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1987 年真题

23 题

判断题

本题满分10分，每小题2分

1

同试卷 4 第 1 题

2

同试卷 4 第 2 题

3

若函数 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 内严格单调增加，则对于区间 $(a, b)$ 内的任何一点 $x$ 有 $f^{'} (x) > 0$ ．

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【答案】
错误

【解析】
函数在区间内严格单调增加，仅表明对于任意两点 $x_{1} < x_{2}$ ，有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ，但这并不保证函数在每一点处都可导，或者导数均大于零。例如，函数 $f (x) = x^{3}$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内严格单调增加，但在点 $x = 0$ 处，其导数 $f^{'} (0) = 0$ ，而不满足 $f^{'} (x) > 0$ 。因此，原说法错误。

4

若 $A$ 为 $n$ 阶方阵， $k$ 为常数，则 $∣ k A ∣ = k ∣ A ∣$ ．

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【答案】 错误

对于 $n$ 阶方阵 $A$ ，行列式 $∣ k A ∣$ 的计算公式为

∣ k A ∣ = k^{n} ∣ A ∣,

而不是 $k ∣ A ∣$ 。

这是因为当矩阵 $A$ 的每个元素都乘以常数 $k$ 时，行列式作为多重线性函数，会因每一行都乘以 $k$ 而整体乘以 $k$ 的 $n$ 次方。

例如，当 $n = 2$ 时，取 $A$ 为单位矩阵 $I$ ，则

∣ k I ∣ = k^{2},

而 $k ∣ I ∣ = k$ ，两者不相等，除非 $n = 1$ 。

因此，原命题不正确。

5

同试卷 4 第 5 题

选择题

本题满分10分，每小题2分

6

函数（）在其定义域内连续．

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正确答案：A

正确答案：A

【解析】
函数在其定义域内连续，需满足定义域内每一点都连续。

选项A： $f (x) = \frac{1}{x}$ ，定义域为 $x \neq = 0$ ，在定义域内 $\frac{1}{x}$ 是初等函数，因此连续。

选项B：在 $x = 0$ 处，左极限为 $sin 0 = 0$ ，右极限为 $cos 0 = 1$ ，左右极限不相等，故不连续。

选项C：在 $x = 0$ 处，左极限为 $0 + 1 = 1$ ，右极限为 $0 - 1 = - 1$ ，函数值为0，三者不相等，故不连续。

选项D：在 $x = 0$ 处，当 $x \to 0$ 时， $\frac{1}{∣ x ∣} \to \infty$ ，极限不存在，故不连续。

因此，只有选项A在其定义域内连续。

10

对于任意二事件 $A$ 和 $B$ ，有 $P (A - B) =$

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正确答案：C

正确答案：C

对于任意二事件 $A$ 和 $B$ ，事件 $A - B$ 表示 $A$ 发生但 $B$ 不发生，即 $A$ 与 $B$ 的补集的交集，记为 $A \cap B^{c}$ 。

根据概率的加法公式，事件 $A$ 的概率可以分解为 $A$ 与 $B$ 相交的部分和 $A$ 与 $B$ 不相交的部分，即

P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap B^{c})

因此，

P (A \cap B^{c}) = P (A) - P (A \cap B)

通常， $P (A \cap B)$ 写作 $P (A B)$ ，所以

P (A - B) = P (A) - P (A B)

选项 C 正确。

选项 A 仅在 $A$ 和 $B$ 互斥时成立，但题目要求对任意事件均成立；
选项 B 和 D 通过代数验证均不等于 $P (A - B)$ 。

计算题

本题满分20分，每小题4分

11

求极限

x \to + \infty lim \frac{ln ( 1 + \frac{1}{x} )}{arctan x}

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【答案】
0

【解析】
当 $x \to + \infty$ 时，分子 $ln (1 + \frac{1}{x}) \to ln 1 = 0$ ，分母 $arctan x \to \frac{π}{2} \neq = 0$ ，因此极限为 $0$ 。

12

同试卷 4 第 12 题

13

同试卷 4 第 13 题

14

计算定积分

\int_{\frac{1}{2}}^{1} e^{2 x - 1} d x

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【答案】
1

【解析】
考虑定积分 $\int_{\frac{1}{2}}^{1} e^{2 x - 1} d x$ 。令 $t = 2 x - 1$ ，则 $t^{2} = 2 x - 1$ ，即 $x = \frac{t ^{2} + 1}{2}$ ，微分得 $d x = t d t$ 。积分限变化：当 $x = \frac{1}{2}$ 时， $t = 0$ ；当 $x = 1$ 时， $t = 1$ 。代入后积分变为 $\int_{0}^{1} t e^{t} d t$ 。
使用分部积分法计算 $\int t e^{t} d t$ ，令 $u = t$ ， $d v = e^{t} d t$ ，则 $d u = d t$ ， $v = e^{t}$ 。有：

