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1987 年真题

24 题

判断题

本题满分10分，每小题2分

1

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}} = \infty$ ．

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【答案】 不正确，该极限不存在。

【解析】 当 $x \to 0^{+}$ 时， $\frac{1}{x} \to + \infty$ ，因此 $e^{\frac{1}{x}} \to + \infty$ ；但当 $x \to 0^{-}$ 时， $\frac{1}{x} \to - \infty$ ，因此 $e^{\frac{1}{x}} \to 0$ 。由于左极限和右极限不相等，所以 $lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}$ 不存在。

2

$\int_{- π}^{π} x^{4} sin x d x = 0$ ．

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【答案】 正确

【解析】 考虑被积函数 $f (x) = x^{4} sin x$ 。由于 $f (- x) = (- x)^{4} sin (- x) = x^{4} (- sin x) = - x^{4} sin x = - f (x)$ ，因此 $f (x)$ 是奇函数。在对称区间 $[- π, π]$ 上，奇函数的定积分为零，故 $\int_{- π}^{π} x^{4} sin x d x = 0$ 。

3

若级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ 均发散，则级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n})$ 也必发散．

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【答案】 不正确

【解析】
该命题不一定成立。例如，取 $a_{n} = 1$ 和 $b_{n} = - 1$ ，则级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 1 + 1 + 1 + \dots$ 发散，级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = - 1 - 1 - 1 - \dots$ 也发散，但级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - 1) = \sum_{n = 1}^{\infty} 0 = 0$ 收敛。因此，两个发散级数的和级数可能收敛，故原命题错误。

4

假设 $D$ 是矩阵 $A$ 的 $r$ 阶子式，且 $D \neq = 0$ ，但含 $D$ 的一切 $r + 1$ 阶子式都等于 $0$ ，那么矩阵 $A$ 的一切 $r + 1$ 阶子式都等于 $0$ ．

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【答案】 正确。

【解析】
假设矩阵 $A$ 有一个 $r$ 阶子式 $D \neq = 0$ ，且所有包含 $D$ 的 $r + 1$ 阶子式都等于 $0$ 。设 $D$ 由行集 $R$ 和列集 $C$ 组成，其中 $∣ R ∣ = r$ ， $∣ C ∣ = r$ 。由于 $D \neq = 0$ ，行集 $R$ 在列集 $C$ 上线性无关。

对于任意不在 $R$ 中的行 $i$ 和任意不在 $C$ 中的列 $j$ ，考虑子式 $A [R \cup {i}, C \cup {j}]$ 。根据条件，该子式为 $0$ 。该子式对应的矩阵可分块为：

[D A_{i C} A_{R j} a_{ij}]

其中 $A_{R j}$ 是行集 $R$ 在列 $j$ 上的列向量， $A_{i C}$ 是行 $i$ 在列集 $C$ 上的行向量， $a_{ij}$ 是元素 $(i, j)$ 。计算该矩阵的行列式，由于 $D$ 可逆，有：

det = det (D) \cdot (a_{ij} - A_{i C} D^{- 1} A_{R j}) = 0

因为 $det (D) \neq = 0$ ，所以 $a_{ij} = A_{i C} D^{- 1} A_{R j}$ 。令 $w_{i} = A_{i C} D^{- 1}$ ，则 $w_{i}$ 是一个行向量。对于任意列 $j$ ，当 $j \in C$ 时，行 $i$ 在列 $j$ 上的值 $a_{ij}$ 是 $A_{i C}$ 的一部分，且 $A_{i C} = w_{i} D$ ，因此 $a_{ij} = w_{i} A_{R j}$ ；当 $j \in / C$ 时，已有 $a_{ij} = w_{i} A_{R j}$ 。因此，对于所有列 $j$ ，有 $a_{ij} = w_{i} A_{R j}$ ，这意味着行 $i$ 是行集 $R$ 的线性组合。

因此，所有行都可以由行集 $R$ 线性表示，行秩不超过 $r$ 。又因为 $D \neq = 0$ ，秩至少为 $r$ ，所以秩恰好为 $r$ 。故所有 $r + 1$ 阶子式都等于 $0$ 。

5

连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于 $0$ ．

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【答案】 正确

【解析】 连续型随机变量的概率分布由概率密度函数描述，其概率计算基于积分。
对于任意给定实数值 $x$ ，概率 $P (X = x)$ 等于概率密度函数在点 $x$ 处的积分，但由于积分区间长度为 0，根据积分的性质，该积分值必然为 0。
因此，连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于 0。
需要注意的是，这并不意味着该值不可能发生，而是概率测度在单个点上的值为 0，实际概率质量分布在区间上。

