- \frac{y}{x ^{2} - y ^{2}}) = - \frac{a ^{x^{2} - y^{2}} ln a \cdot y}{x ^{2} - y ^{2}} .

代入全微分公式：

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y = \frac{a ^{x^{2} - y^{2}} ln a \cdot x}{x ^{2} - y ^{2}} d x - \frac{a ^{x^{2} - y^{2}} ln a \cdot y}{x ^{2} - y ^{2}} d y,

整理得：

d z = \frac{a ^{x^{2} - y^{2}} ln a}{x ^{2} - y ^{2}} (x d x - y d y) .

注意：此结果在 $x^{2} - y^{2} > 0$ 时成立，以确保根号内为正且分母不为零。

13

求不定积分 $\int \frac{x + l n ( 1 - x )}{x ^{2}} d x$ ．

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【答案】

- \frac{( 1 - x ) ln ( 1 - x )}{x} + C

【解析】 首先，将原积分拆分为两个部分：

\int \frac{x + ln ( 1 - x )}{x ^{2}} d x = \int \frac{x}{x ^{2}} d x + \int \frac{ln ( 1 - x )}{x ^{2}} d x = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{ln ( 1 - x )}{x ^{2}} d x

其中， $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C_{1}$ ，但后续常数会合并。

对于 $\int \frac{l n ( 1 - x )}{x ^{2}} d x$ ，使用分部积分法。设 $u = ln (1 - x)$ ， $d v = \frac{1}{x ^{2}} d x$ ，则 $d u = - \frac{1}{1 - x} d x$ ， $v = - \frac{1}{x}$ 。代入分部积分公式：

\int u d v = uv - \int v d u

得到：

\int \frac{ln ( 1 - x )}{x ^{2}} d x = ln (1 - x) \cdot (- \frac{1}{x}) - \int (- \frac{1}{x}) \cdot (- \frac{1}{1 - x}) d x = - \frac{ln ( 1 - x )}{x} - \int \frac{1}{x ( 1 - x )} d x

对 $\int \frac{1}{x ( 1 - x )} d x$ 进行部分分式分解：

\frac{1}{x ( 1 - x )} = \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x}

所以：

\int \frac{1}{x ( 1 - x )} d x = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{1 - x} d x = ln ∣ x ∣ - ln ∣1 - x ∣ + C_{2}

代回分部积分结果：

\int \frac{ln ( 1 - x )}{x ^{2}} d x = - \frac{ln ( 1 - x )}{x} - (ln ∣ x ∣ - ln ∣1 - x ∣) + C_{2} = - \frac{ln ( 1 - x )}{x} - ln ∣ x ∣ + ln ∣1 - x ∣ + C_{2}

将两部分积分合并：

\int \frac{x + ln ( 1 - x )}{x ^{2}} d x = ln ∣ x ∣ + (- \frac{ln ( 1 - x )}{x} - ln ∣ x ∣ + ln ∣1 - x ∣) + C = ln ∣1 - x ∣ - \frac{ln ( 1 - x )}{x} + C

由于 $ln (1 - x)$ 要求 $1 - x > 0$ ，即 $x < 1$ ，因此绝对值可省略，化简为：

ln (1 - x) - \frac{ln ( 1 - x )}{x} + C = - \frac{( 1 - x ) ln ( 1 - x )}{x} + C

此结果验证无误，求导后可得原被积函数。

14

求二重积分 $\iint_{D} \frac{1 - x ^{2} - y ^{2}}{1 + x ^{2} + y ^{2}} d x d y$ ，其中 $D$ 是 $x^{2} + y^{2} = 1$ , $x = 0$ 和 $y = 0$ 所围成的区域在第Ⅰ象限部分．

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【答案】

\frac{π}{2} ln 2 - \frac{π}{4}

【解析】 积分区域 $D$ 是单位圆在第一象限的部分，即 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ ， $0 \leq r \leq 1$ 。
使用极坐标变换：令 $x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$ ，则 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，积分元素 $d x d y = r d r d θ$ 。
被积函数变为 $\frac{1 - r ^{2}}{1 + r ^{2}}$ 。
二重积分化为：

\iint_{D} \frac{1 - x ^{2} - y ^{2}}{1 + x ^{2} + y ^{2}} d x d y = \int_{0}^{π /2} \int_{0}^{1} \frac{1 - r ^{2}}{1 + r ^{2}} r d r d θ

由于被积函数与 $θ$ 无关，可分离变量：

= \int_{0}^{π /2} d θ \cdot \int_{0}^{1} \frac{1 - r ^{2}}{1 + r ^{2}} r d r

计算 $θ$ 的积分：

\int_{0}^{π /2} d θ = \frac{π}{2}

计算 $r$ 的积分：
令 $I_{r} = \int_{0}^{1} \frac{1 - r ^{2}}{1 + r ^{2}} r d r$ 。
代入 $u = r^{2}$ ，则 $d u = 2 r d r$ ，即 $r d r = \frac{d u}{2}$ ，积分限变为 $u = 0$ 到 $u = 1$ ：