\int t e^{t} d t = t e^{t} - \int e^{t} d t = t e^{t} - e^{t} + C = e^{t} (t - 1) + C

代入定积分上下限：

[e^{t} (t - 1)]_{0}^{1} = (e^{1} (1 - 1)) - (e^{0} (0 - 1)) = (e \cdot 0) - (1 \cdot (- 1)) = 0 - (- 1) = 1

因此，积分结果为 1。

15

求不定积分

\int \frac{x d x}{x ^{4} + 2 x ^{2} + 5}

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【答案】

\frac{1}{4} arctan (\frac{x ^{2} + 1}{2}) + C

【解析】 首先，分母 $x^{4} + 2 x^{2} + 5$ 可化为完全平方形式： $x^{4} + 2 x^{2} + 5 = (x^{2} + 1)^{2} + 4$ 。于是积分变为：

\int \frac{x d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2} + 4} .

令 $t = x^{2}$ ，则 $d t = 2 x d x$ ，即 $x d x = \frac{d t}{2}$ 。代入得：

\int \frac{x d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2} + 4} = \frac{1}{2} \int \frac{d t}{( t + 1 ) ^{2} + 4} .

再令 $u = t + 1$ ，则 $d u = d t$ ，积分变为：

\frac{1}{2} \int \frac{d u}{u ^{2} + 4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} arctan (\frac{u}{2}) + C = \frac{1}{4} arctan (\frac{u}{2}) + C .

回代 $u = t + 1$ 和 $t = x^{2}$ ，得：

\frac{1}{4} arctan (\frac{x ^{2} + 1}{2}) + C .

解答题

16

考虑函数 $y = x^{2}$ , $0 \leq x \leq 1$ （如图），问：

(1) $t$ 取何值时，图中阴影部分的面积 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 之和 $S = S_{1} + S_{2}$ 最小？

(2) $t$ 取何值时，面积之和 $S = S_{1} + S_{2}$ 最大？

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【答案】
(1) $t = \frac{1}{2}$
(2) $t = 0$

【解析】

建立面积函数 $S (t)$

从图中可以看出，水平线在 $x = t$ 处与曲线 $y = x^{2}$ 相交，因此该水平线的方程为 $y = t^{2}$ 。

面积 $S_{1}$ ：它是从 $x = 0$ 到 $x = t$ 之间，由直线 $y = t^{2}$ 和曲线 $y = x^{2}$ 围成的面积。
$S_{1} = \int_{0}^{t} (t^{2} - x^{2}) d x = [t^{2} x - \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{t} = t^{3} - \frac{1}{3} t^{3} = \frac{2}{3} t^{3}$
面积 $S_{2}$ ：它是从 $x = t$ 到 $x = 1$ 之间，由曲线 $y = x^{2}$ 和直线 $y = t^{2}$ 围成的面积。
$S_{2} = \int_{t}^{1} (x^{2} - t^{2}) d x = [\frac{1}{3} x^{3} - t^{2} x]_{t}^{1} = (\frac{1}{3} - t^{2}) - (\frac{1}{3} t^{3} - t^{3}) = \frac{1}{3} - t^{2} + \frac{2}{3} t^{3}$
总面积 $S (t)$ ：
$S (t) = S_{1} + S_{2} = \frac{2}{3} t^{3} + \frac{1}{3} - t^{2} + \frac{2}{3} t^{3} = \frac{4}{3} t^{3} - t^{2} + \frac{1}{3}$
其中定义域为 $t \in [0, 1]$ 。

求解最值

为了找到最大值和最小值，我们对 $S (t)$ 求导：

S^{'} (t) = 4 t^{2} - 2 t = 2 t (2 t - 1)

令 $S^{'} (t) = 0$ ，得到驻点：l $t = 0$ 或 $t = \frac{1}{2}$ 。

(1) 何时面积 $S$ 最小？

我们需要比较驻点和端点的函数值：

当 $t = 0$ 时： $S (0) = \frac{1}{3} \approx 0.333$
当 $t = \frac{1}{2}$ 时： $S (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3} (\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{2 - 3 + 4}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$
当 $t = 1$ 时： $S (1) = \frac{4}{3} - 1 + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.667$