选择题

本题满分10分，每小题2分

6

函数（）在其定义域内连续．

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正确答案：A

正确答案：A

【解析】 对于选项A，函数 $f (x) = ln x + sin x$ 的定义域为 $x > 0$ ，即 $(0, + \infty)$ 。在该区间内， $ln x$ 和 $sin x$ 均为连续函数，因此它们的和 $f (x)$ 也在定义域内连续。

对于选项B，函数在 $x = 0$ 处左极限为 $sin 0 = 0$ ，右极限为 $cos 0 = 1$ ，函数值为 $f (0) = sin 0 = 0$ ，左右极限不相等，因此不连续。

对于选项C，函数在 $x = 0$ 处左极限为 $0 + 1 = 1$ ，右极限为 $0 - 1 = - 1$ ，函数值为 $f (0) = 0$ ，左右极限不相等且与函数值不相等，因此不连续。

对于选项D，函数在 $x = 0$ 处函数值为 $f (0) = 0$ ，但当 $x \to 0$ 时， $f (x) = \frac{1}{∣ x ∣} \to + \infty$ ，极限不存在，因此不连续。

因此，只有选项A在其定义域内连续。

7

若函数 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导， $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 是区间 $(a, b)$ 内任意两点，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则至少存在一点 $ξ$ ，使

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正确答案：C

正确答案：C

【解析】
根据拉格朗日中值定理，如果函数 $f (x)$ 在闭区间 $[x_{1}, x_{2}]$ 上连续，在开区间 $(x_{1}, x_{2})$ 内可导，则存在一点 $ξ \in (x_{1}, x_{2})$ ，使得

f (x_{2}) - f (x_{1}) = f^{'} (ξ) (x_{2} - x_{1})

本题中，函数 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导，且 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 是 $(a, b)$ 内任意两点，且 $x_{1} < x_{2}$ ，因此子区间 $[x_{1}, x_{2}] \subset (a, b)$ ，满足拉格朗日中值定理的条件，故选项 C 正确。

选项 A、B、D 均涉及区间端点 $a$ 或 $b$ ，但函数在端点处可能不连续或不可导，因此不一定成立。

8

广义积分（）收敛．

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正确答案：C

正确答案：C

【解析】
对于选项A，令 $u = ln x$ ，则积分化为 $\int_{1}^{+ \infty} u d u$ 该积分发散。

对于选项B，令 $u = ln x$ ，则积分化为 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{u} d u$ 该积分发散。

对于选项C，令 $u = ln x$ ，则积分化为 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{u ^{2}} d u$ 该积分收敛于 $1$ 。

对于选项D，令 $u = ln x$ ，则积分化为 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{u} d u$ 该积分发散。

因此，只有选项C收敛。

9

假设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，其秩 $r < n$ ，那么在 $A$ 的 $n$ 个行向量中

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正确答案：A

正确答案：A

【解析】
矩阵的秩 $r$ 表示行空间或列空间的维数，即存在 $r$ 个线性无关的行向量，且无法找到更多线性无关的行向量。因此，选项 A 正确，它直接来源于秩的定义。

选项 B 错误，因为虽然存在 $r$ 个线性无关的行向量，但并非任意 $r$ 个行向量都线性无关。例如，当矩阵包含重复行或零行时，某些 $r$ 个行向量可能线性相关。

选项 C 错误，因为任意 $r$ 个行向量可能不是线性无关的，或者即使线性无关，也可能无法生成所有行向量，从而不构成极大线性无关组。

选项 D 错误，因为当 $r > n /2$ 时，对于某些 $r$ 个行向量的集合，可能无法从剩余行中选出另一组 $r$ 个行向量（因为剩余行数不足 $r$ ），因此无法满足线性表示的条件。

10

若二事件 $A$ 和 $B$ 同时出现的概率 $P (A B) = 0$ ，则

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正确答案：C

正确答案：C

【解析】
事件 $A$ 和 $B$ 同时出现的概率 $P (A B) = 0$ ，表示 $A$ 和 $B$ 同时发生的概率为 $0$ ，但这并不一定意味着 $A B$ 是不可能事件。
在概率论中，概率为 $0$ 的事件不一定是不可能事件，例如在连续概率分布中，某个点的事件概率为 $0$ ，但该点可能发生。
因此， $A B$ 未必是不可能事件，选项 $C$ 正确。