I_{r} = \int_{0}^{1} \frac{1 - u}{1 + u} \cdot \frac{d u}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1 - u}{1 + u} d u

简化被积函数：

\frac{1 - u}{1 + u} = - 1 + \frac{2}{1 + u}

因此：

\int_{0}^{1} \frac{1 - u}{1 + u} d u = \int_{0}^{1} (- 1 + \frac{2}{1 + u}) d u = [- u]_{0}^{1} + 2 [ln ∣1 + u ∣]_{0}^{1} = - 1 + 2 ln 2

于是：

I_{r} = \frac{1}{2} (- 1 + 2 ln 2) = - \frac{1}{2} + ln 2

二重积分为：

\frac{π}{2} \times I_{r} = \frac{π}{2} (- \frac{1}{2} + ln 2) = \frac{π}{2} ln 2 - \frac{π}{4}

故所求积分为 $\frac{π}{2} ln 2 - \frac{π}{4}$ 。

解答题

15

已知某企业的总收入函数为 $R = 26 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}$ ，总成本函数为 $C = 8 x + x^{2}$ ，其中 $x$ 表示产品的产量，求利润函数、边际收入函数、边际成本函数、以及企业获得最大利润时的产量和最大利润．

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【答案】
利润函数： $L = 18 x - 3 x^{2} - 4 x^{3}$
边际收入函数： $MR = 26 - 4 x - 12 x^{2}$
边际成本函数： $MC = 8 + 2 x$
企业获得最大利润时的产量： $x = 1$
最大利润： $L = 11$

【解析】
利润函数是总收入函数减去总成本函数，即

L = R - C = (26 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}) - (8 x + x^{2}) = 18 x - 3 x^{2} - 4 x^{3}

边际收入函数是总收入函数对产量 $x$ 的导数，即

MR = \frac{d R}{d x} = 26 - 4 x - 12 x^{2}

边际成本函数是总成本函数对产量 $x$ 的导数，即

MC = \frac{d C}{d x} = 8 + 2 x

为了求最大利润时的产量，对利润函数求一阶导数并设为零：

\frac{d L}{d x} = 18 - 6 x - 12 x^{2} = 0

简化得

2 x^{2} + x - 3 = 0

解二次方程得 $x = 1$ 或 $x = - 1.5$ ，由于产量不能为负，取 $x = 1$ 。
验证二阶导数：

\frac{d ^{2} L}{d x ^{2}} = - 6 - 24 x

在 $x = 1$ 时值为 $- 30 < 0$ ，故为极大值点。
将 $x = 1$ 代入利润函数得最大利润

L = 18 (1) - 3 (1)^{2} - 4 (1)^{3} = 11

16

已知函数 $y = \frac{2 x ^{2}}{( 1 - x ) ^{2}}$ ，试求其单调区间、极值点、及图形的凹凸性、拐点和渐近线，并画出函数的图形．

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【答案】

单调区间：在 $(- \infty, 0)$ 和 $(1, + \infty)$ 上单调递减，在 $(0, 1)$ 上单调递增。
极值点：局部极小值点为 $(0, 0)$ 。
凹凸性：在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 上凹向下，在 $(- \frac{1}{2}, 1)$ 和 $(1, + \infty)$ 上凹向上。
拐点： $(- \frac{1}{2}, \frac{2}{9})$ 。
渐近线：垂直渐近线为 $x = 1$ ，水平渐近线为 $y = 2$ 。
函数图形：见解析

【解析】 函数 $y = \frac{2 x ^{2}}{( 1 - x ) ^{2}}$ 的定义域为 $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ 。

一阶导数为

y^{'} = \frac{4 x}{( 1 - x ) ^{3}} .

令 $y^{'} = 0$ ，得临界点 $x = 0$ 。分析符号：

当 $x < 0$ 时， $y^{'} < 0$ ，函数单调递减；
当 $0 < x < 1$ 时， $y^{'} > 0$ ，函数单调递增；
当 $x > 1$ 时， $y^{'} < 0$ ，函数单调递减。

因此，单调区间为 $(- \infty, 0)$ 递减、 $(0, 1)$ 递增、 $(1, + \infty)$ 递减，极值点为局部极小值点 $(0, 0)$ 。

二阶导数为

y^{''} = \frac{4 ( 1 + 2 x )}{( 1 - x ) ^{4}} .

