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1988 年真题

22 题

填空题

本题满分12分，每空1分

判断题

本题满分10分，每小题2分

5

同试卷 4 第 5 题

6

同试卷 4 第 6 题

7

同试卷 4 第 7 题

8

同试卷 4 第 8 题

9

同试卷 4 第 9 题

计算题

本题满分16分，每小题4分

10

求极限 $lim_{x \to 1} (1 - x^{2}) tan \frac{π x}{2}$ ．

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【答案】 $\frac{4}{π}$

【解析】 该极限为 $0 \times \infty$ 型不定式。将其转化为 $\frac{0}{0}$ 形式：

x \to 1 lim \frac{1 - x ^{2}}{cot \frac{π x}{2}} .

应用洛必达法则，分子导数为 $- 2 x$ ，分母导数为 $- \frac{π}{2} csc^{2} \frac{π x}{2}$ 。因此，极限化为

x \to 1 lim \frac{- 2 x}{- \frac{π}{2} csc ^{2} \frac{π x}{2}} = x \to 1 lim \frac{4 x}{π csc ^{2} \frac{π x}{2}} = x \to 1 lim \frac{4 x sin ^{2} \frac{π x}{2}}{π} .

代入 $x = 1$ ，得

\frac{4 \cdot 1 \cdot 1}{π} = \frac{4}{π} .

或者，令 $t = x - 1$ ，则原极限化为

t \to 0 lim (2 t + t^{2}) cot \frac{π t}{2} .

当 $t \to 0$ 时， $cot \frac{π t}{2} \sim \frac{2}{π t}$ ，因此

2 t \cdot \frac{2}{π t} = \frac{4}{π},

忽略高阶项 $t^{2}$ ，结果相同。

11

已知 $u = e^{\frac{x}{y}}$ ，求 $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y}$ ．

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【答案】

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} = - \frac{( x + y ) e ^{\frac{x}{y}}}{y ^{3}}

【解析】 给定 $u = e^{\frac{x}{y}}$ ，首先求一阶偏导数 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 。
令 $v = \frac{x}{y}$ ，则 $u = e^{v}$ ，所以

\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = e^{v} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (\frac{x}{y}) = e^{\frac{x}{y}} \cdot (- \frac{x}{y ^{2}}) = - \frac{x}{y ^{2}} e^{\frac{x}{y}} .

然后求二阶混合偏导数 $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u}{\partial y})$ ，即

\frac{\partial}{\partial x} (- \frac{x}{y ^{2}} e^{\frac{x}{y}}) .

这是一个乘积形式，令 $w = - \frac{x}{y ^{2}}$ , $z = e^{\frac{x}{y}}$ ，则

\frac{\partial}{\partial x} (w z) = \frac{\partial w}{\partial x} z + w \frac{\partial z}{\partial x} .

计算

\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (- \frac{x}{y ^{2}}) = - \frac{1}{y ^{2}},

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (e^{\frac{x}{y}}) = e^{\frac{x}{y}} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{y}) = e^{\frac{x}{y}} \cdot \frac{1}{y} .

代入得

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u}{\partial y}) = (- \frac{1}{y ^{2}}) e^{\frac{x}{y}} + (- \frac{x}{y ^{2}}) (e^{\frac{x}{y}} \cdot \frac{1}{y}) = - \frac{1}{y ^{2}} e^{\frac{x}{y}} - \frac{x}{y ^{3}} e^{\frac{x}{y}} = - e^{\frac{x}{y}} (\frac{1}{y ^{2}} + \frac{x}{y ^{3}}) .

提取公因式 $\frac{1}{y ^{2}}$ ，

= - e^{\frac{x}{y}} \cdot \frac{1}{y ^{2}} (1 + \frac{x}{y}) = - \frac{e ^{\frac{x}{y}}}{y ^{2}} \cdot \frac{x + y}{y} = - \frac{( x + y ) e ^{\frac{x}{y}}}{y ^{3}} .