选项 $A$ 错误，因为 $P (A B) = 0$ 并不一定表示 $A$ 和 $B$ 不相容（如果不相容，则 $A B$ 必须是不可能事件）。
选项 $B$ 错误，因为 $P (A B) = 0$ 不一定意味着 $A B$ 是不可能事件。
选项 $D$ 错误，因为 $P (A B) = 0$ 并不要求 $P (A) = 0$ 或 $P (B) = 0$ ，例如在非独立事件中， $P (A)$ 和 $P (B)$ 均大于 $0$ 时， $P (A B)$ 也可能为 $0$ 。

计算题

本题满分16分，每小题4分

11

求极限 $lim_{x \to 0} (1 + x e^{x})^{\frac{1}{x}}$ ．

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【答案】
$e$

【解析】
求极限 $L = lim_{x \to 0} (1 + x e^{x})^{\frac{1}{x}}$ 。

对表达式取自然对数：

ln L = x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x e ^{x} )}{x}

此为 $\frac{0}{0}$ 型不定式，应用洛必达法则：

ln L = x \to 0 lim \frac{\frac{d}{d x} ln ( 1 + x e ^{x} )}{\frac{d}{d x} x} = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{1 + x e ^{x}} \cdot ( e ^{x} + x e ^{x} )}{1} = x \to 0 lim \frac{e ^{x} ( 1 + x )}{1 + x e ^{x}}

代入 $x = 0$ ：

\frac{e ^{0} ( 1 + 0 )}{1 + 0} = 1

故 $ln L = 1$ ，即 $L = e$ 。

因此，所求极限为：

e

12

$y = ln \frac{1 + x ^{2} - 1}{1 + x ^{2} + 1}$ ，求 $y^{'}$ ．

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【答案】

y^{'} = \frac{2}{x 1 + x ^{2}}

【解析】 设 $u = \frac{1 + x ^{2} - 1}{1 + x ^{2} + 1}$ ，则 $y = ln u$ ，所以 $y^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ 。
首先，求 $u^{'}$ 。令 $v = 1 + x^{2}$ ，则 $u = \frac{v - 1}{v + 1}$ 。
求导： $v^{'} = \frac{x}{1 + x ^{2}}$ 。
用商的导数公式：

u^{'} = \frac{( v ^{'} ) ( v + 1 ) - ( v - 1 ) ( v ^{'} )}{( v + 1 ) ^{2}} = \frac{v ^{'} [( v + 1 ) - ( v - 1 )]}{( v + 1 ) ^{2}} = \frac{v ^{'} \cdot 2}{( v + 1 ) ^{2}} = \frac{2 v ^{'}}{( v + 1 ) ^{2}}

代入 $v^{'}$ 和 $v$ ：

u^{'} = \frac{2 \cdot \frac{x}{1 + x ^{2}}}{( 1 + x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{2 x}{1 + x ^{2} ( 1 + x ^{2} + 1 ) ^{2}}

现在，

y^{'} = \frac{u ^{'}}{u} = \frac{\frac{2 x}{1 + x ^{2} ( 1 + x ^{2} + 1 ) ^{2}}}{\frac{1 + x ^{2} - 1}{1 + x ^{2} + 1}} = \frac{2 x}{1 + x ^{2} ( 1 + x ^{2} + 1 ) ^{2}} \cdot \frac{1 + x ^{2} + 1}{1 + x ^{2} - 1} = \frac{2 x}{1 + x ^{2} ( 1 + x ^{2} + 1 ) ( 1 + x ^{2} - 1 )}

$(1 + x^{2} + 1) (1 + x^{2} - 1) = (1 + x^{2}) - 1 = x^{2}$ ，所以：

y^{'} = \frac{2 x}{1 + x ^{2} \cdot x ^{2}} = \frac{2}{x 1 + x ^{2}}

因此，导数为 $\frac{2}{x 1 + x ^{2}}$ 。

13

$z = arctan \frac{x + y}{x - y}$ ，求 $d z$ ．

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【答案】

d z = \frac{x d y - y d x}{x ^{2} + y ^{2}}

【解析】 给定 $z = arctan \frac{x + y}{x - y}$ ，求全微分 $d z$ 。
设 $u = \frac{x + y}{x - y}$ ，则 $z = arctan u$ 。
全微分公式为 $d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y$ 。
首先，计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 使用链式法则：

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1 + u ^{2}} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1 + u ^{2}} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} .

计算 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial u}{\partial y}$ ：

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{( x - y ) \cdot 1 - ( x + y ) \cdot 1}{( x - y ) ^{2}} = \frac{- 2 y}{( x - y ) ^{2}},

\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{( x - y ) \cdot 1 - ( x + y ) \cdot ( - 1 )}{( x - y ) ^{2}} = \frac{2 x}{( x - y ) ^{2}} .