令 $y^{''} = 0$ ，得 $x = - \frac{1}{2}$ 。分析符号：

当 $x < - \frac{1}{2}$ 时， $y^{''} < 0$ ，曲线凹向下；
当 $x > - \frac{1}{2}$ 且 $x \neq = 1$ 时， $y^{''} > 0$ ，曲线凹向上。

因此，凹凸性为 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 凹向下、 $(- \frac{1}{2}, 1)$ 和 $(1, + \infty)$ 凹向上，拐点为 $(- \frac{1}{2}, \frac{2}{9})$ 。

渐近线：

垂直渐近线为 $x = 1$ ，因为 $lim_{x \to 1} y = + \infty$ ；
水平渐近线为 $y = 2$ ，因为 $lim_{x \to \pm \infty} y = 2$ 。

图形基于以上性质绘制：经过点 $(0, 0)$ 和 $(- \frac{1}{2}, \frac{2}{9})$ ，在 $x = 1$ 处有垂直渐近线，在 $y = 2$ 处有水平渐近线。

当 $x \to - \infty$ 时，图形从下方趋近于 $y = 2$ ；
当 $x \to 1^{-}$ 时，图形趋于 $+ \infty$ ；
当 $x \to 1^{+}$ 时，图形趋于 $+ \infty$ ；
当 $x \to + \infty$ 时，图形从上方趋近于 $y = 2$ 。

17

同试卷 4 第 17 题

18

同试卷 4 第 18 题

19

同试卷 4 第 19 题

20

已知随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布为

(x, y) P {X = x, Y = y} (0, 0) 0.10 (0, 1) 0.15 (1, 0) 0.25 (1, 1) 0.20 (2, 0) 0.15 (2, 1) 0.15

试求：

(1) $X$ 的概率分布；

(2) $X + Y$ 的概率分布；

(3) $Z = sin \frac{π ( X + Y )}{2}$ 的数学期望．

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【答案】
(1) $X$ 的概率分布：

X P {X = x} 0 0.25 1 0.45 2 0.30

(2) $X + Y$ 的概率分布：

X + Y P {X + Y = s} 0 0.10 1 0.40 2 0.35 3 0.15

(3) $Z = sin \frac{π ( X + Y )}{2}$ 的数学期望 $EZ = 0.25$ 。

【解析】
(1) 求 $X$ 的概率分布：通过联合分布计算 $X$ 的边缘分布。
当 $X = 0$ 时， $P (X = 0) = P (0, 0) + P (0, 1) = 0.10 + 0.15 = 0.25$ ；
当 $X = 1$ 时， $P (X = 1) = P (1, 0) + P (1, 1) = 0.25 + 0.20 = 0.45$ ；
当 $X = 2$ 时， $P (X = 2) = P (2, 0) + P (2, 1) = 0.15 + 0.15 = 0.30$ 。
因此， $X$ 的概率分布如上。

(2) 求 $X + Y$ 的概率分布：列出 $X + Y$ 的所有可能值及其概率。
$X + Y = 0$ 对应 $(0, 0)$ ，概率为 $0.10$ ；
$X + Y = 1$ 对应 $(0, 1)$ 和 $(1, 0)$ ，概率之和为 $0.15 + 0.25 = 0.40$ ；
$X + Y = 2$ 对应 $(1, 1)$ 和 $(2, 0)$ ，概率之和为 $0.20 + 0.15 = 0.35$ ；
$X + Y = 3$ 对应 $(2, 1)$ ，概率为 $0.15$ 。
因此， $X + Y$ 的概率分布如上。

(3) 求 $Z = sin \frac{π ( X + Y )}{2}$ 的数学期望：令 $S = X + Y$ ，则 $Z = sin \frac{π S}{2}$ 。
计算 $S$ 取不同值时 $Z$ 的值：
当 $S = 0$ 时， $Z = sin (0) = 0$ ；
当 $S = 1$ 时， $Z = sin (π /2) = 1$ ；
当 $S = 2$ 时， $Z = sin (π) = 0$ ；
当 $S = 3$ 时， $Z = sin (3 π /2) = - 1$ 。
利用 $S$ 的概率分布求期望：
$E [Z] = 0 \times P (S = 0) + 1 \times P (S = 1) + 0 \times P (S = 2) + (- 1) \times P (S = 3) = 0 \times 0.10 + 1 \times 0.40 + 0 \times 0.35 + (- 1) \times 0.15 = 0.40 - 0.15 = 0.25$ 。
因此，数学期望为 $0.25$ 。

21

某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，分布密度为

f (x) = {\frac{1}{600} e^{- x /600}, 0, x > 0, x \leq 0.

试求：在仪器使用的最初 $200$ 小时内，至少有一只电子元件损坏的概率 $α$ ．

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【答案】
$α = 1 - e^{- 1}$

【解析】
每个电子元件的寿命服从指数分布，参数 $λ = \frac{1}{600}$ 。单个元件在 200 小时内损坏的概率为：

p = F (200) = 1 - e^{- λ \cdot 200} = 1 - e^{- \frac{200}{600}} = 1 - e^{- \frac{1}{3}}

单个元件在 200 小时内存活的概率为 $1 - p = e^{- \frac{1}{3}}$ 。
由于三个元件独立工作，所有三个元件在 200 小时内都存活的概率为：

(e^{- \frac{1}{3}})^{3} = e^{- 1}

因此，在 200 小时内至少有一只电子元件损坏的概率为：

α = 1 - e^{- 1}