1987 年真题

【答案】 $2-6e^{-2}$

【解析】 给定积分 ${\int }_{-2}^2(|x|+x)e^{-|x|}dx$ 。由于被积函数中包含绝对值，考虑分段计算。当 $x\in [-2,0]$ 时， $|x|=-x$ ，因此 $|x|+x=-x+x=0$ ，被积函数为 0，积分值为 0。当 $x\in [0,2]$ 时， $|x|=x$ ，因此 $|x|+x=x+x=2x$ ，且 $e^{-|x|}=e^{-x}$ ，被积函数为 $2x{e}^{-x}$ 。因此，积分简化为：

计算积分 ${\int }_0^{2}2x{e}^{-x}dx$ 。使用分部积分法，设 $u=x$ ， $dv=e^{-x}dx$ ，则 $du=dx$ ， $v=-e^{-x}$ 。有：

代入积分上下限：

因此，

故原积分的值为 $2-6e^{-2}$ 。

【答案】

【解析】 设 $z=f(u,x,y)$ ，其中 $u=x{e}^y$ 。首先求一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ：

然后求混合偏导数 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$ ：

计算各项：

其中

所以

另外，

将以上结果合并：

整理得：

【答案】
$x_1+x_2$ 不是 $A$ 的特征向量。

【解析】
假设 $x_1+x_2$ 是 $A$ 的特征向量，则存在标量 $\lambda$ 使得 $A(x_1+x_2)=\lambda (x_1+x_2)$ 。由于 $x_1$ 和 $x_2$ 是特征向量，有 $A{x}_1={\lambda }_1{x}_1$ 和 $A{x}_2={\lambda }_2{x}_2$ ，因此 $A(x_1+x_2)={\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2$ 。代入得 ${\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2=\lambda x_1+\lambda x_2$ ，即 $({\lambda }_1-\lambda )x_1+({\lambda }_2-\lambda )x_2=0$ 。因为 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ ，所以 $x_1$ 和 $x_2$ 线性无关，因此 ${\lambda }_1-\lambda =0$ 且 ${\lambda }_2-\lambda =0$ ，即 ${\lambda }_1={\lambda }_2$ ，与已知矛盾。故假设不成立， $x_1+x_2$ 不是 $A$ 的特征向量。