计算 $1 + u^{2}$ :

u^{2} 1 + u^{2} = (\frac{x + y}{x - y})^{2}, = 1 + \frac{( x + y ) ^{2}}{( x - y ) ^{2}} = \frac{( x - y ) ^{2} + ( x + y ) ^{2}}{( x - y ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} + 2 y ^{2}}{( x - y ) ^{2}} = \frac{2 ( x ^{2} + y ^{2} )}{( x - y ) ^{2}} .

所以，

\frac{1}{1 + u ^{2}} = \frac{( x - y ) ^{2}}{2 ( x ^{2} + y ^{2} )} .

代入偏导数：

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{( x - y ) ^{2}}{2 ( x ^{2} + y ^{2} )} \cdot \frac{- 2 y}{( x - y ) ^{2}} = \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}},

\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{( x - y ) ^{2}}{2 ( x ^{2} + y ^{2} )} \cdot \frac{2 x}{( x - y ) ^{2}} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} .

因此，全微分为：

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y = \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}} d x + \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} d y = \frac{x d y - y d x}{x ^{2} + y ^{2}} .

14

求不定积分 $\int e^{2 x - 1} d x$ ．

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【答案】

e^{2 x - 1} (2 x - 1 - 1) + C

【解析】 令 $u = 2 x - 1$ ，则 $u^{2} = 2 x - 1$ ，解得 $x = \frac{u ^{2} + 1}{2}$ ，进而 $d x = u d u$ 。
代入原积分得：

\int e^{2 x - 1} d x = \int e^{u} \cdot u d u

对 $\int u e^{u} d u$ 使用分部积分法，令 $v = u$ ， $d w = e^{u} d u$ ，则 $d v = d u$ ， $w = e^{u}$ 。
分部积分公式：

\int v d w = v w - \int w d v

代入得：

\int u e^{u} d u = u e^{u} - \int e^{u} d u = u e^{u} - e^{u} + C = e^{u} (u - 1) + C

代回 $u = 2 x - 1$ ，得：

\int e^{2 x - 1} d x = e^{2 x - 1} (2 x - 1 - 1) + C

验证：对结果求导，可得原被积函数，故积分正确。

解答题

15

考虑函数 $y = sin x$ , $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ （如图），问：

(1) $t$ 取何值时，图中阴影部分的面积 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 之和 $S = S_{1} + S_{2}$ 最小？

(2) $t$ 取何值时，面积 $S = S_{1} + S_{2}$ 最大？

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【答案】
(1) $t = \frac{π}{4}$
(2) $t = 0$

【解析】
考虑函数 $y = sin x$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上，设 $S = S_{1} + S_{2}$ ，其中 $S_{1}$ 为从 $x = 0$ 到 $x = t$ 时直线 $y = sin t$ 与曲线 $y = sin x$ 之间的面积，即 $S_{1} = \int_{0}^{t} (sin t - sin x) d x$ ； $S_{2}$ 为从 $x = t$ 到 $x = \frac{π}{2}$ 时曲线 $y = sin x$ 与直线 $y = sin t$ 之间的面积，即 $S_{2} = \int_{t}^{\frac{π}{2}} (sin x - sin t) d x$ 。
计算 $S$ :

S = \int_{0}^{t} (sin t - sin x) d x + \int_{t}^{\frac{π}{2}} (sin x - sin t) d x

首先，计算 $\int_{0}^{t} (sin t - sin x) d x = t sin t + cos t - 1$ 。
其次，计算 $\int_{t}^{\frac{π}{2}} (sin x - sin t) d x = cos t - sin t (\frac{π}{2} - t)$ 。
因此，

S = t sin t + cos t - 1 + cos t - sin t (\frac{π}{2} - t) = sin t (2 t - \frac{π}{2}) + 2 cos t - 1

求导 $S^{'} (t)$ :

S^{'} (t) = \frac{d}{d t} [sin t (2 t - \frac{π}{2}) + 2 cos t - 1] = cos t (2 t - \frac{π}{2}) + sin t \cdot 2 - 2 sin t = cos t (2 t - \frac{π}{2})

令 $S^{'} (t) = 0$ ，得 $cos t (2 t - \frac{π}{2}) = 0$ 。在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上， $cos t = 0$ 时 $t = \frac{π}{2}$ ， $2 t - \frac{π}{2} = 0$ 时 $t = \frac{π}{4}$ 。
计算端点及临界点函数值：