结论：当 $t = \frac{1}{2}$ 时，面积之和 $S$ 最小，最小值为 $\frac{1}{4}$ 。

(2) 何时面积 $S$ 最大？

比较上述计算结果：

$S (0) = \frac{1}{3}$
$S (1) = \frac{2}{3}$

结论：当 $t = 1$ 时，面积之和 $S$ 最大，最大值为 $\frac{2}{3}$ 。

总结：

$S$ 最小： $t = \frac{1}{2}$
$S$ 最大： $t = 1$

17

同试卷 4 第 17 题

18

假设某产品的总成本函数为 $C (x) = 400 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2}$ ，而需求函数为 $p = \frac{100}{x}$ ，其中 $x$ 为产量（假定等于需求量）， $p$ 为价格．试求：

(1) 边际成本；

(2) 边际效益；

(3) 边际利润：

(4) 收益的价格弹性．

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【答案】
(1) 边际成本： $3 + x$
(2) 边际效益： $\frac{50}{x}$
(3) 边际利润： $\frac{50}{x} - 3 - x$
(4) 收益的价格弹性： $- 1$

【解析】
(1) 边际成本是成本函数对产量 $x$ 的导数。
成本函数为

C (x) = 400 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2},

求导得

C^{'} (x) = 3 + x,

因此边际成本为 $3 + x$ 。

(2) 边际效益即边际收益，是收益函数对产量 $x$ 的导数。
收益函数 $R (x) = p \cdot x$ ，代入需求函数

p = \frac{100}{x},

得

R (x) = 100 x .

求导得

R^{'} (x) = 50 x^{- 1/2} = \frac{50}{x},

因此边际收益为 $\frac{50}{x}$ 。

(3) 边际利润是利润函数对产量 $x$ 的导数。
利润函数

π (x) = R (x) - C (x) = 100 x - (400 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2}),

求导得

π^{'} (x) = R^{'} (x) - C^{'} (x) = \frac{50}{x} - (3 + x),

因此边际利润为 $\frac{50}{x} - 3 - x$ 。

(4) 收益的价格弹性定义为

E_{p} = \frac{d R}{d p} \cdot \frac{p}{R} .

首先，从需求函数

p = \frac{100}{x}

解出

x = \frac{10000}{p ^{2}} .

收益函数

R = p \cdot x = p \cdot \frac{10000}{p ^{2}} = \frac{10000}{p} .

求导得

\frac{d R}{d p} = - \frac{10000}{p ^{2}} .

代入弹性公式：

E_{p} = (- \frac{10000}{p ^{2}}) \cdot \frac{p}{\frac{10000}{p}} = (- \frac{10000}{p ^{2}}) \cdot \frac{p ^{2}}{10000} = - 1,

因此收益的价格弹性为 $- 1$ 。

19

同试卷 4 第 19 题

20

同试卷 4 第 20 题

21

同试卷 4 第 21 题

22

已知离散型随机变量 $X$ 的概率分布为：

P {X = 1} = 0.2, P {X = 2} = 0.3, P {X = 3} = 0.5.

(1) 写出 $X$ 的分布函数 $F (x)$ ；

(2) 求 $X$ 的数学期望和方差．

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【答案】
(1) $X$ 的分布函数为：

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 0.2 0.5 1.0 x < 1 1 \leq x < 2 2 \leq x < 3 x \geq 3

(2) $X$ 的数学期望为 $2.3$ ，方差为 $0.61$ 。

【解析】
(1) 分布函数 $F (x) = P {X \leq x}$ 。由于 $X$ 是离散型随机变量，取值于 ${1, 2, 3}$ ，因此：

当 $x < 1$ 时， $P {X \leq x} = 0$ ；
当 $1 \leq x < 2$ 时， $P {X \leq x} = P {X = 1} = 0.2$ ；
当 $2 \leq x < 3$ 时， $P {X \leq x} = P {X = 1} + P {X = 2} = 0.2 + 0.3 = 0.5$ ；
当 $x \geq 3$ 时， $P {X \leq x} = P {X = 1} + P {X = 2} + P {X = 3} = 0.2 + 0.3 + 0.5 = 1.0$ 。

故得分布函数如上。

(2) 数学期望

E [X] = \sum x \cdot P {X = x} = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.3 + 3 \times 0.5 = 0.2 + 0.6 + 1.5 = 2.3

方差

Var (X) = E [X^{2}] - (E [X])^{2}

其中

E [X^{2}] = \sum x^{2} \cdot P {X = x} = 1^{2} \times 0.2 + 2^{2} \times 0.3 + 3^{2} \times 0.5 = 1 \times 0.2 + 4 \times 0.3 + 9 \times 0.5 = 0.2 + 1.2 + 4.5 = 5.9

故

Var (X) = 5.9 - (2.3)^{2} = 5.9 - 5.29 = 0.61

23

同试卷 4 第 24 题