因此， $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} = - \frac{( x + y ) e ^{\frac{x}{y}}}{y ^{3}}$ 。

12

同试卷 4 第 12 题

13

同试卷 4 第 13 题

解答题

14

确定常数 $a$ 和 $b$ ，使函数 $f (x) = {a x + b, x^{2}, x > 1, x \leq 1,$ 处处可导．

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【答案】
$a = 2$ ， $b = - 1$

【解析】
为了使函数 $f (x)$ 处处可导，必须满足其在 $x = 1$ 处连续且可导。

首先，连续性要求：

x \to 1^{-} lim f (x) = x \to 1^{+} lim f (x) = f (1) .

当 $x \leq 1$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，于是

x \to 1^{-} lim f (x) = 1^{2} = 1, f (1) = 1.

当 $x > 1$ 时， $f (x) = a x + b$ ，于是

x \to 1^{+} lim f (x) = a \cdot 1 + b = a + b .

因此，连续性条件为

a + b = 1.

其次，可导性要求：
在 $x = 1$ 处左导数等于右导数。
左导数为

f_{-}^{'} (1) = \frac{d}{d x} (x^{2})_{x = 1} = 2 \cdot 1 = 2.

右导数为

f_{+}^{'} (1) = \frac{d}{d x} (a x + b)_{x = 1} = a .

因此，可导性条件为

2 = a,

即 $a = 2$ 。

代入连续性条件 $a + b = 1$ ，得

2 + b = 1,

即 $b = - 1$ 。

故当 $a = 2$ ， $b = - 1$ 时，函数处处可导。

15

同试卷 3 第 15 题

16

同试卷 4 第 17 题

17

同试卷 4 第 18 题

18

已知 $n$ 阶方阵 $A$ 满足矩阵方程 $A^{2} - 3 A - 2 E = O$ ，其中 $A$ 是给定的，而 $E$ 是单位矩阵．证明 $A$ 可逆，并求了其逆矩阵 $A^{- 1}$ ．

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【答案】
$A^{- 1} = \frac{1}{2} (A - 3 E)$

【解析】
已知矩阵方程 $A^{2} - 3 A - 2 E = O$ ，其中 $E$ 是单位矩阵。

将方程改写为

A^{2} - 3 A = 2 E

在左边提取公因子 $A$ ，得到

A (A - 3 E) = 2 E

两边同时除以 2，可得

A \cdot \frac{1}{2} (A - 3 E) = E

同理，从方程右乘的角度可得

(A - 3 E) A = 2 E

即

\frac{1}{2} (A - 3 E) \cdot A = E

因此， $A$ 可逆，且其逆矩阵为

A^{- 1} = \frac{1}{2} (A - 3 E)

19

同试卷 4 第 19 题

20

同试卷 4 第 21 题

21

假设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一只；如仍是废品，则扔掉再取一只．试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布、数学期望和方差．

查看答案与解析

【答案】
已取出的废品只数 $X$ 的分布为：
$P (X = 0) = \frac{4}{5}$ ，
$P (X = 1) = \frac{8}{45}$ ，
$P (X = 2) = \frac{1}{45}$ 。
数学期望 $E (X) = \frac{2}{9}$ ，
方差 $Var (X) = \frac{88}{405}$ 。

【解析】
设随机变量 $X$ 表示在取到正品之前已取出的废品只数，其可能取值为 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 。

$P (X = 0)$ 表示第一次取到正品，概率为 $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ 。
$P (X = 1)$ 表示第一次取到废品、第二次取到正品，概率为 $\frac{2}{10} \times \frac{8}{9} = \frac{16}{90} = \frac{8}{45}$ 。
$P (X = 2)$ 表示第一次取到废品、第二次取到废品、第三次取到正品，概率为 $\frac{2}{10} \times \frac{1}{9} \times 1 = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}$ 。

数学期望

E (X) = 0 \times \frac{4}{5} + 1 \times \frac{8}{45} + 2 \times \frac{1}{45} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9} .

计算方差：

E (X^{2}) = 0^{2} \times \frac{4}{5} + 1^{2} \times \frac{8}{45} + 2^{2} \times \frac{1}{45} = \frac{8}{45} + \frac{4}{45} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15},

Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = \frac{4}{15} - (\frac{2}{9})^{2} = \frac{4}{15} - \frac{4}{81} = \frac{108}{405} - \frac{20}{405} = \frac{88}{405} .

22

同试卷 4 第 23 题