$S (0) = sin 0 (2 \cdot 0 - \frac{π}{2}) + 2 cos 0 - 1 = 0 + 2 - 1 = 1$
$S (\frac{π}{4}) = sin \frac{π}{4} (2 \cdot \frac{π}{4} - \frac{π}{2}) + 2 cos \frac{π}{4} - 1 = \frac{2}{2} \cdot 0 + 2 - 1 = 2 - 1 \approx 0.414$
$S (\frac{π}{2}) = sin \frac{π}{2} (2 \cdot \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 2 cos \frac{π}{2} - 1 = 1 \cdot \frac{π}{2} + 0 - 1 = \frac{π}{2} - 1 \approx 0.570$
比较得， $S$ 在 $t = \frac{π}{4}$ 时最小，在 $t = 0$ 时最大。
故 (1) $t = \frac{π}{4}$ ，(2) $t = 0$ 。

16

将函数 $f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 3 x + 2}$ 展成 $x$ 的幂级数，并指出其收敛区间．

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【答案】 函数 $f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 3 x + 2}$ 展成 $x$ 的幂级数为：

f (x) = n = 0 \sum \infty (1 - \frac{1}{2 ^{n + 1}}) x^{n}

收敛区间为 $(- 1, 1)$ 。

【解析】 函数 $f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 3 x + 2}$ 的分母可分解为 $(x - 1) (x - 2)$ ，通过部分分式得

f (x) = \frac{1}{1 - x} - \frac{1}{2 - x} .

已知几何级数展开

\frac{1}{1 - x} = n = 0 \sum \infty x^{n}, ∣ x ∣ < 1,

以及

\frac{1}{2 - x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{2 ^{n + 1}}, ∣ x ∣ < 2.

两式相减得

f (x) = n = 0 \sum \infty x^{n} - n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{2 ^{n + 1}} = n = 0 \sum \infty (1 - \frac{1}{2 ^{n + 1}}) x^{n} .

该幂级数的收敛半径 $R = 1$ （离 $x = 0$ 最近的奇点为 $x = 1$ ），当 $∣ x ∣ = 1$ 时通项不趋于零，级数发散，故收敛区间为

(- 1, 1) .

17

计算二重积分 $I = \iint_{D} e^{x^{2}} d x d y$ ，其中 $D$ 是第一象限中由直线 $y = x$ 和 $y = x^{3}$ 所围成的封闭区域．

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【答案】

\frac{e}{2} - 1

【解析】 积分区域 $D$ 是第一象限中由直线 $y = x$ 和 $y = x^{3}$ 所围成的封闭区域。两条曲线相交于 $x = 0$ 和 $x = 1$ ，因此 $x$ 的取值范围为 $[0, 1]$ 。对于每个 $x$ ， $y$ 从 $y = x^{3}$ 到 $y = x$ 。于是二重积分可化为：

I = \int_{0}^{1} \int_{x^{3}}^{x} e^{x^{2}} d y d x

先对 $y$ 积分，由于 $e^{x^{2}}$ 与 $y$ 无关，内层积分为：

\int_{x^{3}}^{x} e^{x^{2}} d y = e^{x^{2}} [y]_{x^{3}}^{x} = e^{x^{2}} (x - x^{3})

因此，

I = \int_{0}^{1} e^{x^{2}} (x - x^{3}) d x = \int_{0}^{1} e^{x^{2}} x (1 - x^{2}) d x

令 $t = x^{2}$ ，则 $d t = 2 x d x$ ，即 $x d x = \frac{d t}{2}$ 。当 $x = 0$ 时， $t = 0$ ；当 $x = 1$ 时， $t = 1$ 。代入得：

I = \int_{0}^{1} e^{t} (1 - t) \cdot \frac{d t}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{t} (1 - t) d t

计算积分 $\int_{0}^{1} e^{t} (1 - t) d t$ ：

\int_{0}^{1} e^{t} (1 - t) d t = \int_{0}^{1} e^{t} d t - \int_{0}^{1} t e^{t} d t

其中，

\int_{0}^{1} e^{t} d t = [e^{t}]_{0}^{1} = e - 1

对于 $\int_{0}^{1} t e^{t} d t$ ，使用分部积分法：令 $u = t$ ， $d v = e^{t} d t$ ，则 $d u = d t$ ， $v = e^{t}$ ，于是：

\int t e^{t} d t = t e^{t} - \int e^{t} d t = t e^{t} - e^{t} + C

所以，

\int_{0}^{1} t e^{t} d t = [t e^{t} - e^{t}]_{0}^{1} = (1 \cdot e - e) - (0 \cdot e^{0} - e^{0}) = (e - e) - (0 - 1) = 1

