1989 年真题

【答案】

【解析】
边界曲线由三条四分之一圆弧组成：

• 位于 $xy$ 平面（ $z=0$ ），
• 位于 $yz$ 平面（ $x=0$ ），
• 位于 $zx$ 平面（ $y=0$ ）。

每条圆弧的半径为 $R$ ，长度为 $\frac{\pi R}{2}$ ，因此总长度为

计算曲线积分 ${\int }_{C}xds$ ：

1. 在 $xy$ 平面弧上，参数化为
   

   $$x=R\cos \theta ,y=R\sin \theta ,\theta \in [0,\frac{\pi }{2}],$$

   弧长元素 $ds=Rd\theta$ ，积分得
   

   $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}R\cos \theta \cdot Rd\theta =R^2.$$

2. 在 $zx$ 平面弧上，参数化为
   

   $$x=R\cos \varphi ,z=R\sin \varphi ,\varphi \in [0,\frac{\pi }{2}],$$

   积分同样为 $R^2$ 。

3. 在 $yz$ 平面弧上， $x=0$ ，积分得 $0$ 。

因此

同理计算 ${\int }_{C}yds$ ：

• 在 $xy$ 平面弧上积分得 $R^2$ ，
• 在 $yz$ 平面弧上积分得 $R^2$ ，
• 在 $zx$ 平面弧上 $y=0$ ，积分得 $0$ ，

故

计算 ${\int }_{C}zds$ ：

• 在 $yz$ 平面弧上积分得 $R^2$ ，
• 在 $zx$ 平面弧上积分得 $R^2$ ，
• 在 $xy$ 平面弧上 $z=0$ ，积分得 $0$ ，

故

重心坐标：

同理

因此，重心坐标为

【答案】 等式成立。

【解析】 考虑向量场 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$ ，其中 $P=x^{2}y{z}^2$ ， $Q=-x{y}^2{z}^2$ ， $R=z(1+xyz)$ 。则给定曲面积分可写为：

由散度定理，有：

计算散度：

因此，

需证 ${\iiint }_{\Omega }xyzdV=0$ 。区域 $\Omega$ 由 $z=a^2-x^2-y^2$ 和 $z=0$ 围成，关于 $z$ 轴对称。对于固定 $z$ ，水平截面 $D_z$ 为圆盘 $x^2+y^2\le a^2-z$ 。被积函数 $xyz$ 在 $D_z$ 上关于 $x$ 和 $y$ 均为奇函数，故：

于是，

代入前式：

故等式得证。