因此，

\int_{0}^{1} e^{t} (1 - t) d t = (e - 1) - 1 = e - 2

代入原式：

I = \frac{1}{2} (e - 2) = \frac{e}{2} - 1

故二重积分的值为 $\frac{e}{2} - 1$ 。

18

已知某商品的需求量 $x$ 对价格 $p$ 的弹性为 $η = - 3 p^{3}$ ，而市场对该商品的最大需求量为 $1$ （万件），求需求函数．

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【答案】
$x = e^{- p^{3}}$

【解析】
已知需求弹性 $η = \frac{p}{x} \frac{d x}{d p} = - 3 p^{3}$ ，整理得

\frac{1}{x} \frac{d x}{d p} = - 3 p^{2}

两边积分得

\int \frac{1}{x} d x = \int - 3 p^{2} d p

即

ln ∣ x ∣ = - p^{3} + C

其中 $C$ 为积分常数。

取指数得

x = e^{C} e^{- p^{3}}

由市场最大需求量为 1（万件），即当 $p = 0$ 时 $x = 1$ ，代入得

1 = e^{C} \cdot e^{0}

所以 $e^{C} = 1$ 。

因此需求函数为

x = e^{- p^{3}}

验证弹性：

\frac{d x}{d p} = - 3 p^{2} e^{- p^{3}}

则

η = \frac{p}{x} \frac{d x}{d p} = \frac{p}{e ^{- p^{3}}} \cdot (- 3 p^{2} e^{- p^{3}}) = - 3 p^{3}

符合给定条件。

19

解线性方程组 $⎩ ⎨ ⎧ 2 x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} - 3 x_{4} = - 4, x_{1} + x_{3} - x_{4} = - 3, 3 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, 7 x_{1} + 7 x_{3} - 3 x_{4} = 3.$

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【答案】 $x_{1} = 3 - t, x_{2} = - 8 + 2 t, x_{3} = t, x_{4} = 6$ （其中 $t$ 为任意常数）

【解析】 写出方程组的增广矩阵：

2137 - 1 010 4117 - 3 - 1 0 - 3 - 4 - 3 13

首先，将第二行与第一行交换，以便第一行第一个元素为1：

1237 0 - 1 10 1417 - 1 - 3 0 - 3 - 3 - 4 13

用第二行减去2倍第一行： $R 2 - 2 R 1$ ，得新第二行 $(0, - 1, 2, - 1, 2)$ ；用第三行减去3倍第一行： $R 3 - 3 R 1$ ，得新第三行 $(0, 1, - 2, 3, 10)$ ；用第四行减去7倍第一行： $R 4 - 7 R 1$ ，得新第四行 $(0, 0, 0, 4, 24)$ 。矩阵变为：

1000 0 - 1 10 12 - 2 0 - 1 - 1 34 - 3 21024

将第二行乘以-1： $R 2 \times (- 1)$ ，得新第二行 $(0, 1, - 2, 1, - 2)$ 。矩阵变为：

10000110 1 - 2 - 2 0 - 1 134 - 3 - 2 1024

用第三行减去第二行： $R 3 - R 2$ ，得新第三行 $(0, 0, 0, 2, 12)$ 。矩阵变为：

10000100 1 - 2 00 - 1 124 - 3 - 2 1224

将第三行除以2： $R 3 \div 2$ ，得新第三行 $(0, 0, 0, 1, 6)$ ；将第四行除以4： $R 4 \div 4$ ，得新第四行 $(0, 0, 0, 1, 6)$ 。矩阵变为：

10000100 1 - 2 00 - 1 111 - 3 - 2 66

第四行与第三行相同，因此第四行是冗余的，可忽略。从第三行得 $x_{4} = 6$ 。回代到第二行： $x_{2} - 2 x_{3} + x_{4} = - 2$ ，代入 $x_{4} = 6$ 得 $x_{2} - 2 x_{3} = - 8$ 。回代到第一行： $x_{1} + x_{3} - x_{4} = - 3$ ，代入 $x_{4} = 6$ 得 $x_{1} + x_{3} = 3$ 。令 $x_{3} = t$ （ $t$ 为自由变量），则 $x_{1} = 3 - t$ ， $x_{2} = - 8 + 2 t$ ， $x_{4} = 6$ 。验证原方程组均成立。

20

假设矩阵 $A$ 和 $B$ 满足如下关系式 $A B = A + 2 B$ ，其中 $A = 41 - 1 212303$ ，求矩阵 $B$

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【答案】

B = 32 - 2 - 8 - 9 12 - 6 - 6 9

【解析】 给定关系式 $A B = A + 2 B$ ，其中

A = 41 - 1 212303 .

将方程整理为 $A B - 2 B = A$ ，即

(A - 2 I) B = A,

其中 $I$ 是单位矩阵。
计算 $A - 2 I$ ：

A - 2 I = 41 - 1 212303 - 200020002 = 21 - 1 2 - 1 2 301

然后求逆矩阵 $(A - 2 I)^{- 1}$ 。通过增广矩阵行约简：

21 - 1 2 - 1 2 301100010001

行约简后得到：

(A - 2 I)^{- 1} = 11 - 1 - 4 - 5 6 - 3 - 3 4

然后计算 $B = (A - 2 I)^{- 1} A$ ：

B = 11 - 1 - 4 - 5 6 - 3 - 3 4 41 - 1 212303 = 32 - 2 - 8 - 9 12 - 6 - 6 9

验证：计算 $A B$ 和 $A + 2 B$ ，两者相等，确认结果正确。

21

求矩阵 $A = - 3 0 - 1 - 1 - 1 0 241$ 的实特征值及对应的特征向量．

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【答案】
实特征值为 $λ = 1$ ，对应的特征向量为 $021$ 的任意非零倍数。

【解析】
计算 $A - λ I = - 3 - λ 0 - 1 - 1 - 1 - λ 0 24 1 - λ$ 的行列式：

det (A - λ I) = (- 3 - λ) det (- 1 - λ 0 4 1 - λ) - (- 1) det (0 - 1 4 1 - λ) + 2 det (0 - 1 - 1 - λ 0) = (- 3 - λ) [(- 1 - λ) (1 - λ)] + 1 \cdot [0 \cdot (1 - λ) - 4 \cdot (- 1)] + 2 \cdot [0 \cdot 0 - (- 1 - λ) \cdot (- 1)] = (- 3 - λ) (λ^{2} - 1) + 4 + 2 (- 1 - λ) = (- 3 - λ) (λ^{2} - 1) + 4 - 2 - 2 λ = (- 3 - λ) (λ^{2} - 1) + 2 - 2 λ

展开得：

= - 3 λ^{2} + 3 - λ^{3} + λ + 2 - 2 λ

= - λ^{3} - 3 λ^{2} - λ + 5

特征方程为 $- λ^{3} - 3 λ^{2} - λ + 5 = 0$ ，即 $λ^{3} + 3 λ^{2} + λ - 5 = 0$ 。
试根得 $λ = 1$ 满足方程，因式分解为 $(λ - 1) (λ^{2} + 4 λ + 5) = 0$ 。
二次项 $λ^{2} + 4 λ + 5 = 0$ 的判别式为 $4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = - 4 < 0$ ，无实根，故唯一实特征值为 $λ = 1$ 。
求特征向量需解 $(A - I) v = 0$ ，即

- 4 0 - 1 - 1 - 2 0 240 x y z = 000

由第三行 $- x = 0$ 得 $x = 0$ ，由第二行 $- 2 y + 4 z = 0$ 得 $y = 2 z$ ，代入第一行 $- 4 \cdot 0 - y + 2 z = - y + 2 z = 0$ 与第二行一致。令 $z = t$ ，则 $y = 2 t$ ，特征向量为 $0 2 t t = t 021$ （ $t \neq = 0$ ）。

计算题

22

已知随机变量 $X$ 的概率分布为

P {X = 1} = 0.2, P {X = 2} = 0.3, P {X = 3} = 0.5,

试写出其分布函数 $F (x)$ ．

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【答案】

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 0.2 0.5 1 x < 1 1 \leq x < 2 2 \leq x < 3 x \geq 3

【解析】
随机变量 $X$ 的分布函数 $F (x)$ 定义为 $F (x) = P {X \leq x}$ 。根据给定的概率分布， $X$ 只能取值为 1、2、3，且概率分别为 0.2、0.3、0.5。因此，需分段计算 $F (x)$ ：

当 $x < 1$ 时， $X \leq x$ 不可能发生，故 $F (x) = 0$ 。
当 $1 \leq x < 2$ 时， $X \leq x$ 等价于 $X = 1$ ，故 $F (x) = P {X = 1} = 0.2$ 。
当 $2 \leq x < 3$ 时， $X \leq x$ 等价于 $X = 1$ 或 $X = 2$ ，故 $F (x) = P {X = 1} + P {X = 2} = 0.2 + 0.3 = 0.5$ 。
当 $x \geq 3$ 时， $X \leq x$ 总是成立，故 $F (x) = 1$ 。

综上，得到分布函数如上所示。

23

已知随机变量 $Y$ 的概率密度为 $f (y) = {\frac{y}{a ^{2}} e^{- \frac{u ^{2}}{a ^{2}}}, 0, y > 0, y \leq 0,$ 求随机变量 $Z = \frac{1}{Y}$ 的数学期望 $EZ$ ．

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【答案】

EZ = \frac{π}{2 a}

【解析】 已知随机变量 $Y$ 的概率密度函数为 $f (y) = \frac{y}{a ^{2}} e^{- \frac{y ^{2}}{a ^{2}}}$ for $y > 0$ ，求 $Z = \frac{1}{Y}$ 的数学期望 $EZ$ 。根据数学期望的定义，有：

EZ = E [\frac{1}{Y}] = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y} f (y) d y = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{a ^{2}} e^{- \frac{y ^{2}}{a ^{2}}} d y = \frac{1}{a ^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{y ^{2}}{a ^{2}}} d y .

计算积分 $\int_{0}^{\infty} e^{- \frac{y ^{2}}{a ^{2}}} d y$ ，令 $u = \frac{y}{a}$ ，则 $d y = a d u$ ，积分限变为 $u = 0$ 到 $u = \infty$ ，于是：

\int_{0}^{\infty} e^{- \frac{y ^{2}}{a ^{2}}} d y = \int_{0}^{\infty} e^{- u^{2}} \cdot a d u = a \int_{0}^{\infty} e^{- u^{2}} d u .

已知 $\int_{0}^{\infty} e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2}$ ，代入得：

\int_{0}^{\infty} e^{- \frac{y ^{2}}{a ^{2}}} d y = a \cdot \frac{π}{2} .

因此，

EZ = \frac{1}{a ^{2}} \cdot a \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{2 a} .

故随机变量 $Z$ 的数学期望为 $\frac{π}{2 a}$ 。

24

假设有两箱同种零件：第一箱内装 $50$ 件，其中 $10$ 件一等品；第二箱内装 $30$ 件，其中 $18$ 件一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）．试求：

(1) 先取出的零件是一等品的概率 $p$ ；

(2) 在先取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率 $q$ ．

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【答案】
$p = \frac{2}{5}$ , $q = \frac{690}{1421}$

【解析】
(1) 设事件 $A$ 为先取出的零件是一等品。设 $H_{1}$ 为选中第一箱的事件， $H_{2}$ 为选中第二箱的事件，则 $P (H_{1}) = P (H_{2}) = \frac{1}{2}$ 。
给定 $H_{1}$ ，先取出一等品的概率为 $P (A ∣ H_{1}) = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$ 。
给定 $H_{2}$ ，先取出一等品的概率为 $P (A ∣ H_{2}) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$ 。
由全概率公式：

P (A) = P (A ∣ H_{1}) P (H_{1}) + P (A ∣ H_{2}) P (H_{2}) = \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5} .

故 $p = \frac{2}{5}$ 。

(2) 设事件 $B$ 为第二次取出的零件是一等品。需要求条件概率 $q = P (B ∣ A)$ 。
由条件概率公式：

P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} .

首先求 $P (A \cap B)$ 。

P (A \cap B) = P (A \cap B ∣ H_{1}) P (H_{1}) + P (A \cap B ∣ H_{2}) P (H_{2}) .

给定 $H_{1}$ ，两次均取出一等品的概率为：

P (A \cap B ∣ H_{1}) = \frac{10}{50} \times \frac{9}{49} = \frac{9}{245} .

给定 $H_{2}$ ，两次均取出一等品的概率为：

P (A \cap B ∣ H_{2}) = \frac{18}{30} \times \frac{17}{29} = \frac{51}{145} .

所以：

P (A \cap B) = \frac{9}{245} \times \frac{1}{2} + \frac{51}{145} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (\frac{9}{245} + \frac{51}{145}) .

计算括号内：

\frac{9}{245} + \frac{51}{145} = \frac{9 \times 29}{245 \times 29} + \frac{51 \times 49}{145 \times 49} = \frac{261}{7105} + \frac{2499}{7105} = \frac{2760}{7105} = \frac{552}{1421} .

于是：

P (A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{552}{1421} = \frac{276}{1421} .

代入条件概率公式：

q = P (B ∣ A) = \frac{\frac{276}{1421}}{\frac{2}{5}} = \frac{276}{1421} \times \frac{5}{2} = \frac{1380}{2842} = \frac{690}{1421} .

故 $q = \frac{690}{1421}$ 。